Использование логических задач на уроках математики

Анализируя становление  классификации, Ж. Пиаже и Б. Инельдер показывают, как от ее исходной формы, от создания "фигурной совокупности", основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят  к классификации, основанной уже  на отношении сходства ("нефигурные совокупности"), а затем к самой сложной форме - к включению классов, обусловленному связью между объемом и содержанием понятия. Авторы специально рассматривают вопрос о формировании классификации не только по одному, но и по двум-трем признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации при добавлении новых элементов. Аналогичные стадии авторы находят и в процессе становления сериации.

Эти исследования преследовали вполне определенную цель - выявить  закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость, т.е. способности ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда, когда "операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto (в силу самого факта) понимание другого" ([10], стр. 15).

Ж. Пиаже считает, что  психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребенка (особенно тех логических операций, которые осуществляют в них предварительные условия) позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими, структурами порядка и топологическими. Так, алгебраическая структура ("группа") соответствует операторным механизмам ума, подчиняющимся одной из форм обратимости - инверсии (отрицанию). Группа имеет четыре элементарных свойства: произведение двух элементов группы также дает элемент группы; прямой операции соответствует одна и только одна обратная; существует операция тождества; последовательные композиции ассоциативны. На языке интеллектуальных действий это означает:

• координация двух систем действия составляет новую схему, присоединяемую к предыдущим;
• операция может развиваться в двух направлениях;
• при возвращении к исходной точке мы находим ее неизменной;
• к одной и той же точке можно прийти разными путями, причем сама точка остается неизменной.

Структуре порядка соответствует  такая форма обратимости, как  взаимность (перестановка порядка). В период от 7 до 11 лет система отношений, основанная на принципе взаимности, приводит к образованию в сознании ребенка структуры порядка.

Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж. Пиаже, применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего, исследования Ж. Пиаже показывают, что в период дошкольного и школьного детства у ребенка формируются такие операторные структуры мышления, которые позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их отношений. Причем уже на стадии конкретных операций (с 7 - 8 лет) интеллект ребенка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности математики.

Эти данные говорят о  том, что традиционная психология и педагогика не учитывали в достаточной мере сложного и емкого характера тех стадий умственного развития ребенка, которые связаны с периодом от 7 до 11 лет.

Сам Ж. Пиаже эти операторные  структуры прямо соотносит с  основными математическими структурами. Он утверждает, что математическое мышление возможно лишь на основе уже сложившихся операторных структур (и при этом остается в тени объект этих операций). Это обстоятельство можно выразить и в такой форме: не "знакомство" с математическими объектами и усвоение способов действия с ними определяют формирование у ребенка операторных структур ума, а предварительное образование этих структур (как "координации действий") является началом математического мышления, "выделения" математических структур.

Рассмотрение результатов, полученных Ж. Пиаже, позволяет сделать ряд существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по математике. Прежде всего, фактические данные о формировании интеллекта ребенка с 7 до 11 лет говорят о том, что ему в это время не только не "чужды" свойства объектов, описываемые посредством математических понятий "отношение - структура" но последние сами органически входят в мышление ребенка.

Традиционные задачи начальной школьной программы по математике не учитывают этого обстоятельства. Поэтому они не реализуют многих возможностей, таящихся в процессе интеллектуального развития ребенка. В этой связи практика внедрения в начальный школьный курс математики логических задач должна стать нормальным явлением.

Материалы, имеющиеся  в современной детской психологии, позволяют положительно оценивать общую идею внедрения в учебные программы таких задач, в основе которого лежали бы понятия об исходных математических структурах. Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как еще нет опыта построения такого учебного предмета. В частности, одна из них связана с определением возрастного "порога", с которого осуществимо обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо, по этим программам можно учить лишь тогда, когда у детей уже полностью сформировались операторные структуры (с 14 - 15 лет). Но если предположить, что реальное математическое мышление ребенка формируется как раз внутри того процесса, который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания операторных структур, то эти программы можно вводить гораздо раньше (например, с 7 - 8 лет), когда у детей начинают формироваться конкретные операции с высшим уровнем обратимости. В "естественных" условиях, при обучении по традиционным программам формальные операции, возможно, только и складываются к 13 - 15 годам. Но нельзя ли "ускорить" их формирование путем более раннего введения такого учебного материала, усвоение которого требует прямого анализа математических структур?

Представляется, что такие  возможности есть. К 7 - 8 годам у детей уже в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путем обучения по соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны "явно" и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к уровню "формальных" операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется при "самостоятельном" открытии этих свойств.

При этом важно учитывать  следующее обстоятельство. Есть основания  полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций, приуроченном Ж. Пиаже к 7 - 11 годам, сами неразрывно связаны с формами организации обучения, свойственными традиционной начальной школе. Это обучение (и у нас, и за рубежом) ведется на основе предельно эмпирического содержания, зачастую вообще не связанного с понятийным (теоретическим) отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки вещей.

Таким образом, в настоящее  время имеются фактические данные, показывающие тесную связь операторных структур детского мышления и общематематических и общелогических структур, хотя "механизм" этой связи далеко не ясен и почти не исследован. Наличие этой связи открывает принципиальные возможности для построения учебного предмета, развертывающегося по схеме "от простых структур - к их сложным сочетаниям". И значительное место в таком построении должно принадлежать широкому применению в процессе обучения младших школьников нестандартных логических задач.

 

 

1.3. Методика работы  с логическими задачами на уроках математики в начальной школе

1 Организация форм  работы с логическими задачами   Неоднократно утверждалось, что развитие у детей логического мышления – это одна из важных задач начального обучения. Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определённым правилам – необходимое условие успешного усвоения учебного материала.        Основная работа для развития логического мышления должна вестись с текстовой задачей. Ведь в любой задаче заложены большие возможности для развития логического мышления. Нестандартные логические задачи – отличный инструмент для такого развития. Существует значительное множество такого рода задач; особенно много подобной специализированной литературы было выпущено в последние годы. Конкретные примеры логических задач приведены в приложениях 2 и 3.    Однако что зачастую наблюдается на практике? Учащимся предлагается задача, они знакомятся с нею и вместе с учителем анализируют условие и решают её. Но извлекается ли из такой работы максимум пользы? Нет. Если дать эту задачу через день-два, то часть учащихся может вновь испытывать затруднения при решении.        Наибольший эффект при этом может быть достигнут в результате применения различных форм работы над задачей. Это:     1. Работа над решённой задачей. Многие учащиеся только после повторного анализа осознают план решения задачи. Это путь к выработке твёрдых знаний по математике. Конечно, повторение анализа требует времени, но оно окупается.           2. Решение задач различными способами. Мало уделяется внимания решению задач разными способами в основном из-за нехватки времени. А ведь это умение свидетельствует о достаточно высоком математическом развитии. Кроме того, привычка нахождения другого способа решения сыграет большую роль в будущем, хотя это доступно не всем учащимся, а лишь тем, кто любит математику, имеет особые математические способности.    3. Правильно организованный способ анализа задачи – с вопроса или от данных к вопросу.          4. Представление ситуации, описанной в задаче (нарисовать "картинку"). Учитель обращает внимание детей на детали, которые нужно обязательно представить, а которые можно опустить. Мысленное участие в этой ситуации. Разбиение текста задачи на смысловые части. Моделирование ситуации с помощью чертежа, рисунка.         5. Самостоятельное составление задач учащимися.    Составить задачу: 1) используя слова: больше на; столько, сколько; меньше в, на столько больше, на столько меньше; 2) решаемую в 1, 2, 3 действия; 3) по данному её плану решения, действиям и ответу; 4) по выражению и т.д.

6. Решение задач с  недостающими или лишними данными.     7. Изменение вопроса задачи.                                                                                   8. Составление различных выражений по данным задачам и объяснение, что обозначает то или иное выражение. Выбрать те выражения, которые являются ответом на вопрос задачи.          9. Объяснение готового решения задачи.        10. Использование приёма сравнения задач и их решений.     11. Запись и сравнение двух решений на доске – одного верного и другого неверного.             12. Изменение условия задачи так, чтобы задача решалась другим действием.  13. Закончить решение задачи.         14. Какой вопрос и какое действие лишние в решении задачи (или, наоборот, восстановить пропущенный вопрос и действие в задаче).     15. Составление аналогичной задачи с измененными данными.    16. Решение обратных задач.        Систематическое использование на уроках математики и внеурочных занятиях специальных задач и заданий, направленных на развитие логического мышления, организованных согласно приведённой выше схеме, расширяет математический кругозор младших школьников и позволяет более уверенно ориентироваться в простейших закономерностях окружающей их действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.

