Исследование цепи постоянного тока

 

Создаем новый лист. Переименовываем лист в «Корреляционный анализ». Копируем значения всех значений сопротивлений и значения наибольшего тока I2 .

Далее находим значимость коэфициента  корреляции. Вводим значимость γ: 0,95. Находим σz: , где n – число исследуемых элементов. Находим р: . Находим z_кр: функция НОРМОБР(ссылка на значение «р»; 0; ссылка на значение «σz»). Найдем значение обратного преобразования Фишера: функция ФИШЕРОБР (ссылка на «z_кр»). Аналогично находим для значимости 0,99 (см. Рисунок 16). 

Если коэффициент корреляции < коэффициента Фишера, то равен 0.

Находим значение квадрата коэффициента множественной корреляции. Сначала  находим определитель матрицы - таблицы  тесноты связи (через функцию  МОПРЕД(ссылка на матрицу)), потом алгебраическое дополнение элемента первой строки и  первого столбца этой же таблицы (через ту же функцию, только матрицу  выделяем без первой строки и первого  столбца). Вводим функцию для квадрата коэффициента множественной корреляции:

 

.

.

Рисунок 16 - Значимость коэффициента корреляции и квадрат множественной корреляции.

Далее задаем цвета для каждой степени  тесноты связи в таблице Чеддока (см. Рисунок 17). Для тесноты связи обратной связи также штрихуем ячейки. Заливку и шриховку делаем на вкладке «Главная», группе «Шрифт»– «Формат ячеек». Также добавляем к таблице Чеддока строки с линейной зависимостью (-1<R<1), а также для значения обратного преобразования Фишера значимостями 0,95 и 0,99. Значимые значения выделяем жирной границей.

.

Рисунок 17 – Преобразованная таблица Чеддока.

Вставляем пакет анализа Excel «Корреляция» (см. Рисунок18). Для того чтобы его использовать, на ленте выбираем вкладку «Данные» – «Анализ данных». Выбираем «Корреляция». В появившемся окне выбираем: «Входной интервал» - выделяем значения всех сопротивлений и наибольшего тока, ставим галочку «Метки в первой строке», «Выходной интервал» - выбираем ячейку, куда выведется таблица со значениями коэффициента корреляции.

 

.

Рисунок 18 - Пакет анализа «Корреляция».

 

Редактируем выведенную таблицу. Заполняем  пустые ячейки таблицы транспонированием  столбцов. Для этого в 1-ую пустую ячейку 1-ой строки вводим формулу ТРАНСП (выделяем 1-ый столбец (без первой ячейки  с 1)), потом удерживая SCHIFT выделяем всю строку, нажимаем F2 и CTRL – SCHIFT – ENTER и так для каждой строки (см. Рисунок 20).

Создаем правила для всех ячеек  таблицы в соответсвии с таблицей Чеддока (см. Рисунок 17). Для этого на вкладке «Главная», группе элементов «Стили» выбираем «Условное форматирование» - «Управление правилами». Нажимаем создать правило. Выбираем строку «Использовать формулу для определения форматируемых ячеек». В строке «Форматировать значения, для которых следующая формула является истинной» вводим формулу: =И(0,1<=ссылка на диапазон ячеек таблицы<0,3). Нажимаем «Формат» и в появившемся окне на вкладке «Заливка» выбираем нужные параметры цвета и штриховки. Анологично поступаем для других степеней тесноты связи (см. Рисунок 19).

Рисунок 19 – Создание правил форматирования.

Далее обводим жирной границей  и соответсвующей штриховкой те ячейки, значения которых удовлетворяют  условиям строк «Значимые(0,95)» и  «Значимые(0,99)» в таблице Чеддока (см. Рисунок 9). Для этого на вкладке «Главная» в группе «Шрифт» выбираем «Толстая внешняя граница».

 

Рисунок 20 - Таблица коэффициентов корреляции.

