Классификация целочисленных бинарных квадратичных форм

 

Пример.

Изобразить некоторые целочисленные  значения квадратичной формы в виде топокарт.

Решение. Для этой формы имеем 

-4, 0, 4 – арифметическая прогрессия.

 

 

Озера.

1)значения  на областях, граничащих с озером,  образуют арифметическую прогрессию.

                                

Пример.

Изобразить некоторые целочисленные  значения квадратичной формы в виде топокарт.

Решение. Для этой формы имеем 

 

2, 3, 4, 5, 6, … - образуют арифметическую  прогрессию.

2) У 0-формы  все значения равны 0 и топокарта состоит из бесконечного набора озер.

 

 

 

3) Форма,  представляющая только ноль и  положительные числа

 

                                            

Пример:

Изобразить  некоторые целочисленные значения квадратичной формы в виде топокарт.

Решение:

Для этой формы  имеем

4)Случай  с двумя озерами.

(0,±) –  форма, представляющая числа любого  знака, в том  числе  0. В  этом  случаи имеется озеро и непостоянная арифметическая прогрессия, члены которой в каком-то месте на берегу озера обязаны менять знак. Для целой формы такая река, вытекающая из  озера, должна  впадать в  озеро.

Пример:

Изобразить некоторые целочисленные  значения квадратичной формы в виде топокарт.

Решение. Для этой формы имеем 

 

Замечание:

Любое  озеро  содержит  колодец.

Два озера с дамбой

При разработке классификации, я  обнаружила еще  один  класс «Два озера с дамбой».

Функция имеет  вид  , где n принимает все целые значения, кроме 0.

Топокарта имеет вид:

Пример 1.

Изобразить некоторые целочисленные  значения квадратичной формы в виде топокарт.

Решение. Для этой формы имеем 

 

Пример 2.

Изобразить некоторые целочисленные  значения квадратичной формы в виде топокарт.

Решение. Для этой формы имеем 

 

 

 

§ 4 РЕШЕНИЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ МЕТОДОМ ТОПОКАРТ И МЕТОДОМ ГАУССА

 

В данном параграфе приведем по одному примеру на каждый класс топокарт, другие примеры рассмотрены в приложении.

Простые колодцы

Пример.

Решить диофантово уравнение с помощью топокарт и метода Гуасса.

Решение. Для этой формы имеем 

21, 14, 7 – арифметическая прогрессия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция может принимать значения: 6, 7, 8, 18, 21, 24, 46, 52, … 

Найдем, при каких значениях функции принимает значение 52?

Решение: Очевидно, что в данном случае все представления собственные. Дискриминант . Сравнение , эквивалентное системе Находя решение системы сравнений , используя условие , получаем . Значение , определяемое из равенства равно .

Форма эквивалентна форме . Покажем это:

При форма подстановкой переводится в форму .

 

Форма переводится в форму .

Форма подстановкой переводится в форму

 

Форма подстановкой переводится в форму .

Форма подстановкой переводится в форму .

Подстановка преводит непосредственно в .

Подстановка переводит в .

Находим .

решение неопределенного  уравнения  Меняя знаки, находим еще одно решение: Уравнение имеет всего 2 решения в целых числах.

Ответ:

Двойные колодцы

Пример.

Решить диофантово уравнение с помощью топокарт и метода Гуасса.

Решение. Для этой формы имеем 

9, 9, 9 – арифметическая прогрессия.

 

Функция может принимать значения: 3, 6, 9, 18, 27, 33, 51, 57, 66, … 

Найдем, при каких значениях функции принимает значение 18?

Решение: Очевидно, что в данном случае все представления собственные. Дискриминант . Сравнение , эквивалентное системе Находя решение системы сравнений, используя условие , получаем . Значение , определяемое из равенства равно .

Форма эквивалентна форме . Покажем это:

При форма подстановкой переводится в форму .

 

Форма подстановкой переводится в форму .

Подстановка переводит непосредственно в .

Подстановка переводит в .

Находим .

