Классификация целочисленных бинарных квадратичных форм

Теорема 9. При любом ∆≠ 0 существует только конечное число неэквивалентных форм, имеющих дискриминант, равный.

Определение 9. Форма при ∆<0, а>0 называется положительно определенной, а при ∆<0, а<0 — отрицательно определенной.

Поскольку при таком числа а и с имеют одинаковые знаки и каждой положительно определенной форме соответствует отрицательно определенная форма ,, принимающая те же значения, но с обратным знаком, достаточно рассмотреть только один из этих двух случаев. Мы будем рассматривать положительно определенные формы.

Из теоремы  4  следует, что  если  - положительно определенная форма, то и весь класс  состоит из положительно определенных форм. Можно поэтому говорить о классах положительно определенных форм. Для положительно определенных форм теорему 8 можно несколько уточнить и дать ее в следующем виде.

Теорема 8'. Для каждой положительно определенной формы существует эквивалентная форма , такая, что

a₁ b₁a₁c₁

Определение 10. Положительно определенная форма называется приведенной, если

а при                                      (15)

Теорема 10. В каждом классе положительно определенных форм имеется в точности одна приведенная форма, т. е. одна форма, удовлетворяющая условиям (15).

Пример 1. Определить, эквивалентны ли формы и  Если они эквивалентны, то найти подстановку, переводящую вторую форму в первую.

Форму подстановкой переводим в форму

 

Подстановка переводит  в приведенную форму .

Подстановка T== переводит      непосредственно   в .   Форму   подстановкой  переводим в . Здесь

Подстановка  переводит в а подстановка    S=    форму непосредственно в

Формы эквивалентны.

T^-1=, ST^-1=- подстановка, переводящая

{3, -3,  1} в {73, 17,  1}.

Возникает вопрос: сколько существует таких подстановок и чем они отличаются друг от друга?

Теорема 11. Для любой приведенной примитивной положительно определенной формы с дискриминантом, отличным от и , существуют в точности две унимодулярные подстановки, переводящие эту форму самое в себя.

Одна   из   этих   подстановок  , а другая .

Определение 10. Унимодулярные линейные подстановки, переводящие квадратичную форму самое в себя, называются ее автоморфизмами.

Теорема 12.  При   существует только одна приведенная положительно определенная форма, а именно форма . Эта форма имеет четыре автоморфизма:

                           ,, .                              (21)

Теорема 13. При 3 существует только одна приведенная положительно определенная форма, а именно форма . Эта форма имеет шесть автоморфизмов:

,, ,.

Теорема 14. Число автоморфизмов  примитивной  положительно   определенной формы     с   дискриминантом    равно:

1) 4 при  4,

2) 6 при 3,

       3) 2 при всех  остальных значениях

Теорема  15. Примитивная   положительно   определенная  форма с дискриминантом  , кроме ,

  имеет еще только  следующие автоморфизмы:

1.    при ;
2. при 3.

Теорема 16. Число унимодулярных линейных подстановок, переводящих примитивную положительно определенную форму  в эквивалентную ей форму

а₁b₁с₁ дискриминантом равно:

1) 4 при 4;

2) 6 при 3;

3) 2 при всех остальных значениях

Доказательство. Пусть S - такая линейная подстановка, переводящая в , U  — произвольный автоморфизм ; тогда US также переводит в ,

Мы получим все унимодулярные  подстановки, переводящие {а, b, с} в {а₁, b₁ ,с₁} если при заданном S будем в качестве U брать различные автоморфизмы формы . Действительно, если Т — произвольная унимодулярная линейная подстановка, переводящая в , то TS^-1  — автоморфизм то есть  , .

Вместе  с   тем   равенство       возможно  только   при  .

Таким образом, число унимодулярных  подстановок, переводящих в равно числу автоморфизмов , т. е., согласно предыдущей теореме, равно: 4 при 4; 6 при 3 и 2 при всех остальных значениях .

 

1.2 Алгоритм нахождения всех  собственных представления числа

 

Чтобы  найти все  собственные представления  числа N примитивной положительно  определенной формой    надо:

1) Решаем  сравнение x² (mod4|N|)  и находим значения B, удовлетворяющие этому сравнению, такие, что . Если таких значений B  нет, то ([1],теорема  288) не существует представлений N формой . Если же такие B существуют, то каждому представлению N формой соответствует ([1],теоремы 288 и 282)  эквивалентная форма с такими B и C, определяемыми из равенства (12).

2) Найдя  все B, удовлетворяющие сравнению , такие, что и соответствующие С, мы можем составить все формы , а затем, выделив из них, как это было показано выше, формы, эквивалентные , найти все унимодулярные подстановки вида , переводящие  

в такие .

Согласно формулам (5), где , каждая пара, есть решение неопределенного уравнения

.

 Пример:

  Найти все представления числа 73 формой

.

Решение:

Очевидно, что в данном случае все представления  собственные. Дискриминант 3. Сравнение , эквивалентное системе ,   имеет четыре решения.  Находя  эти решения,   получаем

 

Из возможных значений условию удовлетворяют . Значения , определяемые из равенства , равны соответственно 1 и 57.

Форма , (§1,пример 1), эквивалентна форме {73, 17, 1} и переходит в нее с помощью подстановки так что х₁ =1,  y₁=10   представляет собой решение уравнения   = 73.

