Курсовая работа по "Теории вероятностей и математике"

При x>13 функция распределения равна 1:

График функции распределения:

 

 

 

 

12. Случайная величина имеет биноминальное распределение с математическим ожиданием  M(X)= и дисперсией  D(X)= . Найти Р(X ³ 2).

 

Решение:

Известно, что для биномиального  закона верно:

Получаем систему уравнений:

Тогда

Тогда:

 

 

 

13. Сумма всех вкладов в некотором банке составляет 4·10⁶ руб., а вероятность того, что случайно выбранный вклад не превышает 3·10⁴ руб., равна 0,8. Каково число вкладчиков данного банка?

 

Решение:

Пусть n — число вкладчиков, а (неотрицательная) случайная величина X

описывает размер случайно выбранного вклада. Тогда средний  размер вклада

и по неравенству Маркова

откуда 

По условию 

Откуда

значит, n = 667 человек

 

 

14. В среднем за час автомойку посещает 7 клиентов. Найти вероятность того, что за два часа автомойку посетят не менее 10 клиентов, и вероятность того, что в течение как минимум 12 минут на автомойке не будет ни одного клиента. Число посетителей за час распределено по закону Пуассона, а время ожидания клиента распределено по показательному закону (см. данные в таблице).

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n	5	7	3	5	4	7	6	5	6	8	8	7	5	4	6
k	9	12	7	11	9	16	13	9	13	17	11	10	7	9	8
T	10	15	25	15	10	10	15	10	17	20	13	12	19	25	13
Вариант	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
n	5	6	5	9	6	9	6	6	8	8	9	8	7	5	9
k	9	13	8	16	14	13	10	12	14	11	12	12	12	7	14
T	12	14	15	12	16	14	10	18	19	14	22	21	10	10	17

 

Решение

Так как за час посещает в среднем 7 клиента, то за два часа посетят в среднем 14 клиентов, тогда параметр распределения Пуассона будет равен: . Пусть X случайная величина клиентов посетивших автомойку.

Вероятность, что на автомойку  придет k посетителей будет находится как:

Искомая вероятность  будет определяться как:

 

Так как в  среднем обслуживается 7 клиента, то для экспоненциального распределения параметр . Так же примем, что 12 минут составляет 12/60=1/5 от часа. Тогда вероятность того, что в течение как минимум 12 минут на автомойке не будет ни одного клиента:

 

 

15. Фирма принимает заказы на некоторые услуги по телефону в течение одного часа. В стационарном режиме интенсивность потока входных заявок λ=29 , а среднее время обслуживания одной заявки Т_обсл= мин. Доход, приносимый одной принятой заявкой в среднем составляет D=11ден. ед., а стоимость содержания одного канала, т.е. телефонного аппарата вместе с оператором С=48 .

Оценить работу фирмы (определив  характеристики работы системы) и найти доходы фирмы Δ_n для n=1,2,3 (n–число каналов). Предполагается, что в случае занятости канала, происходит отказ без постановки в очередь.

Провести анализ влияния  числа каналов обслуживания на оценку работы фирмы и сделать вывод о целесообразности двухканальной и трехканальной системы.

Примечание. Доход Δ_n=DА_n–nС, где А_n- абсолютная пропускная способность системы массового обслуживания. При расчетах вероятностей состояний рекомендуется сохранить две значащие цифры после запятой.

 

Решение:

Для одноканальной системы

Интенсивность потока обслуживания:

 

Интенсивность нагрузки.

ρ = λ • t_обс = 29 • 0.08333 = 2.42

Интенсивность нагрузки ρ=2.42 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала).

 

Следовательно, 29% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 17.5 мин.

Доля заявок, получивших отказ.

 

Значит, 71% из числа поступивших  заявок не принимаются к обслуживанию.

Абсолютная пропускная способность.

A = p_обс • λ = 0.29 • 29 = 8.51 заявок/мин.

Тогда в случае одного канала, получаем, что доход будет  равен:

Δ_n=DА_n–nС=11*8,51-1*48=45,61

Проверим  двух канальную систему

Доля заявок, получивших отказ.

 

Значит, 46% из числа поступивших  заявок не принимаются к обслуживанию.

