Курсовая работа по "Теории вероятностей и математике"

 

Средняя взвешенная

 

 

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.

 

Оценка среднеквадратического  отклонения.

 

 

1) Найдем доверительный  коэффициент:

Получаем, что Ф(t) = 0.3977

γ=2 Ф(t)=2*0. 3977=0,7954

 

 

б) Всего доля в выборке с уставным капиталом не менее 120 миллионов рублей составляет:

;

;

.

Для случайной  бесповторной выборки при определении  доли признака:

; ;

;

.

Т.к. (по условию задачи), то по таблице значений функции Лапласа .

Найдем предельную ошибку для бесповторной выборки:

;

;

.

Найдем границы, в которых с вероятностью 0,9 заключена  доля банков, размер уставного фонда  которых не менее 120 миллионов рублей:

;

.– границы, в которых  с вероятностью 0,9 заключена доля банков, размер уставного фонда которых не менее 120 миллионов рублей.

 

в) Найдем объем бесповторной выборки:

 по условию, тогда  ; ; (по таблице значений функции Лапласа).

;

.

Объем бесповторной выборки, при котором то же отклонение среднего размера уставного фонда всех банков (не более пяти миллионов рублей см. пункт а)), можно гарантировать с вероятностью 0,95 равен .

 

 

19. По данным задания 18 необходимо:

а) выдвинуть гипотезу о виде модели, аппроксимирующей эмпирическое распределение, обосновав выбор;

б) используя χ²  - критерий Пирсона, при уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – размер уставного фонда распределена по нормальному закону.

Построить на одном чертеже  гистограмму эмпирического распределения  и соответствующую нормальную кривую.

 

Решение:

Проверим гипотезу о  том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.

 

где p_i  — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону

Для вычисления вероятностей p_i применим формулу и таблицу функции Лапласа

 

где

s и x_ср найдены в предыдущем задании

Теоретическая (ожидаемая) частота равна n_i = np_i, где n = 100

 

 

Интервалы группировки	Наблюдаемая частота ni	x1 = (xi - xср)/s	x2 = (xi+1 - xср)/s	Ф(x1)	Ф(x2)	Вероятность попадания  в i-й интервал, pi = Ф(x2) - Ф(x1)	Ожидаемая частота, 100pi	Слагаемые статистики Пирсона, χ2i
До 30	7	-∞	-1.76	-0,500	-0,461	0,039	3,9	2,40
30 - 60	9	-1.76	-1.01	-0,461	-0,344	0,117	11,7	0,62
60 - 90	18	-1.01	-0.26	-0,344	-0,103	0,241	24,1	1,52
920 - 120	34	-0.26	0.49	-0,103	0,187	0,290	29,0	0,86
120 - 150	22	0.49	1.23	0,187	0,392	0,205	20,5	0,11
От 150	10	1.23	∞	0,392	0,500	0,108	10,8	0,07
	100							5.58

 

Определим границу критической  области. Так как статистика Пирсона  измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение  χ²_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая  область для этой статистики всегда правосторонняя: [χ²_kp;+∞).

Её границу χ²_kp = χ²(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры x_cp и s оценены по выборке).

χ²_kp = 7.81473; χ²_набл = 5.58

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую  область: χ²_набл < χ²_kp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение

 

 

 

20. В процессе исследования среднедушевого дохода (в руб.) обследовано 100 семей. Выявлены оценки: =1700, s =220. В предположении о нормальном законе:

а) найти долю семей, чей  среднедушевой доход находится  в пределах от 1200 до 1800;

б) выяснить при уровне значимости a=0,05 можно ли считать 1800 руб. нормативом среднедушевого дохода (проверить гипотезу H₀: а= 1800  против конкурирующей гипотезы Н₁: а≠1800;

в) построить доверительный  интервал для оценки неизвестного математического  ожидания а и дисперсии σ² (принять γ = 0,95).

