Инверсия на экране компьютера

Курсовая работа

ИНВЕРСИЯ НА ЭКРАНЕ КОМПЬЮТЕРА

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1 ИНВЕРСИЯ 5

1.1 Основные понятия 5

1.2 Свойства инверсии 5

1.3 Построение образов при инверсии 6

1.3.1 Построение образа точки 6

1.3.2 Построение образа прямой, не проходящей через центр инверсии 7

1.3.3 Построение образа окружности, проходящей через центр инверсии 7

1.3.4 Построение образа окружности, не проходящей через центр инверсии 8

2 ПРОГРАММА «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНСТРУКТОР» 9

2.1 Общие сведения 9

2.2 Структура программы 10

3 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 14

3.1 Создание инструментов инверсии. 14

3.2 Создание динамических моделей 16

3.3 Создание обучающего модуля по теме «Инверсия» 23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 24

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 25

 

ВВЕДЕНИЕ

В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В вузовском курсе геометрии довольно подробно изучаются преобразования движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. На этом и других замечательных свойствах инверсии основывается ее поразительная эффективность при решении разнообразных геометрических задач. Особенно удобно решать задачи на геометрические построения, связанные с касающимися окружностями, которые другими средствами (преобразованиями) решаются сложно или вообще не поддаются решению.

При традиционном решении задач по геометрии требуются многочисленные построения с использованием чертежных инструментов. Это занимает большое количество времени. Зачастую, условия задач, решаемых с помощью преобразования инверсии, не говоря уже о самом решении, громоздки и наглядны только в том случае, если использованы карандаши разного цвета. Решение также усложняется при разного рода допускаемых ошибках, и иногда приходится заново все перечерчивать. Также стоит заметить, что скорость восприятия материала у всех разная, и то, что дается на лекциях или практических занятиях, не всегда может быть усвоено всеми студентами.

Создание обучающего компьютерного модуля по теме «Инверсия» дает возможность намного упростить восприятие студентами изучаемого материала, решение некоторых задач, которые к тому же можно будет сразу проверить, удалить ненужное построение, исправить ошибки или же рассмотреть пошаговое решение задачи. Программа «Математический конструктор» позволяет создавать наглядные динамические модели и даже сами инструменты инверсии, такие как, к примеру, инверсия окружности, не проходящей через центр инверсии. Также с ее помощью можно рассмотреть все случаи решения той или иной задачи, рассмотреть частный случай и т. д. В выше сказанном и раскрывается актуальность темы моей курсовой работы.

 

Цель работы: создание обучающего модуля для студентов физико-математического факультета по теме «Инверсия».

 

Для решения поставленной цели, необходимо решить следующие задачи:

• познакомиться с программой «Математический конструктор»;
• создать средствами программы «Математический конструктор» инструменты инверсии;
• создать динамические модели, демонстрирующие свойства преобразования инверсии.

 

Содержание курсовой работы изложено в трех разделах:

1. Инверсия;

2. Программа «Математический конструктор»;

3. Практическая часть.

Все выводы по проделанной работе сформулированы в «Заключении».

 

1 ИНВЕРСИЯ

1. Основные понятия

Пусть на плоскости выбрана точка Р и задано положительное число R2.

Каждой точке М плоскости, отличной от точки Р, поставим в соответствие точку М’, удовлетворяющую двум условиям:

1. М’ лежит на луче РМ;
2. РМ × РМ’ = R2;

Т.к. РМ × РМ’ ≠ 0, то при заданном отображении точке Р не соответствует никакая точка плоскости и точка Р не является образом ни одной точки плоскости. Другими словами, точка Р при заданном отображении не имеет ни образа, ни прообраза. Удалим точку Р из плоскости. Тогда в «проколотой» плоскости рассматриваемое отображение биективно, т.е. является преобразованием и называется преобразованием инверсии с центром в точке Р и степенью R2. Иногда точку Р называют полюсом инверсии. Число R > 0 называют радиусом инверсии.

1.2    Свойства инверсии

Рассмотрим некоторые свойства инверсии:

1. Внутренние точки окружности инверсии преобразуются во внешние и наоборот; точки самой окружности инверсии остаются неподвижными, то есть преобразуются сами в себя.
2. Преобразование, обратное для данной инверсии, есть также инверсия, то есть если точка M переходит при инверсии в точку M', то одновременно, обратно, точка M' переходит в точку M. Преобразования, обладающие указанным свойством, называются инволюциями. Инверсия вместе с центральной и осевой симметриями являются инволюциями. Точки M и M' называются взаимно инверсными.
3. Если точка, находясь внутри базисной окружности, сколь угодно близко приближается к центру инверсии, то ее образ неограниченно удаляется от базисной окружности, уходя в бесконечность. Если же внутренняя точка приближается к базисной окружности, то ее образ – точка внешняя по отношению к базисной окружности – тоже приближается к базисной окружности извне.
4. Прямые, проходящие через центр инверсии, при инверсии отображаются на себя.
5. Прямая, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии, причём касательная к этой окружности в центре инверсии параллельна данной прямой.
6. Окружность, проходящая через центр инверсии, преобразуется в прямую, не проходящую через центр инверсии.
7. Окружность, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность, не проходящую через центр инверсии.
8. Инверсия есть конформное преобразование, то есть при инверсии угол между двумя кривыми в точке их пересечения сохраняется.

1.3    Построение образов при инверсии

Дана базисная окружность некоторого радиуса R с центром в точке Р.

1.3.1 Построение образа  точки

При нахождении образа точки при инверсии возможны три случая, каждый из которых имеет свои особенности. Рассмотрим их по порядку.

1. Точка М принадлежит базисной окружности. Тогда М = М`.
2. Точка М находится внутри базисной окружности, тогда
1. [PM),
2. [MK] [PM), K
3. [PK], (KM’) (PK),
4. (KM’) [PM) = M’. [Рисунок 1]

Рисунок 1

3. Точка М находится вне базисной окружности, тогда
1. [PM),
2. Из точки М проводим касательную к базисной окружности: (KM),
3. (KM’), (KM’) [PM),
4. (KM’) [PM) = M’. [Рисунок 2]

Рисунок 2

1.3.2 Построение образа  прямой, не проходящей через центр  инверсии

При инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, отображается на себя, поэтому построений никаких не нужно.

А прямая, не проходящая через центр инверсии, при инверсии преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии, поэтому

1. (PA), (PA) a, (PA) a = A,
2. A’ – образ точки А при инверсии,
3. S’ (OA’), [OS’] = [S’A’],
4. (S’, OS’). [Рисунок 3]

Рисунок 3

1.3.3 Построение образа  окружности, проходящей через центр  инверсии

Окружность, проходящая через центр инверсии, преобразуется при инверсии в прямую, не проходящую через центр инверсии.

1. [PO),
2. [PO) = D,
3. D’ – образ точки D при инверсии,
4. a, a [PO), D’ a. [Рисунок 4]

 

Рисунок 4

1.3.4 Построение  образа окружности, не проходящей  через центр инверсии

Окружность, не проходящая через центр инверсии, преобразуется при инверсии в окружность, не проходящую через центр инверсии.

1. (PO),
2. (PO) = F, (PO) = E,
3. F’ – образ точки F при инверсии,
4. E’ – образ точки E при инверсии,
5. S (PO), [F’S] = [SE’],
6. (S’, F’S). [Рисунок 5]

Рисунок 5

 

2. ПРОГРАММА «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНСТРУКТОР»

 

2.1 Общие сведения

Математический конструктор – программа динамической геометрии.

Программная среда «Математический конструктор» предназначена для создания интерактивных моделей по математике, сочетающих в себе конструирование, моделирование, динамическое варьирование, эксперимент. Динамический наглядный механизм «Математического конструктора» предоставляет младшим школьникам возможность творческой манипуляции с объектами, а ученикам старшей школы – полнофункциональную среду для конструирования и решения задач.

Интерактивные динамические системы признаны во всем мире наиболее эффективным средством обучения математике с применением информационно-компьютерных технологий. В отличие от традиционного рисунка – геометрического чертежа или графика функции, выполненных на листе бумаги или с помощью «обычных» систем компьютерной графики, построение, созданное с помощью такой системы, – это модель, сохраняющая не только результат построения, но и его исходные данные, алгоритм и зависимости между объектами. При этом все данные легкодоступны для изменения (можно перемещать мышью точки, варьировать размеры, вводить с клавиатуры новые значения числовых данных и т.п.). И эти изменения тут же, в динамике, отражаются на экране компьютера.

«Математический конструктор» – первая российская разработка мирового класса в области интерактивных динамических систем для школьников. Программная среда разработана с учетом требований, предъявляемых российской школой и российской традицией преподавания математики. Впервые уникальный опыт лучших педагогов-математиков и пожелания российских пользователей учитываются и используются отечественными разработчиками.

"Математический  конструктор" – это виртуальная  геометрическая среда, основанная  на принципе динамической геометрии  и разработанная с учетом требований, предъявляемых российской школой, российской традицией преподавания  математики и накопленным авторами  и разработчиками опытом работы  с аналогичными программами.

Поясним идею, лежащую в основе систем этого типа. Грубо говоря, любой геометрический чертеж получается в результате применения к некоторым данным – точкам, линиям, числовым параметрам (таким, как длина отрезка или величина угла) некоторой последовательности построений: в простейшем случае классических построений циркулем и линейкой. Другими словами, это результат применения к данным некоторого алгоритма построения, использующего определенный набор операций. Именно этот чертеж-результат и является продуктом "обычных" систем компьютерной графики в их чисто геометрической ипостаси. В отличие от него, чертеж, созданный в среде динамической геометрии, – это модель, сохраняющая не только результат построения, но и исходные данные, алгоритм и зависимости между фигурами. При этом все данные легкодоступны для изменения (можно перемещать мышью точки, варьировать данные отрезки, вводить с клавиатуры новые значения числовых данных и т.п.). И результат этих изменений тут же, в динамике, виден на экране компьютера.

Любые чертежи в "Математическом конструкторе", в отличие от начерченных на бумаге или на классной доске, относятся не к индивидуальной геометрической фигуре, а к целому непрерывному семейству фигур. В связи с этим при работе в этой среде следует воспринимать элементы чертежа как переменные, а фигуры – как деформируемые.

 

1. Структура программы

Программа «Математический конструктор», как и многие программы системы Windows имеет заголовок, строку меню, панель инструментов, палитру красок, строку состояния и рабочую область.

Строка меню содержит пункты: файл, правка, построения, графики, вычисления, вид, кнопки,  мои инструменты, справка. Некоторые, наиболее используемые из подкоманд данных пунктов вынесены отдельно на панель инструментов. Меню «Файл» имеет стандартные команды для работы с файлом, а также позволяют экспортировать файл в изображение или апплет. Модели-апплеты становятся независимыми от главной программы, с которыми можно работать при помощи любого современного браузера с установленным плагином Java. Запускаться они могут как с локального компьютера пользователя, так и через Интернет.

В режиме апплета построение ведет себя несколько иначе – прячутся все функции разработчика (главное меню и панель инструментов) и предоставляется иной, специально настроенный для данной модели, набор инструментов. Также вступают в силу ограничения на поведение в апплете, которые можно задать на вкладке «Общие свойства объектов» в диалоге редактирования объекта.