  Умножая    слева на указанные ([1], теорема 296) для случая 3 автоморфизмы  находим    еще    две    подстановки,   переводящие   , а именно  , что дает еще два решения:.

Остальные три подстановки   получаются из найденных переменой знаков всех элементов, что дает еще три решения:

При        форма       подстановкой переводится   в  форму . Форма   подстановкой     в и , наконец,  эта форма подстановкой    переводится в .

Произведение U=      =  переводит    непосредственно  в   , а произведение SU^-1,  где S=, переводит .   Находим

SU^-1==;

 — решения   неопределенного   уравнения= 73.

Умножая   слева на автоморфизмы находим еще две подстановки: переводящие {, и получаем соответствующие решения:  Меняя   знаки, находим    еще    три    решения: так что уравнение = 73. имеет всего 12 решений в целых числах.

 

 

 

 

§ 2 КЛАССИФИКАЦИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПРИВЕДЕННЫХ ФОРМ

 

Теорема 1. Пусть (сокращенно обозначимая – бинарная целочисленная квадратичная форма с детерминантом и пусть не является квадратом. определим последовательность

 

 бинарных квадратичных  форм с детерминантом  следующим образом:

оределяют по формуле ;

 определяют  как наибольшее решение сравнения

 

 для которого имеет место неравенство

 

в случае, когда такое  решение существует, а если такого решения нет, то определяется как наименьшее по модулю решение сравнения , причем если имеются два равных по модулю решения, то в качестве следует выбирать положительное.

Тогда полученная таким  способом из данной формы последовательность форм, начиная с некоторого места, является переодической. Формы из этого периода и называются циклом приведенных форм. Кроме того, две бинарные формы эквивалентны тогда и только тогда, когда они порождают один и тот же цикл приведенных форм.

Предположим, что  не квадрат. Тогда в случае неопределенных форм из теоремы 1 можно вывести, что приведенные формы (лежащие в цикле) – это в точности формы, удовлетворяющие неравенствам

 

Приведенные формы можно отыскать так же легко, как и раньше: для  каждого положительного целого числа разложим число на множители, , всеми возможными способами, удовлетворяющими неравенству (4).

В случае когда  число  является квадратом, мы должны слегка видоизменить теорему 1, в частности строгое неравенство (3) должно быть заменено на нестрогое . Далее, процесс, описанный в теореме 1, завершается на некотрой форме с . если этот процесс провести в противоположном направлении, то он завершится на некоторой форме . Гаусс доказал, что двее формы собственно эквивалентны тогда и только тогда, когда , и несобственно эквивалентны тогда и только тогда, когда

 

где через  обозначен наибольший общий делитель. Вследствии этого мы расширим понятие приведенной формы так, чтобы помимо форм, удовлетворяющих ( 4), приведенными считались и все формы вида

 

Тогда «цикл» приведенных форм  превращается в конечную последовательность

 

Таблица1. Приведенные положительно определенные бинарные формы

	Формы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Таблица 2. Приведенные  неопределенные бинарные формы

	Формы
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15

В табл. 1 и 2 с использованием обозначений теоремы 1 перечислены некоторые приведенные бинарные квадратичные формы. Все приведенные бинарные квадратичные формы приведены в Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Том 2. стр. 455-457 с . В табл. 1 приведены положительно определенные формы с , а в табл. 2 все четыре цикла

 

 

 

 

представлены в виде одного элемента

 

В расстановке  знаков следует помнить, что перед  нижними символами они чередуются. Определенная осторожность требуется в восстановлении исходных циклов, так как некоторые из только что упомянутых четырех циклов могут совпадать, и поэтому элемент таблицы может представлять один, два или четыре цикла. Мы употребляем круглые и фигурные скобки для дальнейшего уменьшения размеров таблицы. Символы, стоящие, в круглых скобках, означают период или полупериод. Так, для элемент представляет четыре различных цикла

 

 

 

 

Однако элемент 

 

для дает нам только два неэквивалентных цикла, а именно цикл

 

и его обращение. Большинство элементов в таблице  содержится внутри фигурных скобок, которые  указывают на отражение относительно наиболее удаленных от середины разрядов. Так, для  элемент

 

представляет  единственный цикл

 

 в то  время как для  элемент

 

представляет  два цикла

 

и

 

Если  точный квадрат, то циклы превращаются в цепочки, оканчивающиеся нулями. Так, для элемент

 

представляет 

 

и

 

§ 3 КЛАССИФИКАЦИЯ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ С ПОМОЩЬЮ ТОПОКАРТ

 

3.1 Бинарная квадратичная форма, как функция на некоторой плоской решетке

 

  Мы  определяли функцию f  как функцию от  упорядоченной пары , но можно рассматривать ее как функцию от двумерного вектора , где - два линейно независимых вектора.  Линейные комбинации с целыми коэффициентами образуют плоскую решетку, как на рисунке ниже, векторы на этой решетке можно складывать и вычитать.

 

                            

   Базисом, решетки называется  пара векторов решетки наподобие , обладающая тем свойством, что всякий вектор решетки единственным образом записывается в виде линейной комбинации векторов из базиса с целыми коэффициентами.

   Итак, бинарная квадратичная форма-  это некоторая функция на плоской  решетке.

   Функция f является квадратичной формой тогда и только тогда, когда:

1. Скаляры ведут себя квадратично, т.е. ;
2. Функция является симметрической билинейной формой; это означает, что