Классификация целочисленных бинарных квадратичных форм

 

и

 

   Запишем бинарную квадратичную  форму   в виде:

 

   Тогда соответствующая билинейная  форма имеет вид

 

   Соотношение между коэффициентами  в квадратичной форме  и элементами матрицы

 

приводит  к двум различным пониманиям  термина «целая квадратичная форма». Будем говорить, что квадратичная форма является целой, если целочисленны ее значения при целых значениях переменных — форма удовлетворяет этому условию в точности тогда, когда - целые числа. Будем говорить, что квадратичная форма матрично целочисленна, если целочисленны элементы соответствующие матрице - форма удовлетворяет этому условию, если целыми числами являются  .

   Две квадратичные формы,  выглядящие совершенно по-разному,  могут быть по существу одинаковыми.  Будем называть две формы (целочисленно) эквивалентными, если они представляют одну и ту же функцию на решетке, но, возможно, в двух разных базисах.

 

Примитивные векторы, базисы и супербазисы

 

   Исследуем свойства квадратичной  формы, не зависящие от базиса. Наших рассмотрения будут состоять в тщательном изучении трех понятий: примитивных векторов, базисов и супербазисов.

Поскольку , мы видим, что для того, чтобы исследовать значения f на всех векторах, достаточно изучить ее значения на примитивных векторах, т.е. векторах, не имеющих вида; ни для какого целого .  Далее, поскольку  ;  часто  будет удобно мыслить и как «один и тот же» вектор. Строгим вектором будет называться примитивный вектор , мыслимый как отличный от , а нестрогим  вектором будет  называться пара , где строгий вектор. 

    Точно так же строгим базисом называется такая упорядоченная пара векторов  ,  что в виде их линейной комбинации с целыми коэффициентами представляется любой вектор решетки.  Нестрогий базис - это множество,  получаемое из строгого базиса. Наконец, строгий супербазис — это упорядоченных тройка ,  для которой и  строгий базис (из строгих векторов), а нестрогий супербазис - это множество ,  где — строгий супербазис.

Все векторы, входящие в базис или  супербазис  являются примитивными, и обратно, всякий примитивный вектор входит в некоторый базис.

     Ясно, что всякий супербазис

 

содержит  в  точности три базиса

,  ,  .

С другой  стороны, всякий базис    содержится в точности в двух  супербазисах:

, .

 

Топография базисов  и супербазисов

 

   Связи между базисами и   супербазисами можно изобразить на картинке. Нарисуем граф, на котором каждый  супербазис (ο) соединен с  тремя  содержащимися в нем  базисами (     ).

                        

   Поскольку каждый  супербазис содержится ровно в двух   супербазисах, можно изобразить такую  топокарту, на которой каждому базису  соответствует ребро, а каждому супербазису -  вершина.

               

 

Примитивные векторы на топокарте

 

   Если , входит в базис , входящий в свою  очередь, в супербазис  ,   то, кроме этого входит в только один  из  двух остальных базисов, содержащихся в этом супербазисе, а именно .  Значит вершины и ребра, содержащие образуют несамопересекающуюся ломаную. Следовательно, мы можем добавить к нашей топокарте область, ограниченную этой ломаной,  и отождествить эту область с  Если разметить таким образом все области на топокарте ,

то  каждой области будет соответствовать  нестрогий вектор  ; два вектора, граничащие по ребру, образуют (нестрогий базис), а три вектора, сходящиеся в одной точке, образуют (нестрогий)  супербазис.

Число    будем называть нормой  вектора  .

 

Правило арифметической прогрессии

 

     Пусть нам известны значения  квадратичной  формы f на  трех  векторах из некоторого  супербазиса. Как найти значения в других  точках? Воспользуемся формулой

,

которая  по  существу эквивалентна хорошо  известной теореме Аполлония из  планиметрии.

Докажем ее:

,

Из доказанной формулы следует, что если

 

значения  f на четырех областях,  примыкающих к данному ребру на топокарте,  то числа образуют арифметическую прогрессию (разность  которой мы  будем  обозначать  через ).  И эту закономерность назовем правилом  арифметической прогрессии.

Далее на каждом  ориентировочном  ребре мы напишем  число .  Можно выбрать ориентацию ребер таким образом,   чтобы не  получилось отрицательных значений  .  А если ,  то мы будем, как правило, опускать стрелку.

Рисунок

                                      

означает,  что 

, 

В то  время  как рисунок

                                    

означает, что  

, .

 

Запись  квадратичных  форм в базисе

 

   Пусть  теперь нам даны значения  квадратичной  формы f на  супербазисе:

 

   Если теперь 

,

то

 

   Поскольку  эта функция -  единственная  однородная квадратичная функция,  для которой

.

   Итак, если нам даны супербазис и три целых числа , то  можно найти целую квадратичную  форму, принимающую значения на этом  супербазисе.

   Матричное представление  формы  в базисе имеет вид:

,

так что  определитель формы f  равен . (определитель  является инвариантом относительно целочисленной эквивалентности).

 

Лемма о  возрастании

 

   Наша топокарта является деревом, то  есть связным графом без циклов.

Лемма о  возрастании. Пусть числа на рисунке положительны. Тогда число , соответствующее третьей из областей с вершиной в Q, так же положительно, и стрелки на двух остальных ребрах, выходящих из Q, направлены прочь от Q.

                                         

Доказательство:

Числа  - по  условию положительны. Сумма положительных чисел есть число положительное.

Надпись над  ребром, граничащим с и равна

Над  ребром, граничащим и   равна .

Стрелки направлены прочь от Q.

Следующее значение , выходящее из ребра , равно - является положительным, причем .

Аналогично, из ребра , число равно . Продолжая далее легко заметить, что исходящие из Q, будут окружены положительными числами, причем бо'льшими.

Замечание: форма топокарты не зависит от квадратичной формы, она зависит только от  базисов и супербазисов в решетке Z², рассматриваемой исключительно как группа. Поэтому доказательство показывает, что цикла не получится ни  для 
какой квадратичной формы, хотя мы установили это обстоятельство 
с помощью некоторой конкретной формы.

 

 

3.2 Классификация форм по знакам:

 

(+)-формы: положительно  определенные  формы.

(-)-формы: отрицательно  определенные  формы.

( )-формы

0-формы:  форма, принимающая значения  только  равные 0.

(0+)-форма: форма, принимающая  только нулевые и положительные  значения.

(0-)-форма

(0 )-форма

    Форма f называется положительно полуопределенной, если для всех  , и  положительно определенной, если для всех 

Аналогично определяются отрицательно полуопределенные и определенные формы.

Рассмотрим  рисунок.                                                                                                     

                                             

На всех  трех  ребрах с вершиной W  стрелки  указывают прочь от W. Будем называть супербазис W колодцем, если всем трем отметкам    на  сходящихся в нем ребрах соответствуют стрелки, указывающие прочь от W. Если – значения f на этом супербазисе, то  из правила арифметической прогрессии следует, что

,

так что

.

Лемма о колодце.

Пусть дан колодец для положительно определенной квадратичной формы, или  супербазис, окруженный  тремя положительными числами, удовлетворяющими  «неравенству треугольника», т.е. , .  Тогда три вектора этого супербазиса три примитивных вектора с наименьшей нормой (т.е.   принимает на них наименьшие значения).

Доказательство: 

Обозначим через  неотрицательные числа

 

Запишем произвольный вектор  в виде

;

и выясним,  как выражается через Поскольку , вектор равен также

,

так что  может зависеть только от разностей между .

Однако  линейные комбинации выражений

 

образуют трехмерное пространство квадратичных форм. Следовательно, если какие-нибудь  два  из     совпадают, то является кратным третьего базисного вектора. Стало быть, мы можем считать, что все      различны.

Проверим, что выполняется следующая  формула Зеллинга:

 

(Формула выполнена, поскольку  правая часть является квадратичной  формой, совпадающей с   на  супербазисе или можно просто   сравнить  матрицы двух квадратичных форм в данном базисе.) Если  
не кратно ни одному из , то все разности отличны от нуля, 
так что   , что не меньше каждой из сумм , Если ни одно  из чисел   не обращаются в нуль, 
то неравенство будет строгим. Стало быть, значения, принимаемые: на 
колодце, суть три наименьших примитивных значения формы, а если 
отличны от нуля, то значения на любом другом векторе будут 
строго больше.

 

Конормы, вонормы

Числа   будут называться вонормами формы («нормами Вороного»). Числа называются конормами формы Каждая из этих троек чисел определяется по другой:

,

и

 

 

 

3.3 Классификация форм по виду топокарт:

 

1. Простые колодцы
2. Двойные колодцы
3. Реки
4. Форма с дамбой
5. Озера:  - значения на областях, граничащих с озером, образуют арифметическую прогрессию

                        - все значения равны 0

                        - форма, представляет только 0 и  положительные числа

                        - случай с двумя озерами

 

Простые колодцы

 

Назовем  супербазис W колодцем, если всем трем отметкам    на  сходящихся в нем ребрах соответствуют стрелки, указывающие прочь от W. Если – значения на этом супербазисе, то  из правила арифметической прогрессии следует, что

,

так что

.

Пример.

Изобразить  некоторые целочисленные значения квадратичной формы в виде топокарт.

Решение. Для этой формы имеем 

10, 7, 4 – арифметическая прогрессия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Двойные колодцы

Если  колодец  простым не является, то можно  считать, что 

И значения f на  векторе есть  ,   и двойной колодец имеет вид:

Пример.

Изобразить некоторые целочисленные  значения квадратичной формы в виде топокарт.

Решение. Для этой формы имеем 

15, 15, 15 – арифметическая прогрессия.

 

Реки:

Рекой назовем  ломаную PQR…, разделяющую положительные и отрицательные значения и имеющую вид:

 

Если коэффициенты у (±)-формы    - целые числа, то  река будет обязательно периодична.

Пример.

Изобразить некоторые целочисленные  значения квадратичной формы в виде топокарт.

Решение. Для этой формы имеем 

-3, 4, 11 – арифметическая прогрессия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Форма с дамбой

Если в  арифметической прогрессии содержится число 0, тогда форма эквивалентна  , и такую форму назовем форма с дамбой. Она имеет вид: