Лекция по "Математике"

Следствие 25.2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке:  Пусть   в окрестности точки . Если существует предел то

Теорема 25.5 (Правило Лопиталя неопределенности вида ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (кроме, может быть, точки ), в этой окрестности . Если существует предел то .

Теорема 25.6 (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция возрастает (убывает), то  ( для .

Теорема 25.7 (достаточные условия). Если функция дифференцируемая на интервале (a;b) и   () для , то это функция возрастает (убывает) на интервале (a;b).

Теорема 25.8 (необходимое условия экстремума). Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю:

Теорема 25.9 (достаточное  условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой – окрестности критической точки , и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то - точка минимума.

Теорема 25.10. Если в точке первая производная функции равна нулю ), а вторая производная в точке   существует и отлична от нуля то при в точке функция имеет максимум и минимум – при .

Теорема 25.11. Если функция во всех точках интервала (a;b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же – график выпуклый вниз.

Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

25.8. Общая схема исследования функции  и построения графика

Исследования  функции  целесообразно вести в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции.
2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.
3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых    или ).
4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.
5. Найти асимптоты графика функции.
6. Найти интервалы монотонности функции.
7. Найти экстремумы функции.
8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим, что приведенная схема  исследования не является обязательной. В более  простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например 1,2,7. Если же график функции  не совсем понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно дополнительно  исследовать функцию на периодичность, построить дополнительно несколько  точек графика, выявить другие особенности  функции. Иногда целесообразна выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции.

 

26.2. Формула Тейлора для  произвольной функции

Рассмотрим функции . Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

Теорема 26.1. Если функция  определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в ней производные до – го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найлется точка   такая, что справедлива формула

           (26.3)

 

Формула (26.3) называется формулой Тейлора  для функции  .Эту формулу можно записать в виде где

 

Называется многочленом Тейлора, а

 

Называется остаточным членом формулы  Тейлора, записанным в форме Лагранжа. есть погрешность приближенного равенства . Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить  функцию многочленом с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена .

При х₀=0 получаем частный случай формулы Тейлора – формулу Маклорена:

 

        (26.4)

Где с находится между 0 и х (

  При  n=0 формула Тейлора (26.3) имеет вид  или   т.е. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений (см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы