Автор работы: Пользователь скрыл имя, 14 Марта 2012 в 06:46, контрольная работа
Работа содержит решение задач по теме "Матрицы" по дисциплине "Математика".
Рассмотрим произведение A*B. Число столбцов в первом сомножителе A равен 3, число строк во втором сомножителе B тоже равно 3. Числа совпали, следовательно, произведение определено.
Результатом умножения будет матрица C = A*B, у которой строк столько, сколько их в первом сомножителе, то есть 3, а столбцов столько, сколько их во втором сомножителе, то есть 3. Итак, матрицы C имеет размеры 3 x 3 |
Находим:
Элемент c1 1. В его вычислении участвует 1-ая строка [12 -8 4] первого сомножителя A и 1--й столбец | [10] [ 6] [ 6] | второго сомножителя B: |
c1 1 = (12) * (10) + (-8) * (6) + (4) * (6) = 96; |
|
|
Элемент c1 2. В его вычислении участвует 1-ая строка [12 -8 4] первого сомножителя A и 2--й столбец | [-4] [-2] [ 2] | второго сомножителя B: |
c1 2 = (12) * (-4) + (-8) * (-2) + (4) * (2) = -24; |
|
|
Элемент c1 3. В его вычислении участвует 1-ая строка [12 -8 4] первого сомножителя A и 3--й столбец | [2] [2] [4] | второго сомножителя B: |
c1 3 = (12) * (2) + (-8) * (2) + (4) * (4) = 24; |
|
|
Элемент c2 1. В его вычислении участвует 2-ая строка [ 24 4 -16] первого сомножителя A и 1--й столбец | [10] [ 6] [ 6] | второго сомножителя B: |
c2 1 = (24) * (10) + (4) * (6) + (-16) * (6) = 168; |
|
|
Элемент c2 2. В его вычислении участвует 2-ая строка [ 24 4 -16] первого сомножителя A и 2--й столбец | [-4] [-2] [ 2] | второго сомножителя B: |
c2 2 = (24) * (-4) + (4) * (-2) + (-16) * (2) = -136; |
|
|
Элемент c2 3. В его вычислении участвует 2-ая строка [ 24 4 -16] первого сомножителя A и 3--й столбец | [2] [2] [4] | второго сомножителя B: |
c2 3 = (24) * (2) + (4) * (2) + (-16) * (4) = -8; |
|
|
Элемент c3 1. В его вычислении участвует 3-ая строка [ 8 4 -8] первого сомножителя A и 1--й столбец | [10] [ 6] [ 6] | второго сомножителя B: |
c3 1 = (8) * (10) + (4) * (6) + (-8) * (6) = 56; |
|
|
Элемент c3 2. В его вычислении участвует 3-ая строка [ 8 4 -8] первого сомножителя A и 2--й столбец | [-4] [-2] [ 2] | второго сомножителя B: |
c3 2 = (8) * (-4) + (4) * (-2) + (-8) * (2) = -56; |
|
|
Элемент c3 3. В его вычислении участвует 3-ая строка [ 8 4 -8] первого сомножителя A и 3--й столбец | [2] [2] [4] | второго сомножителя B: |
c3 3 = (8) * (2) + (4) * (2) + (-8) * (4) = -8; |
|
|
Итак, C = | [ 96 -24 24] [ 168 -136 -8] [ 56 -56 -8] |
Given the number q = -1 - степень | и матрица A = | [ 96 -24 24] [ 168 -136 -8] [ 56 -56 -8] | . Произведем возведение в степень C = Aq = A-1 |
Возводим A in degree -1 (it is the inverse matrix for A), We obtain:
[-0.20833333 0.5 -1.125 ]
[-0.29166667 0.6875 -1.5625 ]
[ 0.58333333 -1.3125 2.9375 ]
Далее, возводим эту матрицу A-1 в обычную положительную степень.
Находим:
|
Итак,
C = | [-0.20833333 0.5 -1.125 ] [-0.29166667 0.6875 -1.5625 ] [ 0.58333333 -1.3125 2.9375 ] |
Задание 3.
