Лекция по "Математике"

      Если  , то α и β называются  эквивалентными бесконечно  малыми(при ); это обозначается  так: α ~ β.

     Например,  при , т.к. при  , т.к.

 Теорема 18.1. Предел  отношения двух  бесконечно  малых функций не  изменится, если каждую или одну  из них заменить  эквивалентной ей  бесконечно малой.

Теорема 18.2. Разность  двух  эквивалентных бесконечно  малых функций есть бесконечно  малая более высокого  порядка, чем каждая  из  них.

Теорема 18.3. сумма конечного числа бесконечно  малых функций разных  порядков  эквивалентна  слагаемому низшего порядка.

 

 

§19.НЕПРЕРЫВНОСТЬ  ФУНКЦИЙ

19.1 Непрерывность функций в точке 

Пусть функция у=f(x) определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция у=f(x) называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е

        

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1. Функция f(x) определена в точке  и в ее окрестности;
2. Функция  f(x  имеет  предел при    ;
3. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е выполняется равенство (19.1)

Так как  то равенство (19.1) можно записать в виде

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргументы х подставить его предельное значение .

19.2 Точки разрыва функции и  их классификация 

Точки, в  котором нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если – точка разрыва функции у=f(x), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:                                                Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке .

Например, функция   не определена в точке .(см.рис.120)

  

               Рис.120.

 

Все точки  разрыва функции разделяются  на точки разрыва первого и  второго рода. Точка разрыва  называется точкой разрыва первого рода функции у=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа(односторонние пределы), т.е    

_И   

 

При этом:

1. Если  , то точка называется точкой устранимого разрыва;
2. Если , то точка называется точкой конечного разрыва.

Величину  называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва  называется точкой разрыва второго рода функции у=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов(слева или справа) не существует или равен бесконечности.

19.3 Основные теоремы о непрерывных  функциях. Непрерывность элементарных  функций

Теорема 19.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функции есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Теорема 19.2 Пусть функции u=φ(x) непрерывна в точке , а функция у=f(u), непрерывна в точке . Тогда сложная функция f(φ(x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точка .

Теорема 19.3 Если функция у=f(x) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси Ох, то обратная функция у=φ(x) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Оу(без доказательства)

19.4 Свойства функций, непрерывных  на отрезке 

Теорема 19.4(Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие 19.5 . Если функция непрерывна на отрезке, то она огранична на этом отрезке.

Теорема 19.5(Больцано-Коши). Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A и f(b)=В , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Следствие 19.2. Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значение разных знаков, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается  в нулб:f(c)=0.

§20.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

20.1 Определение производной; ее  механический и геометрический  смысл. Уравнение касательной  и нормали к кривой 

Производной функции у=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению 

   _или  

Производная функции f(x) есть некоторая функция , произведенная из данной функции. Функция у=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

20.2 Связь между непрерывностью  и дифференцируемостью функции

Теорема 20.1 Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

20.3 Производная суммы, разности, произведения и частного функции

Теорема 20.2 Производная суммы(разности) двух функции равна сумме(разности) производных этих функции:.

Теорема 20.3 Производная произведения двух функции равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:                                       .

Теорема 20.4 Производная частного двух функции , если v(x)≠0 равна дроби, числитель который есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

Следствие 20.1  

Следствие 20.2 , где c=const

20.4 Производная сложной и обратной  функции

Теорема 20.5 Если функция u=φ(x) имеет производную в точке x, а функция у=φ(u) имеет производную в соответствующей точке u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет производную в точке х, которая находится по формуле .

Теорема 20.6 Если функция у=φ(х) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция   x=φ(y) также имеет производную       в        или

20.6 Производные основных элементарных функции

Степенная функция 

Показательная функция 

Логарифмическая функция 

Тригонометрически функции

Обратная тригонометрические функции

20.8   Таблица производных

Правила дифференцирования

2. , в частности,
3. , в частности,
4. , если у=φ(u), u=φ(x),
5. , если у=f(x), и x=φ(y).