 

 

Решение

а) Найдем вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу т.е. долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800. Воспользуемся формулой:

;

;

.

31% семей имеют среднедушевой  доход в пределах от 1200 до 1800.

 

б) По условию задачи и , т.е. , поэтому критическая область – двусторонняя.

Вычислим наблюдаемые  значения критерия:

;

.

Найдем критическую  точку  , используя равенство:

;

;

(по таблице значений интегральной  функции Лапласа)

.

, поэтому нулевую гипотезу отвергаем.

 

в) Найдем доверительный интервал для оценки математического ожидания генеральной совокупности, используя формулу:

;

.

Найдем доверительный  интервал для оценки (с надежностью  ) неизвестной дисперсии, используя формулу:

( ; )

;

.

Также необходимо воспользоваться  распределением Стьюдента. Сначала  по формуле  ( ) находим . Далее ищем дисперсию ( ).

 

 

 

21. По данным 16 сотрудников фирмы, где работает 220 человек, среднемесячная заработная плата составила 320 у.е., при s = 72 у.е. Какая минимальная сумма должна быть на счету фирмы, чтобы с вероятностью 0,99 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?

 

Решение

Для решения  задачи необходимо определить минимально допустимое значение генеральной средней (нижнюю границу доверительного интервала).

По условию  задачи объем выборки n = 16; объем совокупности N = 220; выборочная средняя ; доверительная вероятность P = 0,99 и среднее квадратическое отклонение s = 72.

Для определения  доверительного интервала для средней, необходимо найти предельную ошибку для средней.

Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки: 

;

где – средняя ошибка выборки, рассчитанная с учетом поправки, на которую производится корректировка в случае бесповторного отбора; t – коэффициент доверия, который находят при заданном уровне вероятности. Так для P = 0,99 по таблице значений интегральной функции Лапласа t = 2,58.

Находим предельную ошибку выборки:

;

.

Определим нижнюю границу доверительного интервала  для средней (т.е. левостороннюю критическую  область):

;

.

Находим минимальную  сумму, которая должна быть на счету  фирмы, чтобы с вероятностью 0,99 гарантировать  выдачу заработной платы всем сотрудникам:

.

 – минимальная сумма,  которая должна быть на счету  фирмы, чтобы с вероятностью 0,99 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам.

 

 

22. С целью размещения рекламы опрошено 420 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 170 человек. С доверительной вероятностью 0,95 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае. Случайны ли результаты опроса, если согласно статистике доля телезрителей, охваченных рекламой составляет 0,43 при уровне значимости a=0,05?

 

Решение:

Найдем выборочную долю, т.е. долю телезрителей, охваченных рекламой:

;

.

Вычислим среднюю  ошибку выборки:

;

;

.

По условию  задачи , то (по таблице значений интегральной функции Лапласа).

;

.

Найдем границы  доверительного интервала:

;

.

Таким образом, границы доверительного интервала  для доли телезрителей, охваченных рекламой, находятся в пределах от 0,35 до 0,45.

Значение 0,43 попадает в полученный доверительный интервал , поэтому результаты опроса не случайны.

; результаты опроса не  случайны.

 

 

23. Распределение пятидесяти предприятий по размерам основных производственных фондов Х (миллионов рублей) и выпуску продукции У (миллионов рублей) дано в таблице:

 

	y1	y2	y3	y4	y5	mxi
x1	2	3				5
x2	3	8	2			13
x3		9	14			23
x4			15	12		27
x5			9	10		19
x6			3	6	1	10
x7				1	2	3
myj	5	20	43	29	3	100

 

x₁=10-α,  x_i=x₁+(i-1)h_x,  h_x=1-0,1(10-β)^*, y₁=10(2α+β),  y_j=y₁+(j-1)h_y,  h_y=10-α, , .

Необходимо:

а) вычислить групповые  средние  и построить эмпирические линии регрессии;

б) предполагая, что между  переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: