Геометрична модель комплексних чисел

На рисунку 2 вектори ОА, OB, OC, OD є відповідними геометричними зображеннями комплексних чисел z₁= 2+2ί; z ₂= -3+4ί; z ₃= -4-3ί; z ₄= 4-2ί.

Протилежним комплексним  числам відповідають протилежні вектори.

 

 

 

Рис.3

 

На рисунку 3 зображено дві пари протилежних векторів OA i OC, OB i OD, що відповідають парам протилежних чисел 3+4ί та –3-4ί; -2+3ί та 2-3ί.

Геометричне зображення суми і різниці двох комплексних  чисел.

З геометричної інтерпретації комплексних чисел  у вигляді векторів випливає можливість геометричного зображення додавання комплексних чисел. Воно знаходиться до знаходження сум двох векторів за відомим правилом паралелограма.

Нехай дано два комплексних числа z₁ = a₁ + b₁ί та z₂ = a₂ + b₂ί, яким відповідають радіус – вектори ОА і ОА (малюнок 4). Побудуємо на цих векторах як на сторонах паралелограм. Тоді зображенням суми комплексних чисел z₁ і z₂ буде вектор ОВ (діагональ паралелограма) справді, при додаванні векторів їх відповідні координати додають. Тому, якщо вектор ОА₁ має координати (a₁;b₁), а вектор ОА₂ (а₂;b₂), то їх сума – вектор ОВ –координати (а₁+а₂;b₁+b₂). Вектор ОВ відповідає комплексному числу (а₁+а₂) + (b₁+b₂), яке є сумою чисел z₁ і z₂.

 

Рис.4

 

IV. Застосування комплексних чисел в геометрії

4.1. Прямі  на комплексній площині

На комплексній  площині кожна пряма може бути задана рівнянням:

   , де . (2.10)

Не важко  записати те ж рівняння прямої в  комплексній формі. Для цього  достатньо ввести комплексну змінну . Відомо, що , . Тоді (2.10) можна записати у вигляді:

.

Позначимо комплексне число  через . Тоді , і рівняння прямої буде мати вигляд:

   , (2.11)

де  - комплексне число, , а - дійсне. З допомогою комплексних змінних зручно записати рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки . Дійсно, при будь-якому виборі точки на прямій вектори і колінеарні, тому відношення їх комплексних координат виражається дійсним числом, звідки:

   . (2.12)

Це і є рівняння прямої, яка проходить через точки  і .

Напишемо рівняння прямої , яка проходить через дану точку і паралельно заданому вектору , який заданий своєю комплексною координатою (мал.2). Тоді при будь-якому виборі точки на прямій вектор колінеарний вектору , відповідно, відношення їх комплексних координат виражається дійсним числом. Іншими словами кожної точки прямої задовольняє умову . Це і буде шукане рівняння прямої. Число є уявне, і його можна записати у вигляді , де - дійсна константа. Отримаємо:

   .     (2.13)

Рівнянням вигляду (2.13) може бути задана будь-яка пряма. При цьому - кут нахилу прямої до дійсної осі. Зупинимося на рівнянні прямої, яка проходить через задану точку перпендикулярно вектору , де - нульова точка (мал.3). Нехай - точка цієї прямої. Тоді вектор колінеарний вектору з комплексною координатою . Тому - дійсне число і, відповідно, рівне спряженому до нього числу: , тобто . Це і є рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до вектора .

Щоб знайти комплексну координату точки перетину двох прямих і , потрібно розв’язати систему з двох рівнянь і знайти , або .

 

4.2. Коло на комплексній площині

Коло з центром у точці С і радіусом R – це множина усіх тих точок Z, для яких відстань CZ дорівнює R, тобто

                                                      (2.14)

Це і є рівняння кола. Рівність (2.14) можемо переписати так:

тобто рівняння кожного кола має вигляд:

    (2.15)

де α –  комплексне число, γ – дійсне. Однак  рівняння вигляду (2.15) не при кожному  γ задає коло. Дійсно, ми можемо рівняння (2.15) записати так:

    (2.16)

а це рівняння задає  коло лише за умові, що . При рівнянню (2.15) задовольняє лише одна точка , а при – жодне комплексне число z не задовольняє рівності (2.16), тобто зовсім не існує точок, що задовольняють умові (2.15).