 

 

Формулы дифференцирования

1. (с)'=0
2. , в частности,
3. , в частности
4. ,в частности

 

§21. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ  ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

21.1. Неявно заданная функция

     Если функция задана  уравнением  *=f(*),  разрешенным относительно *, то функция задана в явном виде( явная функция).

     Под неявным заданием  функции понимают задание функции  в виде уравнения   F(* ; * )=0, не разрешенного относительно *.

     Всякую явно заданную  функцию *=f(*) можно записать как неявно заданную уравнением f(*)- *=0, но не наоборот.

     Не всегда легко,  а иногда и невозможно разрешить  уравнение  относительно *.

     Если неявная функция  задана уровнением F(* ; * )=0, то для нахождения производной от * и * нет необходимости разрешать уравнение относительно *: достаточно продифференцировать это уравнение по *, рассматривая при этом * как функцию *, и полученное затем уравнение разрешить относительно .

    Производная неявной  функции выражается через аргумент  * и функцию *.

  21.2. Функция, заданная параметрически

Пусть  зависимость между аргументом * и функцией * задана параметрически в виде двух  уравнений

x=x (t),

                                  (21.1)   

y=y (t),

где t- вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную  считая что функция (21.1) имеют производные и что функция x=x (t) имеет обратную  t= По правилу дифференцирования обратной функции

 

Функцию *=f(*), определяемую пареметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию y=y (t), где t=.

По правилу  дифференцирования сложной функции  имеем:

,  т.е. 

Полученная  формула позволяет находить производную от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

 

§22. Логарифмическое дифференцированание

В ряде случаев  для нахождения производной целесообразно  заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

 

§23. Производные высших порядков

23.1. Производные  высших порядков  явно заданной функции

Производная функции *=f(*) есть также функция от * и называется производной первого порядка.

Если функция  дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обазначается ( или , , (), ). Итак, =.

 Производная  от производной второго порядка,  если она существует , называется производной третьего порядка и обозначается ( или (*), ,...). Итак, (.

Производной n-ой порядка (или n-ой производной) называется производная от  производной (n-1) порядка:

.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с  производной четвертого порядка, производные  обозначают римскими цифрами или  числами в скобках ( или - производная пятого порядка).

 

§24. Дифференциал  функции

24.1. Понятие дифференциала функции

Дифференциал  функции *=f(*) в точке * называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента , и обозначается d* (или df(*)):

d*.  (24.1)

Дифференциал d* называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой  переменной * т.е. дифференциал функции **.

Так как согласно формуле (24.1), имеем d*, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной : d*.

Поэтому  формулу (24.1) можно записать так :

d*(*)d*,  (24.2)

Иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой  переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство (*). Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов d* и d*.

24.3.Основные  теоремы о дифференциалах

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

d(*+*)d* +d*

d(**)* d*+*d *

d() (*

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

24.4. Таблица дифференциалов

1. d(**)d* d*

2. d(* *)* d*+*d *, в частности, d(c*)

3. d() , в частности, d()

4. d*d*, если *=f(*)

5. d*d*, если *=f(*), *(*)

6. dc

7. d() d*

8. d() lna d*, в частности, d() d*

9. d d*, в частности, d(ln*) d*

10.d() d*

11. d( d*

12. d() d*

13. d() d*

14. d() d*

15. d (arc d*

16. d(arc) d*

17. d(arc) d*

18. d(sh*)ch* d*

19. d(ch*)sh* d*

20. d(th*)=

21. d( cth*)

 

 

 

Теорема 25.1 (Ролль). Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (a;b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения  то найдется хотя бы одна точка в которой производная обращается в нуль, т.е. 

Теорема 25.2 (Коши). Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируема на интервале (a;b) для то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

Теорема 25.3 (Лагранж). Если функции непрерывны на отрезке , дифференцируема на интервале (a;b), то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

                           

Следствие 25.1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.