Автор работы: Пользователь скрыл имя, 14 Марта 2012 в 06:46, контрольная работа
Работа содержит решение задач по теме "Матрицы" по дисциплине "Математика".
Значит, после выполнения простейших арифметических операций (сложение и умножения чисел) в последних детерминантах, и подстановке их значений в детерминанты выше,
получаем det(A) = det( | [ 2 8 10 8 4] [ 4 12 22 8 6] [ 6 26 34 2 8] [ 4 4 4 -4 6] [ 2 -8 12 8 2] | ) = | | 2 8 10 8 4| | 4 12 22 8 6| | 6 26 34 2 8| | 4 4 4 -4 6| | 2 -8 12 8 2| | = -576.0 |
Задание 4.
Дана система линейных уравнений (в матричном виде)
[ 1 2 2] [-1 1 2] [-2 4 5] | [x1] | = | [-14] [ 6] [ 12] | - it is a matrix equation of the form A*X = B |
Решение такого матричного уравнения методом Крамера получается так: xi получается делением детерминанта матрицы Ai(замена в матрице A i-го столбца на столбец B) на детерминант матрицы A
x1 = det( | [-14 2 2] [ 6 1 2] [ 12 4 5] | ) / det( | [ 1 2 2] [-1 1 2] [-2 4 5] | ) = -10.8 |
x2 = det( | [ 1 -14 2] [ -1 6 2] [ -2 12 5] | ) / det( | [ 1 2 2] [-1 1 2] [-2 4 5] | ) = 1.6 |
|
|
|
|
|
x3 = det( | [ 1 2 -14] [ -1 1 6] [ -2 4 12] | ) / det( | [ 1 2 2] [-1 1 2] [-2 4 5] | ) = -3.2 |
Запишем систему линейных уравнений в матричном виде
[ 1. 2. 2. -14.]
[ -1. 1. 2. 6.]
[ -2. 4. 5. 12.]
В 1ом столбце пытаемся оставить одни нули:
Преобразуем 1 строку A=[[ 1. 2. 2. -14.]].
Для этого берем 2 строку B=[[-1. 1. 2. 6.]], в ней надо взять 1 элемент next_el=-1.000. Из строки A возьмем 1 элемент el=1.000
Получим коэффициент koef=next_el/el=-1.000/1.000=-
Тогда A преобразуется в
A' = koef*A - B=-1.000*[[ 1. 2. 2. -14.]] - [[-1. 1. 2. 6.]]=[[ 0. -3. -4. 8.]]
В 1ом столбце пытаемся оставить одни нули:
Преобразуем 2 строку A=[[-1. 1. 2. 6.]].
Для этого берем 3 строку B=[[ -2. 4. 5. 12.]], в ней надо взять 1 элемент next_el=-2.000. Из строки A возьмем 1 элемент el=-1.000
Получим коэффициент koef=next_el/el=-2.000/-1.000=
Тогда A преобразуется в
A' = koef*A - B=2.000*[[-1. 1. 2. 6.]] - [[ -2. 4. 5. 12.]]=[[ 0. -2. -1. 0.]]
В 2ом столбце пытаемся оставить одни нули:
Преобразуем 1 строку A=[[ 0. -3. -4. 8.]].
Для этого берем 2 строку B=[[ 0. -2. -1. 0.]], в ней надо взять 2 элемент next_el=-2.000. Из строки A возьмем 2 элемент el=-3.000
Получим коэффициент koef=next_el/el=-2.000/-3.000=
Тогда A преобразуется в
A' = koef*A - B=0.667*[[ 0. -3. -4. 8.]] - [[ 0. -2. -1. 0.]]=[[ 0. 0. -1.66666667 5.33333333]]
В 2ом столбце пытаемся оставить одни нули:
Преобразуем 2 строку A=[[ 0. -2. -1. 0.]].
Для этого берем 3 строку B=[[ -2. 4. 5. 12.]], в ней надо взять 2 элемент next_el=4.000. Из строки A возьмем 2 элемент el=-2.000
Получим коэффициент koef=next_el/el=4.000/-2.000=-
Тогда A преобразуется в
A' = koef*A - B=-2.000*[[ 0. -2. -1. 0.]] - [[ -2. 4. 5. 12.]]=[[ 2. 0. -3. -12.]]
В 3ом столбце пытаемся оставить одни нули:
Преобразуем 1 строку A=[[ 0. 0. -1.66666667 5.33333333]].
Для этого берем 2 строку B=[[ 2. 0. -3. -12.]], в ней надо взять 3 элемент next_el=-3.000. Из строки A возьмем 3 элемент el=-1.667
Получим коэффициент koef=next_el/el=-3.000/-1.667=
Тогда A преобразуется в
A' = koef*A - B=1.800*[[ 0. 0. -1.66666667 5.33333333]] - [[ 2. 0. -3. -12.]]=[[ -2. 0. 0. 21.6]]
В 3ом столбце пытаемся оставить одни нули:
Преобразуем 2 строку A=[[ 2. 0. -3. -12.]].
Для этого берем 3 строку B=[[ -2. 4. 5. 12.]], в ней надо взять 3 элемент next_el=5.000. Из строки A возьмем 3 элемент el=-3.000
Получим коэффициент koef=next_el/el=5.000/-3.000=-
Тогда A преобразуется в
A' = koef*A - B=-1.667*[[ 2. 0. -3. -12.]] - [[ -2. 4. 5. 12.]]=[[-1.33333333 -4. 0. 8. ]]
В 1ом столбце пытаемся оставить одни нули:
Преобразуем 3 строку A=[[ -2. 4. 5. 12.]].
Для этого берем 2 строку B=[[-1.33333333 -4. 0. 8. ]], в ней надо взять 1 элемент next_el=-1.333. Из строки A возьмем 1 элемент el=-2.000
Получим коэффициент koef=next_el/el=-1.333/-2.000=
Тогда A преобразуется в
A' = koef*A - B=0.667*[[ -2. 4. 5. 12.]] - [[-1.33333333 -4. 0. 8. ]]=[[ 0. 6.66666667 3.33333333 0. ]]
В 2ом столбце пытаемся оставить одни нули:
Преобразуем 3 строку A=[[ 0. 6.66666667 3.33333333 0. ]].
Для этого берем 2 строку B=[[-1.33333333 -4. 0. 8. ]], в ней надо взять 2 элемент next_el=-4.000. Из строки A возьмем 2 элемент el=6.667
Получим коэффициент koef=next_el/el=-4.000/6.667=-
Тогда A преобразуется в
A' = koef*A - B=-0.600*[[ 0. 6.66666667 3.33333333 0. ]] - [[-1.33333333 -4. 0. 8. ]]=[[ 1.33333333 0. -2. -8. ]]
Результирующая матрица
[ 0. 0. 3. -9.6]
[ -2. 0. 0. 21.6]
[ 0. 6. 0. 9.6]
X=-10.8
Y=1.6
Z=-3.2
Задание 5.
Дана матрица А= | [ 2 4 2 8] [ 6 10 2 4] [ 8 12 4 2] [ 4 8 10 12] [14 16 18 14] |
Приведем матрицу к виду, когда будет понятно, какой у матрицы ранг (приведем к трапециевидной матрице равного ранга)
Вычтем из 2ая строка 1ая строка, so that a2 1 was equal to zero, repeat |
[ 6 10 2 4] - (6/2) * [2 4 2 8] = [ 0 -2 -4 -20], значит
|
[ 2 4 2 8] [ 0 -2 -4 -20] [ 8 12 4 2] [ 4 8 10 12] [ 14 16 18 14] |
Вычтем из 3ая строка 1ая строка, so that a3 1 was equal to zero, repeat |
[ 8 12 4 2] - (8/2) * [2 4 2 8] = [ 0 0 4 10], значит |
[ 2 4 2 8] [ 0 -2 -4 -20] [ 0 -4 -4 -30] [ 4 8 10 12] [ 14 16 18 14] |
Вычтем из 4ая строка 1ая строка, so that a4 1 was equal to zero, repeat |
[ 4 8 10 12] - (4/2) * [2 4 2 8] = [ 0 0 0 -19], значит |
[ 2 4 2 8] [ 0 -2 -4 -20] [ 0 -4 -4 -30] [ 0 0 6 -4] [ 14 16 18 14] |
