Лекция по "Математике"

§ 15. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

 Числовая последовательность

 

Под числовой  последовательностью   понимается  функция      
                                            (15.1) 
заданная на множестве  натуральных чисел. Кратко последовательность  обозначается  в виде или , .

 

  Число называется первым членом (элементом)  последовательности, - вторым, . . . , - общим или n-м членом последовательности.

    

                      Предел  числовой  последовательности

    Можно заметить, что члены  последовательности неограниченно приближаются к числу 1. В  этом  случае  говорят, что последовательность стремится к пределу 1.

     Число   называется  пределом  последовательности  , если для любого положительного  числа   найдется  такое натуральное число N, что при всех  n N  выполняется неравенство

                  (15.2)

 

   В  этом случае  пишут    или и говорят, что последовательность имеет предел, равный  числу (или стремится к  ) Говорят также, что что  последовательность сходится к

    Коротко определение  предела можно  записать  так: 

 

 

 

    Выясним геометрический  смысл  определения  предела   последовательности.

    Неравенство  (15.2) равносильно   неравенствам  или которые показывают, что элемент   находится окрестности точки .

                                 Рис. 109.

  Поэтому,  определение  предела   последовательности  геометрически   можно  сформулировать  так:  число    называется  пределом  последовательности , если  для любой - окрестности точки   найдется  натуральное число , что все значения  , для которых попадут в - окрестность точки (см. рис. 109 ).

 

Предел  монотонной  ограниченной  последовательности. Число . Натуральные логарифмы

Не всякая  последовательость  имеет  предел. Сформулируем без доказательства  признак  существования  предела  последовательности.

 

Теорема 15.3 (Вейерштрасс). Всякая  монотонная  ограниченная  последовательность имеет предел.

 

Следовательно, на  основании  теоремы  Вейерштрасса последовательность , имеет предел, обозначаемый обычно  буквой  :

.                    (15.6)

Число называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближенное  значение  равно 2,72(2,718281828459045 . . .).

 

 

 

§16. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Предел  функции в  точке

 

     Пусть  функция  определена  в некоторой окрестности точки х₀,

кроме, быть  может, самой  точки   .

     Сформулируем  два,  эквивалентных  между  собой,  определения предела  функции  в точке.

    Определение 1(на «языке последовательностей», или по Гейне). Число А называется  пределом  функции  в точке (или при ), если для любой последовательности  допустимых  значений  аргумента , , сходящейся  к (т.е. ), последовательность  соответствующих значении функции сходится  к числу А(т.е. 

   В  этом случае  пишут   или Геометрический  смысл предела функции: =A означает, что для всех точек х, достаточно  близких к  точке  х₀, соответствующие  значения  функции  как угодно  мало  отличается  от  числа .

Определение 2(на «языке  »,или по Коши). Число А называется  пределом  функции в точке , (или при ), если  для любого положительного найдется  такое  положительное  число  , что для всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

    Записывают  =A. Это определение коротко можно записать  так:

 

                         

                                или                                                                                            

                                                                                           

Геометрический  смысл  предела  функции  A = , если  для любой - окрестности точки А найдется  такая - окрестность точки , что для всех  из  этой  - окрестности соответствующие значения  функции   лежат в - окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции   лежат внутри  полосы  шириной 2 ограниченной  прямыми (см.рис.110). Очевидно, что  величина    зависит от  выбора  , поэтому пишут

 

             Рис. 110.

 

Односторонние  пределы

 

     В определении предела  функции  считается, что х стремится к любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), или колеблясь около точки

    Бывают  случаи, когда   способ приближения  аргумента   к существенно влияет на  значенте  предела функции. Поэтому вводят  понятия односторонних пределов.

     Число А₁  называется   пределом  функции слева в точке , если  для любого  число существует  число такое, что при выполняется  неравенство Предел слева записывают  так: или коротко - 0) = A₁ (обозначение Дирихле) (см.рис. 111).

 

       Рис.111.

 

       Аналогично  определяется  предел  функции  справа, запишем   его  с помощью  символов:

 

                                                                            

Коротко  предел справа  обозначают  

Пределы функции слева  и справа  называются односторонними пределами. Очевидно, если  существует , ,  то  существуют и оба  односторонних  предела, причем .

      Справедливо  и   обратное утверждение:  если  существуют  оба  предела   
и и они равны,  то существует  предел  A = и  А = – 0).

    Если же  , то  не существует. 

 

                           Предел функции при

    Пусть функция определена  в промежутке  Число называется пределом  функции    при , если  для любого положительного  числа существует  такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству   выполняется неравенство Коротко это определение можно записать так:

 

Если  , то пишут , если  , то  . Геометрический  смысл  этого определения таков: для что при или   соответствующие значения  функции попадают  в окрестность  точки  , то есть точки графика лежат в полосе шириной , ограниченной прямыми и (см.рис.112).

16.4. Бесконечно большая  функция (б.б.ф.)

  Функция называется  бесконечно  большой при , если  для любого  числа существует  число , что для всех , удовлетворяющих неравенству ,  выполняется неравенство . Записывают  или  при . Коротко:

Например, функция  есть б.б.ф.при

    Если  стремится к бесконечности при  и принимает  лишь положительные  значения, то  пишут если  лишь отрицательные значения, то  .

   Функция   , заданная на  всей  числовой  прямой, называется  бесконечно  большой при , если  для любого  числа найдется  такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство Коротко:

Например, есть б.б.ф. при .

