Линейная производственная задача

                 1/5x₃ – 28/15x₄ – 1/5x₅ – 8/5x6 + x₇ = 5

                  17x₃   + 6x4  + 7x₅ +   4x₆ = 1218 - z

 

 

 

Первые три уравнения системы (25) представляют некоторый предпочитаемый эквивалент системы уравнений (11) и  определяют базисное неотрицательное  решение системы условий рассматриваемой  задачи

x₁=28, x₂=14, x₃=0, x₄=0, x₅=0, x₆=0, x₇=5   (26)

т.е. определяют производственную программу

x₁=28,  x₂=14, x₃=0, x₄=0    (27)

и остатки ресурсов:

первого вида х₅=0

второго вида х₆=0       (28)

третьего вида х₇=5

В последнем уравнении системы (25) среди коэффициентов при неизвестных  в левой части уравнения нет  ни одного отрицательного. Если из этого  уравнения выразить функцию цели z через остальные неотрицательные переменные

z = 1218 - 17x₃   - 6x4  - 7x₅  -   4x₆      (29)

то становится совершенно очевидным (в силу того, что все x_j³0), что прибыль будет наибольшей тогда, когда

x₅=0, x₆=0, x₃=0, x₄=0     (30)

Это означает, что производственная программа (27) является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль

z_max = 1218      (31)

Итак, организовав направленный перебор  базисных неотрицательных решений  системы условий задачи, мы пришли к оптимальной производственной программе и указали остатки  ресурсов, а также максимальную прибыль.

Остается заметить, что процесс  решения обычно записывается в виде некоторой таблицы

	Сб	Хб	Н	С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7	α
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
1	С5	Х5	В5	а11	а12	а13	а14	1	0	0
2	С6	Х6	В6	а21	a22	a23	a24	0	1	0
3	C7	X7	B7	a31	a32	a33	a34	0	0	1
4		Z	Z0	D1	D2	D3	D4	0	0	0

            

Подставив соответствующие значения из (1) и (3), имеем :

 

	Сб	Xб	Н	26	35	18	30	0	0	0	α
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
1	0	Х5	126	2	5*	1	4	1	0	0	25min
2	0	Х6	84	3	0	7	2	0	1	0	-
3	0	Х7	75	2	1	4	0	0	0	1	75
4	–	–	0	-26	-35	-18	-30	0	0	0
1	35	Х2	126/5	2/5	1	1/5	4/5	1/5	0	0	63
2	0	Х6	84	3*	0	7	2	0	1	0	28min
3	0	Х7	249/5	8/5	0	19/5	-4/5	-1/5	0	1	31
4	–	–	882	-12	0	-11	2	7	0	0
1	35	Х2	14	0	1	-11/5	8/15	1/5	-2/15	0
2	26	Х1	28	1	0	7/3	2/3	0	1/3	0
3	0	Х7	5	0	0	1/15	-28/15	-1/5	-8/15	1
4	–	–	1218	0	0	17	6	7	4	0

 

Пояснения к таблицам.

Хб- базисная переменная;

Н -  значение переменной при равных нулю значениях небазисных переменных.

aij* - разрешающий элемент.

Z=Сб*Gj-Cj; Gj=(а1j, a2j, a3j)

Пояснения к решению задачи. Алгоритм решения.

Просматриваем значения 4-й строки. Если все Dj ³ 0 ,то решение задачи оптимально.

Если какие-либо Dj < 0, находим min(Dj < 0) = Dк.

Хк включаем в число базисных переменных.

Отыскиваем переменную исключаемую  из базиса :

находим min(H/Gj) = H2/G2 (для всех Gj > 0);

Х5 исключаем из числа базисных переменных.

Строим новую симплексную таблицу, преобразуя исходную.

Возвращаемся в пункт 1.

 

Опорный план первой симплексной таблицы.

X=(0, 0, 0, 0, 126, 84, 75)

Этот опорный  план отражает производство, при котором  ничего не выпускается, сырьё не используется и стоимость произведённой продукции  равна 0.

В строке оценочных  коэффициентов имеются отрицательные  значения, которые показывают на сколько увеличится прибыль от производства продукции при включении в план производства одной единицы продукции того или иного вида. Например, число –26 означает, что включение в план производства единицы изделий первого вида позволит увеличить прибыль на 26 денежных единиц. Наиболее выгодным в данной задаче  будет внедрение в производство второго вида продукции, так как ему соответствует максимальная прибыль 35 денежных единиц. Поэтому x2 становится базисной неизвестной и запускается вторая технология. Так же определяем технологию, которую надо исключить из производства. Ограничивающим фактором буде объём сырья второго вида, так как из него можно произвести наименьшее количество продукции первого вида, так как ему соответствует наименьшее α равное 25.

