Кривые на плоскости

• Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль

• Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.

Собственные свойства:

Гравитационное свойство лемнискаты

• Кривая является геометрическим местом точек, симметричных с центром равносторонней гиперболы относительно её касательных;
• Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиус-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой;
• Материальная точка, движущаяся по кривой под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду. При этом ось лемнискаты составляет угол с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки;
• Площадь полярного сектора , при :

• В частности, площадь каждой петли , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата со стороной ;
• Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам;
• Длина дуги лемнискаты между точками и выражается эллиптическим интегралом рода:

где

• В частности, длина всей лемнискаты