Линейная производственная задача

 

Пусть P = (p₁, p₂, p₃) – стратегия первого игрока. Q = (q₁, q₂, q_{3 ,} p₄), V – цена игры.

Проигрыш Второго игрока будет  не больше чем цена игры v

0*q₁ + 9*q₂ + 8* q₃ + 12 q₄ <= V

11*q₁ + 6*q₂ + 10* q₃ + 7 q₄ <= V

13*q₁ + 4*q₂ + 17* q₃ + 2 q₄ <= V

Разделим каждое неравенство на V>0 и введем q_i/V= x_i , i=(1...4)

Поскольку q_1-4 = 1, то переменные x₁, x₂, x_{3 ,} x₄ удовлетворяют условию

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ <= 1/V

1/V должна быть максимальна, таким образом имеем слудующую задачу.

 

 

Найти вектор x = (x₁, x₂, x_{3 ,} x₄) , который обеспечивает

 

Z = x₁ + x₂ + x₃ + x₄ à max

При ограничениях

0*x₁ + 9*x₂ + 8* x₃ + 12 x₄ <= 1

11*x₁ + 6*x₂ + 10* x₃ + 7 x₄ <= 1

13*x₁ + 4*x₂ + 17* x₃ + 2 x₄ <= 1

 

x₁, x₂, x_{3 ,} x₄ >= 0

Найдем оптимальное решение  этой задачи симплексным методом.

			1	1	1	1	0	0	0
C	Базис	Hi	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
0	х5	1	0	9	8	12	1	0	0
0	х6	1	11	6	10	7	0	1	0
0	х7	1	13	4	17	2	0	0	1
-	-	0	-1	-1	-1	-1	0	0	0
0	х1	1/9	0	1	8/9	4/3	1/9	0	0
0	х6	3/9	11	0	42/9	-1	-6/9	1	0
19	х7	5/9	13	0	121/9	-30/9	-4/9	0	1
-	-	1/9	-1	0	-1/9	3/9	1/9	0	0
18	х1	1/9	0	1	8/9	4/3	1/9	0	0
0	х2	3/99	1	0	42/99	-1/11	-6/99	1/11	0
19	х7	16/99	0	0	785/99	-213/99	34/99	-13/11	1
-	-	14/99	0	0	38/99	24/99	5/99	1/11	0

 

 

Zmax = 14/99, X = ( 1/9, 3/99, 0 , 0)

V = 1/ Zmax = 99/14, Q = ( 11/14, 3/14, 0, 0)

Для поиска оптимальной стратегии  Первого игрока производим аналогичные  преобразования. Учитываем, что V – это выйгрыш первого игрока, следовательно 1/V  требуется минимизировать. Таким образом имеем следующую задачу:

Найти вектор Y = (y₁, y₂, y₃ ) , который обеспечивает

 

L = y₁ + y₂ + y₃ à min

При ограничениях

0*y₁ + 11*y₂ + 13* y₃ => 1

9*y₁ + 6*y₂ + 4* y₃ => 1

18*y₁ + 10*y₂ + 17* y₃ => 1

12*y₁ + 7*y₂ + 2* y₃ => 1

 

y₁, y₂, y_{3 ,} y₄ >= 0

 

 

Эта задача является двойственной, по отношению к рассмотренной выше задаче. Решение задачи возьмем из последней строки симплексной таблицы.

Lmin = Zmax = 14/99, Y = ( 5/99, 1/11, 0)

V = 1/ Zmax = 99/14, P = ( 5/14, 9/14, 0)

 

Возвращаемся к исходной матрице  игры. Решение этой игры имеет вид:

V = 0,

P = ( 5/14, 9/14, 0, 0)

Q = ( 11/14, 3/14, 0, 0, 0)

 

 

 

 

 

Анализ доходности и рискованности финансовых операций

 

Рассмотрим  какую-нибудь операцию, доход которой  есть случайная величина . Средний ожидаемый доход – это математическое ожидание с.в. : , где есть вероятность получить доход . А среднее квадратическое отклонение (СКО) – это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считать количественной мерой риска операции и обозначать . Таким образом, здесь предлагается новый количественный измеритель риска операции. В финансовой математике этот измеритель считается основным. Напомним, что дисперсия с.в. .

Рассмотрим  четыре операции . Найдем средние ожидаемые доходы и риски операций.

Ряды  распределения, средние ожидаемые  доходы и риски:

Q1:	-6	-5	-1	8
	1/5	2/5	1/5	1/5

 

 

Q2:	0	16	32	40
	1/2	1/8	1/8	¼

 

 

Q3:	-6	2	10	14
	1/8	1/8	1/2	1/4

 

 

Q4:	0	8	20	28
	1/e4	1/4	1/4	1/4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нанесем средние ожидаемые доходы и риски на плоскость – доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см. рис.):

Получили 4 точки. Чем выше точка  , тем более доходная операция, чем точка правее – тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точка доминирует точку , если и и хотя бы одно из этих неравенств строгое. В нашем случае 4-я операция доминирует 2-ую, а 1-ую, 3-ю и 4-ую операции сравнивать нельзя, т.к. при переходе от первой операции к 4-ой с ростом риска растет доход. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций по  Парето.

Пусть Q₃ и Q₄ две финансовые операции с эффективностями e₃, e₄ и рисками r₃, r₄ соответственно. Пусть t – какое-нибудь число между 0 и 1. Тогда операция Q_t=(1-t)Q₃+tQ₄ называется линейной комбинацией операций Q₃, Q₄. При движении от 0 к 1 операция Q_t изменяется от Q₃ до Q₄. Эффективность операции Q_t равна (1-t)e₃+te₄, с риском же дело обстоит сложнее. Рассмотрим только случай некоррелированных операций Q₃, Q₄, тогда дисперсия операции Q_t равна (1-t)²∙D₃+t²∙D₄, где D₃, D₄ – дисперсии операций, значит риск операции Q_t есть .

1. Эффективность операции Q_t равна e_t=(1-t)∙8+t∙14=13,4; (1)
2. Риск операции Q_t есть .

Для большей  достоверности можно применить  подходящую взвешивающую формулу. Например, пусть взвешивающая формула есть прежняя  . Тогда получаем: Видно, что 4-я операция – лучшая, а 1-ая – худшая.