 

Смотрим по таблице тесноту связи  и значимость коэффициентов  
корреляции (см. Рисунок 20). Значения обратного преобразования Фишера со значимостями 0,95 и 0,99 имеют одинаковые коэффициенты корреляции (15 ячеек). В основном преобладают ячейки с  линейной зависимостью (прямая – 18 ячеек, обратная – 16), слабой зависимостью (прямая – 14, обратная – 18). Умеренная, заметная, высокая и весьма высокая зависимости имеют по малому равному количеству ячеек (прямая – 2 ячейки, обратная – 0 ячеек).

3.8) Регрессионный анализ.

Регрессионный анализ, заключается в определении  аналитического выражения связи  зависимости случайной величины Y с независимыми случайными величинами X₁, X₂, …X_m. Форма связи результативного признака Y с факторами X₁, X₂, …X_m, получила название уравнения регрессии. В зависимости от типа выбранного уравнения различают линейную и нелинейную регрессию. В зависимости от числа взаимосвязанных признаков различают парную и множественную регрессию.

При изучении регрессии следует придерживаться определенной последовательности этапов:

1. Знание аналитической формы уравнения регрессии и определение параметров регрессии.
2. Определение в регрессии степени стохастической взаимосвязи результативного признака и факторов, проверка общего качества уровня регрессии.
3. Проверка статистической значимости каждого коэффициента  уравнения регрессии и определения их доверительных интервалов.

Этап 1:

Уравнение линейной множественной регрессии имеет  вид:

 

где      - теоретические значения результативного признака, полученные путем подстановки соответствующих значений факторных признаков в уравнение регрессии;

 

,,- значения факторных признаков;

,,- - параметры уравнения (коэффициенты регрессии).

Параметры уравнения регрессии могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов* (именно этот метод и используется в Microsoft Excel). Сущность данного метода заключается в нахождении параметров модели (ai), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии, т е.

 

 

Рассматривая S в качестве функции параметров а_i,- и проводя математические преобразования (дифференцирование), получаем систему нормальных уравнений с т неизвестными (по числу параметров а_i):

Рисунок 21 – Система нормальных уравнений.

 

Решив систему уравнений, находим  значения параметров а_i   являющихся коэффициентами искомого теоретического уравнения регрессии.

 

Этап 2:

Для определения величины степени  стохастической взаимосвязи результативного признака Y  и факторов X необходимо знать следующие дисперсии:

• общую дисперсию результативного признака 7, отображающую влияние как основных, так и остаточных факторов:

 

 

где - среднее значение результативного признака Y.

• факторную дисперсию результативного признака Y, отображающую влияние только основных факторов:

 

 

• остаточную дисперсию результативного признака Y, отображающую влияние только остаточных факторов:

 

 

 

При корреляционной связи результативного признака и факторов выполняется соотношение:

 

 

Для анализа общего качества уравнения  линейной многофакторной регрессии используют обычно множественный коэффициент детерминации R², называемый также квадратом коэффициента множественной корреляции R. Множественный коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

 

 

 

 

- этот коэффициент характеризует  адекватность построения модели.

Так как в большинстве случаев  уравнение регрессии приходится строить на основе выборочных данных, то возникает вопрос об адекватности построенного уравнения генеральным данным. Для этого проводится проверка статистической значимости коэффициента детерминации R² на основе F-критерия Фишера:

 

 

где n - число наблюдений;

т - число факторов в уравнении регрессии.

В математической статистике доказывается, что если гипотеза H₀ : R² = 0 выполняется, то величина F имеет F-распределение с к = т и l=n-m-1 числом степеней свободы.

Гипотеза H₀ : R² = 0  о незначимости коэффициента детерминации R² отвергается, если .

При значениях R > 0,7 считается, что вариация результативного признака Y обусловлена в основном влиянием включенных в регрессионную модель факторов X.

Для оценки адекватности уравнения  регрессии часто также используют показатель средней ошибки аппроксимации:

 

 

Этап 3:

Возможна ситуация, когда часть  вычисленных коэффициентов регессии не обладает необходимой степенью значимости, т.е. значения данных коэффициентов будут меньше их стандартной ошибки. В этом случае такие коэффициенты должны быть исключены из уравнения регрессии. Поэтому проверка адекватности построенного уравнения регрессии наряду с проверкой значимости коэффициента детерминации R² включает в себя также и проверку значимости каждого коэффициента регрессии.