Вероятность обслуживания поступающих заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.46 = 0.54

Следовательно, 54% из числа  поступивших заявок будут обслужены.

Абсолютная пропускная способность.

A = p_обс • λ = 0.54 • 29 = 15.64 заявок/мин.

Тогда в случае двух каналов, получаем, что доход будет равен:

Δ_n=DА_n–nС=11*15,64-2*48=76,04

Проверим трех канальную систему

Доля заявок, получивших отказ.

 

Значит, 27% из числа поступивших  заявок не принимаются к обслуживанию.

Вероятность обслуживания поступающих  заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.27 = 0.73

Следовательно, 73% из числа поступивших заявок будут обслужены.

Абсолютная пропускная способность.

A = p_обс • λ = 0.73 • 29 = 21.15 заявок/мин.

Тогда в случае трех каналов, получаем, что доход будет равен:

Δ_n=DА_n–nС=11*21,15-3*48=88,65

Т.о. получаем, что более  прибыльным является наличие трех каналов

 

 

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ  СТАТИСТИКА

16. Объем дневной выручки в пяти торговых точках (в тыс. у.е.) составил: 12, 17, 22, 19, х₅. Учитывая, что = 18, найти выборочную дисперсию s².

 

Решение:

По условию известно, что:

Выборочная дисперсия:

 

 

17. Администрацию универсама интересует оптимальный уровень запасов продуктов в торговом зале, а также среднемесячный объем продаж товаров, не являющихся предметом ежедневного потребления в семье (таких, например, как сода). Для выяснения этого вопроса менеджер универсама в течение месяца регистрировал продажи соды и представил результаты в виде дискретного вариационного ряда

 

xi	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
mi	2	3	11	6	5	2	1

 

 

где x₁=0,  x_i=x₁+(i-1), , m_i – частоты.

Требуется:

а) построить полигон  относительных частот   ;

б) вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию D_x  и среднее выборочное квадратичное отклонение σ_x.

Какие рекомендации следует  дать администрации универсама?

 

Решение:

а) Объем выборки равен 

Тогда относительные  частоты:

Xi	1	2	3	4	5	6	7
mi	2	3	11	6	5	2	1
wi	0,07	0,10	0,37	0,20	0,17	0,07	0,03

 

Тогда полигон будет  выглядеть:

 

б) Среднее значение:

Дисперсия:

Среднеквадратическое  отклонение:

Т.о. администратору стоит  определить свои запасы на уровне среднего размера потребления, т.е. запас должен быть равен 3,63. При больших размерах запасах будет происходить затоваривание склада, так как потребляться будет меньше, чем есть на складе. В случае если запасы будут меньше среднего значения, то будет происходить обнуление запасов и в периоды когда спрос выше среднего, он не будет удовлетворяться в полной мере.

 

18. При изучении структуры коммерческих банков по объявленному уставному фонду из трех тысяч банков страны было отобрано по схеме собственно случайной бесповторной выборки сто. Данные о распределении банков по этому признаку представлены в таблице:

Размер уставного  фонда		До 30	30	60	90	120	Свыше 150	Итого
			60	90	120	150
Число банков		7	9	18	34	22	10	100

 

Найти:

а) вероятность того, что  средний размер уставного фонда  всех коммерческих банков отличается от среднего размера его в выборке не более чем на пять миллионов рублей (по абсолютной величине);

б) границы, в которых  с вероятностью 0,9 заключена доля всех банков, размер уставного фонда  которых не менее 120 миллионов рублей;

в) объем бесповторной выборки, при котором то же отклонение среднего размера уставного фонда всех банков (не более пяти миллионов рублей см. пункт а)), можно гарантировать с вероятностью 0,95.

 

Решение:

а) Преобразуем открытые интервалы в закрытые и рассчитаем необходимые статистики

Группы	Середина интервала, xi	Кол-во, fi	xi * fi	(x - xср)2*f
0 - 30	15	7	105	51171.75
30 - 60	45	9	405	27722.25
60 - 90	75	18	1350	11704.5
90 - 120	105	34	3570	688.5
120 - 150	135	22	2970	26185.5
150 - 180	165	10	1650	41602.5
		100	10050	159075