Дано число q = 2.0 | и матрица A = | [ 1 4 5 4 2] [ 2 6 11 4 3] [ 3 13 17 1 4] [ 2 2 2 -2 3] [ 1 -4 6 4 1] | . Найдем произведение C = q*A |
Находим:
c1 1 = q * a1 1 = 2.0 * 1 = 2.0; |
c2 1 = q * a2 1 = 2.0 * 2 = 4.0; |
c3 1 = q * a3 1 = 2.0 * 3 = 6.0; |
c4 1 = q * a4 1 = 2.0 * 2 = 4.0; |
c5 1 = q * a5 1 = 2.0 * 1 = 2.0; |
c1 2 = q * a1 2 = 2.0 * 4 = 8.0; |
c2 2 = q * a2 2 = 2.0 * 6 = 12.0; |
c3 2 = q * a3 2 = 2.0 * 13 = 26.0; |
c4 2 = q * a4 2 = 2.0 * 2 = 4.0; |
c5 2 = q * a5 2 = 2.0 * -4 = -8.0; |
c1 3 = q * a1 3 = 2.0 * 5 = 10.0; |
c2 3 = q * a2 3 = 2.0 * 11 = 22.0; |
c3 3 = q * a3 3 = 2.0 * 17 = 34.0; |
c4 3 = q * a4 3 = 2.0 * 2 = 4.0; |
c5 3 = q * a5 3 = 2.0 * 6 = 12.0; |
c1 4 = q * a1 4 = 2.0 * 4 = 8.0; |
c2 4 = q * a2 4 = 2.0 * 4 = 8.0; |
c3 4 = q * a3 4 = 2.0 * 1 = 2.0; |
c4 4 = q * a4 4 = 2.0 * -2 = -4.0; |
c5 4 = q * a5 4 = 2.0 * 4 = 8.0;
|
c1 5 = q * a1 5 = 2.0 * 2 = 4.0; |
c2 5 = q * a2 5 = 2.0 * 3 = 6.0; |
c3 5 = q * a3 5 = 2.0 * 4 = 8.0; |
c4 5 = q * a4 5 = 2.0 * 3 = 6.0; |
c5 5 = q * a5 5 = 2.0 * 1 = 2.0; |
Значит,
C = | [ 2. 8. 10. 8. 4.] [ 4. 12. 22. 8. 6.] [ 6. 26. 34. 2. 8.] [ 4. 4. 4. -4. 6.] [ 2. -8. 12. 8. 2.] |
Дана матрица А= | [ 2 8 10 8 4] [ 4 12 22 8 6] [ 6 26 34 2 8] [ 4 4 4 -4 6] [ 2 -8 12 8 2] |
Вычисляем последовательно детерминант det(A):
| 2 8 10 8 4| | 4 12 22 8 6| | 6 26 34 2 8| | 4 4 4 -4 6| | 2 -8 12 8 2| | = | + (2) *( | |12 22 8 6| |26 34 2 8| | 4 4 -4 6| |-8 12 8 2| | ) | - (8) *( | | 4 22 8 6| | 6 34 2 8| | 4 4 -4 6| | 2 12 8 2| | ) | + (10) *( | | 4 12 8 6| | 6 26 2 8| | 4 4 -4 6| | 2 -8 8 2| | ) | - (8) *( | | 4 12 22 6| | 6 26 34 8| | 4 4 4 6| | 2 -8 12 2| | ) | + (4) *( | | 4 12 22 8| | 6 26 34 2| | 4 4 4 -4| | 2 -8 12 8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|12 22 8 6| |26 34 2 8| | 4 4 -4 6| |-8 12 8 2| | = | + (12) *( | |34 2 8| | 4 -4 6| |12 8 2| | ) | - (22) *( | |26 2 8| | 4 -4 6| |-8 8 2| | ) | + (8) *( | |26 34 8| | 4 4 6| |-8 12 2| | ) | - (6) *( | |26 34 2| | 4 4 -4| |-8 12 8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 22 8 6| | 6 34 2 8| | 4 4 -4 6| | 2 12 8 2| | = | + (4) *( | |34 2 8| | 4 -4 6| |12 8 2| | ) | - (22) *( | | 6 2 8| | 4 -4 6| | 2 8 2| | ) | + (8) *( | | 6 34 8| | 4 4 6| | 2 12 2| | ) | - (6) *( | | 6 34 2| | 4 4 -4| | 2 12 8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 12 8 6| | 6 26 2 8| | 4 4 -4 6| | 2 -8 8 2| | = | + (4) *( | |26 2 8| | 4 -4 6| |-8 8 2| | ) | - (12) *( | | 6 2 8| | 4 -4 6| | 2 8 2| | ) | + (8) *( | | 6 26 8| | 4 4 6| | 2 -8 2| | ) | - (6) *( | | 6 26 2| | 4 4 -4| | 2 -8 8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 12 22 6| | 6 26 34 8| | 4 4 4 6| | 2 -8 12 2| | = | + (4) *( | |26 34 8| | 4 4 6| |-8 12 2| | ) | - (12) *( | | 6 34 8| | 4 4 6| | 2 12 2| | ) | + (22) *( | | 6 26 8| | 4 4 6| | 2 -8 2| | ) | - (6) *( | | 6 26 34| | 4 4 4| | 2 -8 12| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 12 22 8| | 6 26 34 2| | 4 4 4 -4| | 2 -8 12 8| | = | + (4) *( | |26 34 2| | 4 4 -4| |-8 12 8| | ) | - (12) *( | | 6 34 2| | 4 4 -4| | 2 12 8| | ) | + (22) *( | | 6 26 2| | 4 4 -4| | 2 -8 8| | ) | - (8) *( | | 6 26 34| | 4 4 4| | 2 -8 12| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|34 2 8| | 4 -4 6| |12 8 2| | = | + (34) *( | |-4 6| | 8 2| | ) | - (2) *( | | 4 6| |12 2| | ) | + (8) *( | | 4 -4| |12 8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|26 2 8| | 4 -4 6| |-8 8 2| | = | + (26) *( | |-4 6| | 8 2| | ) | - (2) *( | | 4 6| |-8 2| | ) | + (8) *( | | 4 -4| |-8 8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|26 34 8| | 4 4 6| |-8 12 2| | = | + (26) *( | | 4 6| |12 2| | ) | - (34) *( | | 4 6| |-8 2| | ) | + (8) *( | | 4 4| |-8 12| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|26 34 2| | 4 4 -4| |-8 12 8| | = | + (26) *( | | 4 -4| |12 8| | ) | - (34) *( | | 4 -4| |-8 8| | ) | + (2) *( | | 4 4| |-8 12| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|34 2 8| | 4 -4 6| |12 8 2| | = | + (34) *( | |-4 6| | 8 2| | ) | - (2) *( | | 4 6| |12 2| | ) | + (8) *( | | 4 -4| |12 8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6 2 8| | 4 -4 6| | 2 8 2| | = | + (6) *( | |-4 6| | 8 2| | ) | - (2) *( | |4 6| |2 2| | ) | + (8) *( | | 4 -4| | 2 8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6 34 8| | 4 4 6| | 2 12 2| | = | + (6) *( | | 4 6| |12 2| | ) | - (34) *( | |4 6| |2 2| | ) | + (8) *( | | 4 4| | 2 12| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6 34 2| | 4 4 -4| | 2 12 8| | = | + (6) *( | | 4 -4| |12 8| | ) | - (34) *( | | 4 -4| | 2 8| | ) | + (2) *( | | 4 4| | 2 12| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|26 2 8| | 4 -4 6| |-8 8 2| | = | + (26) *( | |-4 6| | 8 2| | ) | - (2) *( | | 4 6| |-8 2| | ) | + (8) *( | | 4 -4| |-8 8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6 2 8| | 4 -4 6| | 2 8 2| | = | + (6) *( | |-4 6| | 8 2| | ) | - (2) *( | |4 6| |2 2| | ) | + (8) *( | | 4 -4| | 2 8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6 26 8| | 4 4 6| | 2 -8 2| | = | + (6) *( | | 4 6| |-8 2| | ) | - (26) *( | |4 6| |2 2| | ) | + (8) *( | | 4 4| | 2 -8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6 26 2| | 4 4 -4| | 2 -8 8| | = | + (6) *( | | 4 -4| |-8 8| | ) | - (26) *( | | 4 -4| | 2 8| | ) | + (2) *( | | 4 4| | 2 -8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|26 34 8| | 4 4 6| |-8 12 2| | = | + (26) *( | | 4 6| |12 2| | ) | - (34) *( | | 4 6| |-8 2| | ) | + (8) *( | | 4 4| |-8 12| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6 34 8| | 4 4 6| | 2 12 2| | = | + (6) *( | | 4 6| |12 2| | ) | - (34) *( | |4 6| |2 2| | ) | + (8) *( | | 4 4| | 2 12| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6 26 8| | 4 4 6| | 2 -8 2| | = | + (6) *( | | 4 6| |-8 2| | ) | - (26) *( | |4 6| |2 2| | ) | + (8) *( | | 4 4| | 2 -8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6 26 34| | 4 4 4| | 2 -8 12| | = | + (6) *( | | 4 4| |-8 12| | ) | - (26) *( | | 4 4| | 2 12| | ) | + (34) *( | | 4 4| | 2 -8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|26 34 2| | 4 4 -4| |-8 12 8| | = | + (26) *( | | 4 -4| |12 8| | ) | - (34) *( | | 4 -4| |-8 8| | ) | + (2) *( | | 4 4| |-8 12| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6 34 2| | 4 4 -4| | 2 12 8| | = | + (6) *( | | 4 -4| |12 8| | ) | - (34) *( | | 4 -4| | 2 8| | ) | + (2) *( | | 4 4| | 2 12| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6 26 2| | 4 4 -4| | 2 -8 8| | = | + (6) *( | | 4 -4| |-8 8| | ) | - (26) *( | | 4 -4| | 2 8| | ) | + (2) *( | | 4 4| | 2 -8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6 26 34| | 4 4 4| | 2 -8 12| | = | + (6) *( | | 4 4| |-8 12| | ) | - (26) *( | | 4 4| | 2 12| | ) | + (34) *( | | 4 4| | 2 -8| | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-4 6| | 8 2| | = | + (-4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 6| |12 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 12 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| |12 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | 12 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|-4 6| | 8 2| | = | + (-4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 6| |-8 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| |-8 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 6| |12 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 12 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 6| |-8 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| |-8 12| | = | + (4) *( | 12 | ) | - (4) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| |12 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | 12 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| |-8 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| |-8 12| | = | + (4) *( | 12 | ) | - (4) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|-4 6| | 8 2| | = | + (-4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 6| |12 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 12 