Особливо зручно записувати в комплексній формі рівняння кола Г, що проходить через три  дані точки Z₁, Z₂, Z₃. Виведемо це рівняння. Точки Z₁ іZ₂ (мал. 4) поділяють коло на дуги Г' і Г". Нехай Г' – та з них, що виникає при русі від Z₁ до Z₂ у додатному напрямку (проти годинникової стрілки). Будемо вважати, що Г' – дуга, що не містить точку Z₃, – а дуга Г" містить Z₃. Радіаyну міру дуги Г' позначимо через 2φ. Тоді , і вектор може бути отриманий з вектора поворотом на кут φ з наступним розтягом. Тому

     (2.17)

де t – дійсне (навіть додатне) число. Для кожної фіксованої точки Z, яка лежить на дузі Г", маємо аналогічна рівність:

     (2.18)

де t, – додатнє число. Якщо ж точка Z розташована на додатковій дузі Г', то кут Z₁ZZ₂ – містить π-φ радіан, причому проходиться в від’ємному напрямку (мал. 5). Тому

     (2.19)

де t₂ – додатне число.

З (2.17) і (2.18) – (2.19) бачимо, що при кожнім, виборі точки Z на колі Г дріб

є дійсним числом, а значить, що він дорівнює спряженому до нього дробу:

     (2.20)

Це і є  рівняння кола, що проходить через три задані точки Z₁, Z₂, Z₃. У тому випадку, коли точки Z₁, Z₂, Z₃ лежать на одній прямій, то кола, що проходить через ці три точки, не існує, але рівняння (2.20) має й у цьому випадку зміст: воно задає цю пряму.

 

4.3. Геометричні задачі, розв'язувані за допомогою одиничного кола.

Одиничним колом  в комплексному аналізі прийнято називати коло, у якого центром  є нульова точка (початок координат), а довжина радіуса рівна одиниці. На ньому, очевидно, розташовані ті і тільки ті точки площини, чиї комплексні координати z задовольняють умову . Цю умову можна переписати так: , тобто , або . Таким чином, для координати z точки одиничного кола (і тільки для координати такої точки) число спряжене співпадає з оберненим числом .

Якщо ми маємо  на площині будь-яке коло ω з центром у деякій точці О и радіуса R, то можна вибрати декартову систему координат так, щоб початком координат був центр О цього кола. Тоді координати z точок кола будуть задаватися умовою , або . Тому викладення, зв'язані з такими колами, теж прості. При необхідності можемо від такого кола перейти до одиничного за допомогою гомотетії з центром у точці О. Аналітично це означає заміну змінних: .

Якщо точка Z лежить на колі радіуса R, що має центром нульову точку, і якщо радіус-вектор точки Z утворить з дійсною віссю кут t, то комплексна координата z точки Z задається формулою

.

Ці прості розуміння  дозволяють вирішити різноманітні задачі, зв'язані з колом з центром  у нульовій точці.

4.4. Уявні числа і плоскі многокутники.

4.4.1. Побудова правильних многокутників.

Побудова правильних трикутників, чотирикутників, п'ятикутників, шестикутників з допомогою циркуля  і лінійки було відомо грецьким геометрам  ще в IV ст. до н.е. Архімед (III ст. до н.е.) намагався знайти спосіб побудови тими ж інструментами правильного семикутника, однак йому це не вдалося. Такої побудови не зуміли знайти геометри і протягом двох тисячоріч після Архімеда, хоча ніхто не сумнівався в існуванні способу розв’язання цієї задачі. Проблему побудови правильних многокутників Гаусс зумів вирішити завдяки застосуванню комплексних чисел.

Будемо вважати, що п – просте число. Зрозуміло, що побудова правильного п-кутника рівносильна поділу кола на п рівних дуг. Ми можемо взяти будь-яке коло ω, вважаючи довжину його радіуса рівним одиниці, розглянути декартову систему координат з початком у центрі О обраного нами кола. Тоді кожна точка на площині здобуває визначену комплексну координату. Зокрема, точка Z₀ перетину кола з додатною віссю осі абсцис буде мати координату z₀=1. Правильний п-кутник, що має Z₀ однією зі своїх вершин, буде мати іншими своїми вершинами точки Z_k, з комплексними координатами:

 

(k=1,2,...,п-1)

Усі ці числа  – відмінні від одиниці корені рівняння тобто корені рівняння

     (2.28)

Задача поділу кола полягає в тому, щоб побудувати точки з комплексними координатами z_k (k=1, 2, 3, n-1), тобто в тім, щоб побудувати корені рівняння (2.28). Тому рівняння (2.28) називають рівнянням поділу кола. Помітимо, що при простому п для побудови усіх вершин правильного п-кутника, уписаного в коло, досить побудувати одну із цих вершин.

Якщо п – просте число, то послідовно підносячи в натуральні степені будь-якій, не рівний одиниці, корінь рівняння , можна знайти всі корені п-го степеня з одиниці. Геометрично це означає, що якщо крім вершини Z₀ побудована на колі яка-небудь одна вершина Z_k, то, відкладаючи послідовно по колу п–2 рази дугу Z₀Z_k. одержимо всі інші вершини правильного п-кутника.

Таким чином (при  простому п) питання про можливість побудови за допомогою циркуля і лінійки правильного п-кутника зводиться до питання про можливість за допомогою цих інструментів побудувати на комплексній площині який-небудь корінь рівняння (2.28) поділу кола.

Розглянемо  три частинні випадки.

1) Нехай п=5

Тоді рівняння поділу кола має вид:

   (2.29)

З'ясуємо, чи можливо  побудувати циркулем і лінійкою корінь рівняння (2.29)

     (2.30)

Покладемо

       (2.31)

де під z розуміємо число (2.30). Тоді:

    (2.32)

Тому що число z задовольняє рівнянню (2.19), те воно задовольняє і рівнянню

    (2.33)

У силу (2.31) маємо  і рівняння (2.33) здобуває вид:

Із (2.32) видно, що нас цікавлять додатні корені цього рівняння . Відрізок такої довжини легко побудувати циркулем і лінійкою. Після цього можна побудувати і точку z, що задається формулою (2.30). Тим самим не тільки встановлена можливість побудови правильного п'ятикутника, але і знайдений визначений спосіб для фактичного виконання цієї побудови.

2) Нехай п=7.

Рівняння поділу кола на 7 рівних частин має вигляд:

, або 

Нехай z– який-небудь його корінь. Покладемо тоді легко знайти, що , і ми приводимо рівняння до виду:

    (2.34)

Це рівняння не має раціональних коренів. Жоден з коренів рівняння (2.34) не може бути побудований циркулем і лінійкою. Отже, не існує способу, що дозволяє побудувати правильний семикутник за допомогою циркуля і лінійки.

3) Нехай п=17.

У цьому випадку  задача зводиться до побудови відрізка До побудови цієї величини можна підійти поступово, виходячи зі співвідношення:

    (2.35)

Позначимо:

,

.

Зі співвідношення (2.26) ясно, що . З іншого боку, виходячи з того, що , неважко встановити, що .Отже γ₁ та γ₂ – корені квадратного рівняння γ²+γ-4=0, так що .Ці корені можна легко побудувати (по абсолютній величині). Щоб відрізнити один корінь від іншого, помітимо, що . Це число – від’ємне, так що

Маючи величини γ₁ і γ₂, можна побудувати величини: , , та . Дійсно, , , так що β₁ і β₂ – корені рівняння а, отже:

Тому що

то

,

Точно так само можна показати, що

,

Позначимо , . Тоді , , так що величини α₁ і α₂ є коренями рівняння:

тобто

Тому що

,

то  і відповідно

Вважаючи, що β₁ і β₂ уже побудовано, відмітимо, що циркуль і лінійка дозволяють тепер побудувати відрізок довжини .

Проводячи аналогічні міркування, К.Ф.Гаусс у 1796 р. довів  теорему: побудова правильного п-угольника за допомогою циркуля і лінійки можливо в тому, і тільки в тому випадку, коли число п може бути представлене у виді де попарно різні прості числа виду , а число m – ціле ненегативне.

Зокрема, якщо п – просте число, то для побудови правильного п-кутника за допомогою циркуля і лінійки необхідно і досить, щоб число п мало вид .

 

4.4.2. Уявні числа і площа многокутника.

Відомі формули, що дозволяють по трьох незалежних основних елементах трикутника (наприклад, по трьох його сторонах; чи по двох сторонах і куту між ними; чи по стороні і двом кутам) обчислити його площу. А як обчислити площу п-кутника при п>3 (наприклад, чи п'ятикутника семикутника), якщо відомі його сторони і кути? Відповідь на подібні питання підказують комплексні числа. Заради конкретності обмежимося випадком опуклого п'ятикутника (міркування у випадку довільного п-кутника аналогічні).