Лекции по "Математике"

 

 

 

 

Лекция 3. Системы линейных уравнений.

метод Крамера

 

 

Содержание

1. Основные определения.
2. Метод Крамера (определителей) решения систем линейных уравнений.

 

1. Основные определения

 

• Системой линейных уравнений с неизвестными называется совокупность уравнений, в каждом из которых неизвестные присутствуют в первой степени:

                                      

где числа - коэффициенты при неизвестных, - номер уравнения, - номер неизвестной, - свободные члены.

• Решением СЛУ называется упорядоченный набор значений неизвестных

,

который при подстановке в каждое уравнение системы вместо неизвестных соответственно обращает их в верные равенства.

• Решить СЛУ – это значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений неизвестных, которые обращают уравнения системы в тождества.

 

Система линейных уравнений называется:

а) совместной, если она имеет хотя бы одно решение;

б) несовместной, если она не имеет решений;

в) определенной, если она имеет единственное решение;

г) неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений;

д) однородной, если все свободные члены равны нулю ;

е) неоднородной, если есть .

 

2. Метод Крамера (определителей) решения систем линейных уравнений

 

Правило (метод) Крамера применяется к системам, у которых число уравнений  равно числу неизвестных. Этот метод использует определители.

 

2.1. Число уравнений и неизвестных равно 2

 

Рассмотрим систему линейных уравнений

Вычисляются определители:

, , .

Здесь

- определитель системы, составленный  из коэффициентов при неизвестных;

- это определитель, полученный  из определителя  заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов;

 - это определитель, полученный из определителя   заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов.

 

1. Если , то система совместная и определенная, то есть имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

  .

 

2. Если , а хотя бы один из определителей , отличен от нуля, то система не имеет решений (несовместная).

3. Если , то система имеет бесконечно много решений (совместная и неопределенная).

 

 

 

Пример 1. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений

Решение

, поэтому СЛУ имеет единственное  решение.

, .

Тогда ; .

Ответ: система уравнений совместна и определенна, ее единственное решение .

 

Пример 2. Решить с помощью метода Крамера  систему уравнений

.

Решение

Определитель системы равен нулю: , однако один из вспомогательных определителей не равен нулю: , значит, СЛУ не имеет решений, то есть СЛУ несовместная.

 

Пример 3. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений

Решение

, , .

Поэтому система имеет бесконечно много решений.

Разделив коэффициенты 2-го уравнения на 3, получим: Оставим только одно из этих уравнений: .

Выразим через : , значение - любое действительное число. Это и есть выражение для общего решения СЛУ. Ответ можно записать так: , где .

Придавая различные значения, будем получать бесконечное множество частных решений. Например, при получим и первое частное решение . При получим и второе частное решение , и так далее.

 

2.2. Число уравнений и неизвестных равно 3

 

Рассмотрим СЛУ

Вычисляются определители:

,   ,

,   .

1. Если , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

  , .

2. Если , а хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система не имеет решений.

3. Если , то система имеет бесконечно много решений.

 

Пример 4. Решить систему линейных уравнений .

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его: ,

значит, СЛУ имеет единственное решение.

Найдем вспомогательные определители и значения неизвестных.

 

Ответ: Система совместная и определенная, единственное решение .

 

Рассмотрим пример, в котором СЛУ имеет бесконечное множество решений, и они будут найдены с применением формул Крамера.

Пример 5. Решить СЛУ

Решение

Вычислим определитель системы:

Заметим, что третье уравнение системы равно сумме первых двух уравнений, т.е. зависит от первых двух уравнений.

Отбросив третье уравнение, получим равносильную систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Оставим в левой части системы те неизвестные, коэффициенты при которых образуют определитель, не равный нулю.

Например, коэффициенты при и образуют определитель . Поэтому оставим в левой части уравнений слагаемые с и , а слагаемые с перенесем в правую часть с противоположным знаком.

Неизвестное назовем свободным, а неизвестные и - базисными неизвестными.

Запишем систему в виде и применим к ней правило Крамера:

;

Выражение

-

общее решение неопределенной СЛУ, где  - любое действительное число.

Из общего решения можно получить частные решения, если придать свободной неизвестной какое-то конкретное значение.

Например, пусть , тогда ; тогда частное решение . И так далее.

 

Контрольные вопросы

1. Запишите общий вид системы 2 линейных уравнений с тремя неизвестными.
2. Что называется решением СЛУ?
3. Что значит «решить систему линейных уравнений»?
4. Какие системы линейных уравнений называются совместными и несовместными?
5. При каком условии система линейных уравнений с неизвестными имеет единственное решение?
6. Напишите формулы Крамера для решения системы линейных уравнений. В каком случае они применимы?
7. Как, зная общее решение, записать частное решение неопределенной системы?