Значимость коэффициентов регрессии проверяется с помощью t-критерия Стьюдента:

 

 

где - стандартное значение ошибки для коэффициента регрессии

В математической статистике доказывается, что если гипотеза H₀ : R² = 0 

 выполняется, то величина t имеет распределение Стьюдента с k: = п—т-1 числом степеней свободы, то есть:

 

 

Гипотеза  H₀ : R² = 0  о незначимости коэффициента регрессии отвергается, если .

Кроме того, зная значение t_кр, можно найти границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии:

 

 

 

 

В программе Excel множественная линейная регрессия проводится с помощью инструмента регрессия пакета анализа.

Факторами регрессии являются сопротивления  в цепи. Выходным параметром является ток. С помощью инструмента регрессия  выводим графики остатков, нормированной вероятности, подборов.

Стандартная ошибка считается по формуле:

 

 

 

Проводя регрессионный анализ в  программе Excel мы копируем все исходные данные сопротивлений и один ток. Таблицу «Регрессионная статистика» получаем с помощью пакета анализа инструмента регрессия. За входной интервал Y выбирается значение тока, за входной интервал X значение всех сопротивлений. Выводим графики остатков, нормальной вероятности, подборов.

 

Рисунок 22– Пакет анализа «Регрессия».

 

 

 

 

 

 

                                          

 

                                          Таблица 12

Регрессионная статистика
Множественный R	0,99903017
R-квадрат	0,99806129
Нормированный R-квадрат	0,99778433
Стандартная ошибка	0,0229376
Наблюдения	65

 

Множественный R – это - коэффициент корреляции R

R-квадрат – коэффициент детерминации R²

Стандартная ошибка считается по формуле:

 

.

 

Таблица дисперсионный  анализ:

 

Дисперсионный анализ					Таблица 13
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	8	15,168	1,896001271	3603,64904	5,01933E-73
Остаток	56	0,02946	0,000526134
Итого	64	15,1975

Столбец df – число степеней свободы равное 8.

Для строки регрессия  число степеней свободы определяе5тся  количеством факторных признаков m в уровне регрессии k_ф=m.

Для строки остаток  число степеней свободы определяется числом наблюдений n и количеством переменных в уравнении регрессии m+1:k₀=n-(m+1). Для строки итого число степеней свободы определяется суммой k_y=k_ф+k₀

Столбец SS – сумма квадратов отклонений Для строки регрессия – эта сумма квадратов отклонений теоретических данных от среднего:

 

 

Для строки остаток  – эта сумма квадратов отклонений эмпирических данных от теоретических:

 

 

 

Для строки итого  – эта сумма квадратов отклонения эмпирических данных от среднего:

.

 

 

Столбец МS- дисперсии, рассчитываемые по формуле:

.

Для строки регрессия  – это факторная дисперсия .

Для строки остаток  – это остаточная дисперсия .

Столбец F – расчетное значение F-критерия Фишера.

 

Столбец значимости F – значение уровня значимости, соответствующее вычисляемому значению F_p. Так как F=5.01933E - 73, т.е. F> Значимость F, то множественный коэффициент детерминации существенно больше нуля.

Таблица сигнетированных коэффициентов регрессии a_i и их статистические оценки:

                                                                                                           

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                           Таблица 14

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	42,78194905	0,1573	271,9832788
r01	-1,653029653	0,03743	-44,1611447
r02	0,285867863	0,05507	5,191303202
R1	-1,620659604	0,01655	-7,89968321
R2	-0,323161206	0,01126	-28,69589136
R3	-0,472454265	0,0101	-46,78349964
R4	-0,155263568	0,00466	-33,29383404
R5	-0,709662101	0,00611	-116,095122
R6	-0,016568154	0,00721	-2,29905722