 

Опорный план второй симплексной таблицы.

X=(0, 126/5, 0, 0, 0, 84, 249/5)

Стоимость продукции  при таком плане производства z=882 денежных единиц.

Значение в столбцах данной симплексной  таблицы показывают соотношение  выпуска определённых видов продукции, либо затраты ресурсов при дополнительном вводе в производство какого-либо вида продукции. Например, число 4/5 показывает, на сколько единиц надо уменьшить  выпуск второй продукции, чтобы внедрить в производство одну единицу четвёртой  продукции.

Прирост прибыли  при внедрении одной единицы  первого вида продукции составит  12 денежных единиц.

И, наконец, по этой таблице определяем, что  наибольший прирост прибыли принесёт первый вид продукции. При исключении из базиса x6 неиспользованный второй ресурс полностью уйдёт в производство. С учётом этого составляем третью симплексную таблицу.

 

Опорный план третьей симплексной таблицы.

X=(28, 14, 0, 0, 0, 0, 5)

При данном плане производства достигается  прибыль в размере 1218 денежных единиц.

Этот план не предполагает выпуска  третьей и четвёртой продукции.

Все  Dj ³ 0 следовательно, план оптимален.

Выводы.

Оптимальная производственная программа  имеет вид :

Х1=28, Х2=14, Х3=0, Х4=0, или Х=(28,14,0,0).

Максимальная прибыль равна  Zmax=1218.

Использование ресурсов:

     1-й и 2-ий ресурс  используется полностью (Х5=0,Х6=0), а 3-ый ресурс имеет остаток Х7=7 единиц.

При выполнении производственной программы 1-й и 2-ий ресурсы используются полностью, то есть образуют  “узкие места производства”.

 

 

Двойственная задача

 

Ранее мы рассмотрели  конкретную линейную производственную задачу по выпуску четырех видов  продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным технологиям.

Теперь представим себе, что возникла новая ситуация. Знакомый предприниматель  П (Петров), занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у₁ рублей за каждую единицу первого ресурса, у₂ руб – второго, у₃ руб – третьего. Возникает вопрос: при каких ценах у₁, у₂, у₃ мы можем согласиться с предложением П.

Величины у₁, у₂, у₃ принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.

Напомним, что в нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имели вид

Для производства единицы продукции  первого вида мы должны затратить,

 как видно  из матрицы А, 2 единицы ресурса первого вида, 3 единицы ресурса второго вида и 2 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах у₁, у₂, у₃ наши затраты составят 2у₁ + 3у₂ + 2у₃, т.е. столько заплатит предприниматель П за все ресурсы, идущие на производство единицы первой продукции. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 26 руб. Следовательно, мы можем согласиться с предложением П только в том случае, если он заплатит не меньше

2у₁ + 3у₂ + 2у₃ ³ 26.

Аналогично, во втором столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции второго вида. В ценах П эти затраты составят 3у₁ + 5у₂ + у₃, а на рынке за единицу продукции второго вида мы получили бы прибыль 14 рублей. Поэтому перед предпринимателем П мы ставим условие

5у₁  + у₃ ³ 35

и т.д. по всем видам продукции.

Учтем, что  за все имеющиеся у нас ресурсы  нам должны заплатить                        126у₁ + 84у₂ + 75у₃ рублей. При поставленных нами условиях предприниматель П будет искать такие значения величин у₁, у₂, у₃, чтобы эта сумма была как можно меньше. Подчеркнем, что здесь речь идет не о ценах,  по которым мы когда-то приобретали эти ресурсы, а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых нами технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.

16

Таким образом, проблема определения расчетных  оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти  вектор двойственных оценок

у(у₁, y₂, y₃)

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

 

                                                f =  126y₁ + 84y₂  +75y₃                           (1)

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

 

(2)

    2y₁ + 3y₂ + 2y₃ ³ 26

5y₁  +   y₃ ³ 35

y₁   + 7y₂  + 4y₃  ³ 18

4y₁ + 2y₂ +   ³ 30

 причем оценки  ресурсов не могут быть отрицательными

                  y₁0,  y₂0,  y₃0.                          (3)

Решение полученной задачи легко найти  с помощью второй основной теоремы    двойственности,  согласно     которой     для     оптимальных решений   (х₁, х₂, х₃, х₄)    и   (y₁, y₂, y₃) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий

 

x ₁ (2y₁ + 3y₂ + 2y₃ - 26) = 0         y₁ (2x₁+5x₂+x₃+x₄-126) = 0

x ₂ (5y₁  +  y₃ - 35) = 0         y₂ (3x₁+7x₃+2x₄-84) = 0

x ₃ (y₁ + 7y₂ + 4y₃  - 18) = 0         y₃ (2x₁+x₂+4x₃-75) = 0         .