 Методики, направленные  на определение степени овладения  логическими операциями мышления      Способность выделять существенное.      Учитель предлагает школьникам ряд слов, в каждом из которых пять даётся в скобках, а одно – перед ними. Ученики должны за 20 секунд исключить из скобок, то есть выделить, два слова, наиболее существенные для слова перед скобками.

Сад (растение, садовник, собака, забор, земля) растение, земля

Река (берег, рыба, тина, рыболов, вода) берег, вода

Куб (углы, чертёж, сторона, камень, дерево) углы, сторона

Чтение (глаза, книга, картина, печать, слово) глаза, печать

Игра (шахматы, игроки, штрафы, правила, наказания) игроки, правила

Лес (лист, яблоня, охотник, дерево, кустарник) дерево, кустарник

Город (автомобиль, здание, толпа, улица, велосипед) здание, улица

Кольцо (диаметр, проба, круглость, печать, алмаз) диаметр, круглость

Пение (звон, голос, искусство, мелодия, аплодисменты) голос, мелодия

Больница (сад, врач, помещение, радио, больные) помещение, больные

Любовь (розы, чувство, человек, город, природа) чувство, человек

Война (аэроплан, пушки, сражения, солдаты, ружья) сражения, солдаты

Спорт (медаль, оркестр, состязание, победа, стадион)  стадион, состязание  Обработка полученных данных: ученики, которые правильно выполнили задание, очевидно, обладают умением выделять существенное, т.е. способны к абстрагированию. Те, кто допустил ошибки, не умеют выделять существенные и несущественные признаки.        Учащимся достаточно предложить из данного перечня по 5 заданий.

Сравнение

Цель: установить уровень развития у учащихся умения сравнивать предметы, понятия.           Учащимся предъявляются или называются какие-либо 2 предмета либо понятия.

Например: озеро – река

книга – тетрадь,солнце – луна

лошадь – корова, сани – телега

линейка – треугольник, дождь – снег

Каждый ученик на листе  бумаги должен написать черты сходства – слева, а справа – черты различия названных предметов, понятий.                                   На выполнение задания по одной паре слов даётся 4 минуты. После этого листки собираются.                                                          Обработка полученных результатов: составляется общий список черт сходства и различия названных предметов, затем устанавливается, какую часть из этого списка сумел написать ученик. Доля названных учеником черт сходства и различия из общего числа черт в % – это уровень развития у учащегося умения сравнивать.

Обобщение.

Предлагается два слова. Учащемуся нужно определить, что  между ними общего:

дождь – град ,жидкость – газ

нос – глаза, предательство – трусость

сумма – произведение, водохранилище – канал

сказка – былина, школа – учитель

Учащемуся можно предложить 5 пар слов. Время: 3 – 4 минуты.

Классификация

Эта методика также выявляет умение обобщать, строить обобщение  на отвлечённом материале.

Инструкция: даны пять слов. Четыре из них объединены общим признаком. Пятое слово к ним не подходит. Найдите это слово.

1) приставка, предлог,  суффикс, окончание, корень;

2) треугольник, отрезок,  длина, квадрат, круг;

3) дождь, снег, осадки, иней, град;

4) запятая, точка, двоеточие,  тире, союз;

5) сложение, умножение,  деление, слагаемое, вычитание;

6) дуб, дерево, ольха,  тополь, ясень;

7) Василий, Фёдор, Иван, Петров, Семён;

8) молоко, сыр, сметана,  мясо, простокваша;

9) секунда, час, год,  вечер, неделя;

10) горький, горячий,  кислый, солёный, сладкий;

11) футбол, волейбол, хоккей, плавание, баскетбол;

12) тёмный, светлый, голубой,  яркий, тусклый;

13) самолёт, пароход,  техника, поезд, дирижабль;

14) круг, квадрат, треугольник,  трапеция, прямоугольник;

15) смелый, храбрый, решительный,  злой, отважный.

Учащимся можно предложить 5 заданий. Время – 3 минуты.

 

 

 

 

 

Глава II. Методика использования логических задач на уроках математики в начальной школе

2.1 Интегрированное обучение и  развитие мышления в простой  игре

Общее соображение о  важности широкого внедрения в школьный урок математики нестандартных логических задач дополним описанием соответствующих методических установок. Ниже рассмотрим методику использования на уроках математики в начальной школе специального типа логических задач, связанных с внедрением в сознание ребенка основных понятий математической логики. Эта методика была разработана ведущим отечественным методистом А.А. Столяром.