решение неопределенного  уравнения  Меняя знаки, находим еще одно решение:

Форма эквивалентна форме . Покажем это:

При форма подстановкой переводится в форму .

 

Форма подстановкой переводится в форму .

Форма подстановкой переводится в форму

 

Форма подстановкой переводится в форму

Подстановка переводит непосредственно в 

Находим .

решение неопределенного  уравнения  Меняя знаки, находим еще одно решение: Уравнение имеет всего 4 решения в целых числах.

Ответ:

Два озера с дамбой

Пример.

Решить диофантово уравнение с помощью топокарт и метода Гуасса.

Решение. Для этой формы имеем 

 

 арифметическая прогрессия.

Функция может принимать значения: 0, -3, 3, 6, 9, 12, 18, 30, 36, 45, …

Найдем, при каких значениях функции принимает значение 18?

Решение: Очевидно, что в данном случае все представления собственные. Дискриминант . Сравнение , эквивалентное системе Находя решение системы сравнений, используя условие , получаем . Значение , определяемое из равенства равно .

Форма не эквивалентна форме .

Форма эквивалентна форме . Покажем это:

При форма подстановкой переводится в .

 

Форма подстановкой переводится в форму .

 

Форма подстановкой переводится в форму .

Подстановка переводит непосредственно в .

Подстановка переводит в .

Находим

решение неопределенного  уравнения  Меняя знаки, находим еще одно решение: Уравнение имеет всего 2 решения в целых числах.

Ответ:

Реки

Решить диофантово уравнение с помощью топокарт и метода Гуасса.

Решение. Для этой формы имеем 

-1, 4, 9 – арифметическая прогрессия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.  

 

11.  

 

12.  

 

13.  

 

14.  

 

15.  

 

16.  

 

17.  

 

18.  

 

19.  

 

 

 

21.  

 

 

 

23.  

 

 

Таким образом, на левом берегу реки функция принимает значения: -1, -3, -5, -9, -15, -25, -29, -35, -51, -57, -83, -99, …

На правом берегу: 5, 7, 9, 13, 35, 75, 81, 145, …

Найдем, при каких значениях функции принимает значение 9?

Решение: Очевидно, что в данном случае все представления собственные. Дискриминант . Сравнение , эквивалентное системе Находя решение системы сравнений, используя условие , получаем . Значение , определяемое из равенства равно .

Форма не эквивалентна форме .

Форма эквивалентна форме . Покажем это:

При форма

 

подстановкой  переводится в форму .

Форма подстановкой переводится в форму .

Форма подстановкой переводится в .

 

Форма   подстановкой переводится в форму .

Подстановка переводит непосредственно в .

Подстановка переводит в .

Находим

решение неопределенного  уравнения  Меняя знаки, находим еще одно решение: Уравнение имеет всего 2 решения в целых числах.

Ответ:

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

     В результате своей исследовательской  работы я изучила более   подробно бинарные квадратичные  формы.  Познакомилась с методом  Гаусса решения диофантовых уравнений и новым методом представления значений бинарных  квадратичных  форм Джоном Конвеем. Привела свои примеры по решению диофпнтовых уравнений второй степени, при решении которых использовала метод Гаусса и метод топокарт.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

-  рассмотреть  понятия о квадратичной  форме,  изучить  свойства и основные  теоремы; определения базиса решетки,  нормы векторов, топографии базисов и супербазисов;

-  исследовать  существующую классификацию квадратичных  форм;

- совместить  задачу на нахождение множества   значений квадратичной формы  с задачей Гаусса, на  нахождение  всех  представлений  целых   чисел  в  виде бинарной квадратичной формы;

- привести  свои примеры диофантовых уравнений и их решение.

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М., 2010, с. 384
2. Виноградов И.М. Основы теории чисел. Изд-во «Наука», М., 1972 с. 167
3. Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях/Перевод с англ. С.М.Львовского.- М.:МЦНМО, 2008, с.144.
4. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Том 2. М.: Мир, 1990, с. 376