Вычтем из 5ая строка 1ая строка, so that a5 1 was equal to zero, repeat |
[14 16 18 14] - (14/2) * [2 4 2 8] = [0 0 0 0], значит |
[ 2 4 2 8] [ 0 -2 -4 -20] [ 0 -4 -4 -30] [ 0 0 6 -4] [ 0 -12 4 -42] |
Вычтем из 3ая строка 2ая строка, so that a3 2 was equal to zero, repeat |
[ 0 -4 -4 -30] - (-4/-2) * [ 0 -2 -4 -20] = [ 0 0 4 10], значит |
[ 2 4 2 8] [ 0 -2 -4 -20] [ 0 0 4 10] [ 0 0 6 -4] [ 0 -12 4 -42] |
Вычтем из 5ая строка 2ая строка, so that a5 2 was equal to zero, repeat |
[ 0 -12 4 -42] - (-12/-2) * [ 0 -2 -4 -20] = [0 0 0 0], значит |
[ 2 4 2 8] [ 0 -2 -4 -20] [ 0 0 4 10] [ 0 0 6 -4] [ 0 0 28 78] |
Вычтем из 4ая строка 3ая строка, so that a4 3 was equal to zero, repeat |
[ 0 0 6 -4] - (6/4) * [ 0 0 4 10] = [ 0 0 0 -19], значит |
[ 2 4 2 8] [ 0 -2 -4 -20] [ 0 0 4 10] [ 0 0 0 -19] [ 0 0 28 78] |
Вычтем из 5ая строка 3ая строка, so that a5 3 was equal to zero, repeat |
[ 0 0 28 78] - (28/4) * [ 0 0 4 10] = [0 0 0 0], значит
|
[ 2 4 2 8] [ 0 -2 -4 -20] [ 0 0 4 10] [ 0 0 0 -19] [ 0 0 0 8] |
Вычтем из 5ая строка 4ая строка, so that a5 4 was equal to zero, repeat |
[0 0 0 8] - (8/-19) * [ 0 0 0 -19] = [0 0 0 0], значит |
[ 2 4 2 8] [ 0 -2 -4 -20] [ 0 0 4 10] [ 0 0 0 -19] [ 0 0 0 0] |
Итак, результирующая матрица есть
A ~ C = | [ 2 4 2 8] [ 0 -2 -4 -20] [ 0 0 4 10] [ 0 0 0 -19] [ 0 0 0 0] | - матрицa приведена к трапециевидной равного ранга |
Т.к. ранг матрицы равен числу ненулевых строк в приведенной матрице, то ранг для A равен 4
Дана матрица А= | [ 4 16 12 8 8] [12 8 20 8 4] [12 16 4 8 4] |
Приведем матрицу к виду, когда будет понятно, какой у матрицы ранг (приведем к трапециевидной матрице равного ранга)
Вычтем из 2ая строка 1ая строка, so that a2 1 was equal to zero, repeat |
[12 8 20 8 4] - (12/4) * [ 4 16 12 8 8] = [ 0 -40 -16 -16 -20], значит |
[ 4 16 12 8 8] [ 0 -40 -16 -16 -20] [ 12 16 4 8 4] |
Вычтем из 3ая строка 1ая строка, so that a3 1 was equal to zero, repeat |
[12 16 4 8 4] - (12/4) * [ 4 16 12 8 8] = [ 0 0 -19 -3 -4], значит |
[ 4 16 12 8 8] [ 0 -40 -16 -16 -20] [ 0 -32 -32 -16 -20] |
Вычтем из 3ая строка 2ая строка, so that a3 2 was equal to zero, repeat |
[ 0 -32 -32 -16 -20] - (-32/-40) * [ 0 -40 -16 -16 -20] = [ 0 0 -19 -3 -4], значит |
[ 4 16 12 8 8] [ 0 -40 -16 -16 -20] [ 0 0 -19 -3 -4] |
Итак, результирующая матрица есть
A ~ C = | [ 4 16 12 8 8] [ 0 -40 -16 -16 -20] [ 0 0 -19 -3 -4] | - матрицa приведена к трапециевидной равного ранга |
Т.к. ранг матрицы равен числу ненулевых строк в приведенной матрице, то ранг для A равен 3
Информация о работе Контрольная работа по дисциплине « Математика»