 

§17.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ(Б.М.Ф)

Определения и основные теоремы

   Функция   называется  бесконечно  малой при если

 

                                               (17.1)

    По определению  предела  функции  равенство  (17.1)  означает: для  любого  числа  найдется  число  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

  Аналогично  определяется б.м.ф.  при   во всех случаях  .

     Бесконечно  малые   функции  часто  называют  бесконечно малыми  величинами  или  бесконечно малыми; обозначают  обычно греческими буквами  и   т.д.

     Примерами б.м.ф. служат  функции   при при при

    Другой  пример:  , бесконечно  малая последовательность.

Теорема 17.1. Алгебраическая  сумма конечного числа бесконечно  малых функций есть  бесконечная малая функция.

 

Теорема 17.2. Произведение ограниченной  функции на  бесконечно малую функцию есь функция бесконечно малая.

 

• Следствие 17.1. Так как всякая  б.м.ф.ограничена, то  из  теоремы (17.2)  вытекает: произведение  двух  б.м.ф. есть  функция бесконечно  малая.

 

• Следствие 17.2. Произведение  б.м.ф на  число есть  функция бесконечно малая.

 

Теорема 17.4.Частное  от  деления  бесконечно  малой  функции  на  функцию, имеющую  отличный от  нуля  предел, есть  функция  бесконечно  малая.

 

Теорема 17.4. Если  функция - бесконечно  малая , то  функция есть  бесконечно  большая функция и наоборот: если  функция -бесконечно большая , то - бесконечно малая.

 

Связь  между  функцией, ее  пределом и  бесконечно  малой  функцией

 

Теорема 17.5. Если  функция имеет предел  равный  А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно  малой функции т.е. если то

 Теорема 17.6.(обратная). Если  функцию можно представить в виде  суммы числа А и бесконечно  малой функции , то число А является  пределом функции , т.е. если , то .

 

Основные теоремы  о  пределах

Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух  функций равен сумме (разности) их пределов:

                   

 

• Следствие 17.3. Функция не  может иметь только один  предел при 

Теорема 17.8 . Предел  произведения  двух  функций  равен  произведению их  пределов:

                          

 

• Следствие 17.4. Постоянный  множитель можно выносить  за знак предела:

                              

• Следствие 17.5. Предел  степени с натуральным показателем равен той же  степени предела:  . В частности , .

 

Теорема 17.9. Предел  дроби равен пределу числителя , деленному на  предел  знаменателя,если предел  знаменателя не  равен нулю:

        

 

                    Признаки  существования пределов

 

 Теорема 17.10(о пределе  промежуточной функции). Если  функция заключена между двумя функциями стремящимися к одному и тому жепределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если

    

.

Теорема 17.11(о  пределе  монотонной функции). Если функция монотонна и ограничена  при или при , то  существует соответственно  ее левый предел  или ее первый  предел .

 

• Следствие 17.6.  ограниченная  монотонная  последовательность имеет предел.

 

                  Первый  замечательный  предел

     При вычеслени  пределов выражений, содержащих  тригонометрические  функции , часто  используются предел

                                                             (17.11)

называемый  первым  замечательным  пределом. Читатся: предел  отношения  синуса  к его  аргументу  равен единице, когда  аргумент  стремится  к  нулю. Докажем  равенство (17.11).

 

  Возьмем круг  радиуса 1, обозначим  радианную  меру угла  через (см.рис. 113). Пусть   На рисунке , дуга  численно  равна центральному  углу  , Очевидно, имеем На  основании соответстаующих формул  геометрии получаем  Разделим  неравенство на  получим или . Так как     и   , то  по признаку  (о пределе промежуточной функции)  существования пределов

                                             (17.13)

Из  равенств  (17.12) и (17.13) вытекает  равенство  (17.11).

 

     Второй  замечательный  предел

 

                                    (17.15)

   Если  в  равенстве  (17.15) положит   при , оно запишется в виде      (17.18)

Равенства  (17.15)  и  (17.18) называются  вторым  замечательным  пределом. Они  широко  используются  при  вычислении  пределов. В  приложениях  анализа  большую  роль  играет  показательная  функция  с основанием Функция   называется  экспоненциальной, употребляется также обозначение .

 

§18. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ  БЕСКОНЕЧНО  МАЛЫЕ ФУНКЦИИ

Сравнение  бесконечно  малых  функций

 

     Как  известно, сумма, разность и  произведение двух  б.м.ф.есть  функция  бесконечно малая. Отношение  же  двух  б.м.ф. может  вести себя  различным  образом: быть конечным  числом, быть  бесконечно  большой функцией, бесконечно малой  или  вообще  не  стремиться ни к какому  пределу.

  Две  б.м.ф. сравниваются  между   собой  с  помощью  их  отношения.

  Пусть   и есть  б.м.ф. при  , т.е.   и .

1. Если  , то и называются  бесконечно  малыми  одного порядка.
2. Если  , то α называется  бесконечно  малой  более высокого порядка, чем β.
3. Если  , то α называется  бесконечно  малой  более  низкого порядка, чем β.
4. Если  не  существует,  то  α и β называются  несравнимыми  бесконечно  малыми.

 

 

Эквивалентные  бесконечно  малые  и  основные  теоремы  о них

       

    Среди бесконечно  малых  функций   одного  порядка  особую  роль  играют так   называемые  эквивалентные  бесконечно  малые.