Лекции по "Математике"

 

 

 

 

Модуль 1. линейная алгебра

 

Лекция 1. Матрицы

 

1. Матрицы и их виды
2. Операции над матрицами
3. Свойства операций над матрицами

 

 

1. Матрицы и их виды

 

Матрицей размерности называется таблица чисел, расположенных в строках и столбцах: 

,

Матрицы обозначаются латинскими буквами А, В, С, …

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Каждый элемент матрицы А имеет два индекса - номер строки, - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Для матриц используют обозначение или , .

Пример 1. Матрицы

Матрица-строка: .

Матрица-столбец: .

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов ( ), называется квадратной, иначе матрица называется прямоугольной.

Элементы квадратной матрицы , для которых , называются диагональными, а диагональ матрицы, на которой они находятся, - главной диагональю.

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны , а остальные элементы равны :

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме диагональных, равны 0, называется диагональной:

.

 

2. Операции над матрицами

 

1. Равенство матриц.

Матрица называется равной матрице , если они одинаковой размерности и их соответствующие элементы равны.

 

2. Транспонирование матриц.

Если элементы каждой строки матрицы строки записать в том же порядке в столбцы матрицы , то матрица называется транспонированной матрицей. Она обозначается .

.

Пример 2. Дана матрица . Получить матрицу .

Решение.

3. Сложение (вычитание) матриц.

Суммой (разностью) матриц и одинаковой размерности называется матрица , которая имеет ту же размерность, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц и : .

 

4. Умножение матрицы  на число.

Произведением матрицы любой размерности на произвольное число называется матрица той же размерности, у которой каждый элемент равен произведению элементов на число : .

Пример 3. Дана матрица . Найти , если .

Решение.

Матрица называется противоположной для матрицы .

 

5. Умножение матриц.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , удовлетворяющая следующим условиям:

1. матрица существует, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы ;
2. число строк матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов матрицы равно числу столбцов матрицы ;
3. каждый элемент матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на элементы -ого столбца матрицы :

.

 

Пример 4. Даны матрицы и . Найти произведение .

Решение.

           

 

     № строки     №   столбца

,  и так далее.

, 

,

,

.

Итак, матрица .

 

Операции деления для матриц нет.

 

6. Возведение матрицы в степень.

-ой степенью матрицы называется такая матрица, которая получена умножением матрицы саму на себя раз:   

                                      .  

 

 

3. Свойства операций над матрицами

 

Свойства операции транспонирования матриц.

 

Свойства операции сложения матриц

1. - коммутативность.
2. - ассоциативность.
3. – дистрибутивность относительно сложения матриц.
4. – дистрибутивность относительно сложения чисел.

 

Свойства умножения матрицы на число

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

 

Свойства операции умножения матриц

1. - матрицы не перестановочны относительно умножения, даже если определены оба произведения и . Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
2. ,
3. ,
4. дистрибутивность.
5. дистрибутивность.
6. ассоциативность.
7. Если определено произведение , то определено и произведение и выполняется равенство , где индексом обозначается транспонированная матрица.

 

Контрольные вопросы

 

1. Дайте определение матрицы и укажите ее виды.
2. Как проводятся линейные операции над матрицами - сложение матриц, умножение на число?
3. Даны матрицы . При каких условиях на определены матрицы ?
4. Как умножить матрицу на матрицу? Запишите условие, которому должны удовлетворять первая и вторая матрицы-сомножители.
5. Как найти любой элемент произведения матриц?
6. Даны матрицы . При каких условиях на определены матрицы ?
7. Запишите свойства суммы и произведения матриц.
8. Какая матрица называется транспонированной к данной? Составьте матрицу и транспонируйте ее. Какова ее размерность? Запишите свойства операции транспонирования.
9. Какая матрица называется единичной? Нулевой? Приведите примеры.
10. Запишите элементы матрицы и элементы   матрицы .