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| |12 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | 12 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|-4 6| | 8 2| | = | + (-4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|4 6| |2 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| | 2 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 6| |12 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 12 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|4 6| |2 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| | 2 12| | = | + (4) *( | 12 | ) | - (4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| |12 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | 12 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| | 2 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| | 2 12| | = | + (4) *( | 12 | ) | - (4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|-4 6| | 8 2| | = | + (-4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 6| |-8 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| |-8 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|-4 6| | 8 2| | = | + (-4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|4 6| |2 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| | 2 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 6| |-8 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|4 6| |2 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| | 2 -8| | = | + (4) *( | -8 | ) | - (4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| |-8 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| | 2 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| | 2 -8| | = | + (4) *( | -8 | ) | - (4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 6| |12 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 12 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 6| |-8 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| |-8 12| | = | + (4) *( | 12 | ) | - (4) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 6| |12 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 12 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|4 6| |2 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| | 2 12| | = | + (4) *( | 12 | ) | - (4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 6| |-8 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|4 6| |2 2| | = | + (4) *( | 2 | ) | - (6) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| | 2 -8| | = | + (4) *( | -8 | ) | - (4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| |-8 12| | = | + (4) *( | 12 | ) | - (4) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| | 2 12| | = | + (4) *( | 12 | ) | - (4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| | 2 -8| | = | + (4) *( | -8 | ) | - (4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| |12 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | 12 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| |-8 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| |-8 12| | = | + (4) *( | 12 | ) | - (4) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| |12 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | 12 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| | 2 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| | 2 12| | = | + (4) *( | 12 | ) | - (4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| |-8 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 -4| | 2 8| | = | + (4) *( | 8 | ) | - (-4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| | 2 -8| | = | + (4) *( | -8 | ) | - (4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| |-8 12| | = | + (4) *( | 12 | ) | - (4) *( | -8 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| | 2 12| | = | + (4) *( | 12 | ) | - (4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 4| | 2 -8| | = | + (4) *( | -8 | ) | - (4) *( | 2 | ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Информация о работе Контрольная работа по дисциплине « Математика»