Математическая теория игр

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  автономное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Дальневосточный  федеральный университет»

(ДВФУ)

филиал в  г. Арсеньеве

 

 

Школа экономики  и менеджмента

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

По дисциплине: Математические методы в экономике    

Тема: Математическая теория игр        

 

 

 

Студент(ка) С17408 гр.Епифанцев И.С

 

Руководитель  Васько Ю.Е.  

                              

Курсовая работа допущена к защите:

«____»    _________________ 2011 г.

Курсовая работа защищена

с оценкой:______________________ 

 «____»    _________________ 2011 г.

 

 

 

 

 

 

Арсеньев - 2011

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Математическая теория игр является современным разделом теории принятия решений, имеющим разнообразные приложения в социально-экономических, политических и организационных процессах.

Актуальность курсовой работы обусловлена тем, что математическая теория игр позволяет различным экономическим субъектам (поставщикам, руководителям организаций, конкурентам и т.д.) принимать оптимальные стратегические решения в условиях неопределенности, связанной с поведением игроков на конкурентном рынке. Руководители компаний должны помнить: если они вовремя не совершат нужный шаг, это сделают их соперники. Многие проблемы олигополистической стратегии – установление товарных цен, управление производственными мощностями, проведение маркетинговой политики, выход на новые рынки, выставление тендерных заявок и составление контрактов – можно представить в виде простых, поддающихся количественному определению игровых моделей.

Целью курсовой работы является изучение решения задачи теории игр для экономического субъекта с целью определения наиболее оптимального решения в заданной ситуации. В результате чего, необходимо решить следующие задачи:

1. рассмотреть основные теоретические аспекты математической теории игр, дать описание основным видам теории игр, рассмотреть основные аспекты математической модели;
2. сформулировать условие задачи теории игр для игрока (экономического субъекта), дать математическую и экономическую формулировку задачи, сделать анализ и интерпретацию результатов решения задачи;
3. осуществить проектирование поставленной задачи на ЭВМ с помощью программного комплекса Borland Delphi 7;
4. сделать выводы о применении теории игр к решению экономических и стратегических управленческих задач.

Были использованы научные  труды таких известных ученых, как Бережная Е.В. и Бережной В.И., Красс М.С. и Чупрынов Б.П., Росс С.И., Кундышева Е.С. и многих других.

 

1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ИГР

1.2 Теория игр как раздел теории принятия решений

 

Одна из характерных  черт всякого общественного или  социально-экономического явления состоит в множественности, в многосторонности исходов этого явления, в наличии сторон, наделенных различными интересами, или хотя бы в наличии нескольких различных активных точек зрения на явление и его исход.

Так, например, приходится считаться с различием личных, коллективных и общественных интересов. В условиях плановой системы хозяйства необходимо сочетать отраслевые и региональные интересы, а также подчас противоречащие друг другу интересы отдельных ведомств. Основные трудности внедрения и распространения нововведений предопределяются противоречием между сегодняшней выгодой и будущим эффектом. В этом смысле можно сказать, что любое социально-экономическое явление наделено чертами конфликта. Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.

Теория игр относится  к математическому обеспечению  моделирования явлений в основном социально-экономического характера [21, c. 42].

Принятие решений - это  достаточно широкое понятие. С точки  зрения математического описания под принятием решения понимается выбор из некоторого множества I элемента i. При этом определяется правило выбора и целесообразность выбора.

Математическая теория принятия оптимальных (рациональных, целенаправленных) решений называется теорией исследования операций. Таким образом, задачей теории исследования операций является построение количественных методов анализа процессов принятия решений во всех областях человеческой деятельности.

Совокупность  целенаправленных действий, т.е. действий, направленных на достижение некоторых целей, называется операцией.

При анализе операции следует ввести понятия оперирующей  стороны и исследователя операций. Оперирующей стороной называется лицо или совокупность лиц, которые стремятся в данной операции к поставленной цели.

Общепринятым аналогом оперирующей стороны является лицо, принимающее решение. Ответственность за принятие решений и окончательный выбор лежит на оперирующей стороне.

Исследователь операций и оперирующая сторона могут иметь различную информацию, так как во время анализа предстоящей операции и ее проведения информация может меняться, поступать в динамике. Кроме того, время для исследований может быть также различно.

Совпадение интересов  оперирующей стороны и исследователя  операций должно быть основано на хорошо построенном организационно-экономическом  механизме, заинтересовывающем исследователя  операций поддерживать именно те цели, которые преследует оперирующая  сторона.

Примером неконтролируемых факторов, выбираемых целенаправленно  партнерами по операции, являются военные  действия противника, экономические  планы взаимодействующих экономических субъектов и т. п.

Конфликтом (конфликтной  ситуацией) называется процесс столкновения интересов нескольких участвующих сторон.

Он может быть задан  следующими компонентами:

1. перечнем субъектов, участвующих в конфликте;
2. определением множеств их выборов;
3. интересами (мотивами), определяющими выбор.

Кроме того, при моделировании  конфликта очень важно описать информационную обстановку, т.е. всю информацию, которая уже имеется у субъектов конфликта и может поступать со временем. Также необходимо учитывать возможность обмена информацией, её добывания и добровольной передачи информации одним субъектом другому.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой. Таким образом, теория игр – это математическая теория принятия решений в условиях конфликта. Из этого определения следует, что теория игр есть важная часть теории исследования операций, изучающая вопросы принятия решений в конфликтных ситуациях.

Игра представляется как модель любого конфликта, то есть такой ситуации, в которой задействованы  несколько участников с различными интересами, мотивами, установками. Для  теории игр безразлично кто или что скрывается за игроками: одушевленные или неодушевленные объекты, природа, элемент социального или  биологического бытия. Для нее основное то, имеется конфликт и игроки или даже один игрок, которым она предлагает  математически точно рассчитанные действия в условиях разной степени неопределенности. Как только игра математически обрабатывается, и создается безошибочный алгоритм действия игрока, так сразу же она перестает быть игрой, превращаясь в строго определенную последовательность действий, ведущих или к победе, или к ничьей или к проигрышу.

Однако даже математическая теория игр не способна стопроцентно предопределить исход некоторых  конфликтов. Представляется возможным выделить три основные причины неопределенности исхода игры (конфликта).

Во-первых, это игры, в которых  имеется реальная возможность исследования всех или, по крайней мере, большинства  вариантов игрового поведения  из них одного наиболее истинного, ведущего к выигрышу. Неопределенность вызвана  значительным числом вариантов, сложностью их ранжирования по признаку истинности. Человеческий ум в ограниченный отрезок времени просто не в состоянии равным образом исследовать абсолютно все варианты (шашки, британские реверси).

Во-вторых, непрогнозируемое игроками случайное влияние факторов на игру. Эти факторы оказывают решающее воздействие на исход игры и лишь в  малой степени могут быть или вообще не могут быть контролируемыми и определяемыми играющими. Окончательный исход игры лишь в малой, крайне незначительной степени определяется самими действиями игроков. Игры, исход которых оказывается неопределенным в силу случайных причин, называются  азартными.

В-третьих, неопределенность вызвана  отсутствием информации о том,  какой именно стратегии придерживается играющий противник.

Основной задачей игр является не описание, а разрешение конфликтов, т.е. построение компромиссных взаимовыгодных решений, которые полностью или хотя бы частично согласовывают интересы всех взаимодействующих сторон.

Если удается формализовать (смоделировать) конфликт и определить принцип оптимальности, т.е. принцип выбора оптимального решения в игре, то получается математическая задача, которую можно решать математическими методами, без учета ее содержательной постановки.

Всякая математическая модель социально-экономического явления или конфликта должна выражать присущие ему черты:

1) заинтересованные стороны;

2) возможные действия каждой из сторон;

3) интересы сторон.

Заинтересованные стороны  будут далее называться игроками или лицами, а множество всех игроков будет обозначаться через I.

Любое возможное для  игрока действие называется его стратегией.

Множество всех стратегий игрока i обозначим через X_i. В условиях конфликта каждый игрок выбирает некоторую свою стратегию , в результате чего складывается набор стратегий , называемый ситуацией. Множество всех ситуаций обозначим Z.

Заинтересованность игроков  выражается в том, что каждому  игроку той или иной ситуации х Z приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в этой ситуации. Это число называется выигрышем игрока i в ситуации х и обозначается через . Величина называется функцией выигрыша игрока i и обычно является действительным числом.

В этих условиях протекание конфликта состоит в выборе каждым игроком  его стратегии и в получении им в сложившейся ситуации из некоторого источника выигрыша . Таким образом, множество игроков, их стратегий и их функций выигрыша полностью описывают некоторую игру Г (1.1)

 

.     (1.1)

 

Игра – это совокупность правил, описывающих сущность конфликтной ситуации. Эти правила устанавливают:

1) выбор образа действия игроков на каждом этапе игры;

2) информацию, которой обладает каждый игрок при осуществлении таких выборов;

3) плату для каждого игрока после завершения любого этапа игры.

Игру можно  определить следующим образом:

1) имеются n конфликтующих сторон (игроков), принимающих решения, интересы которых не совпадают;

2) сформулированы правила выбора допустимых стратегий, известные игрокам;

3) определен набор возможных конечных состояний игры (например, выигрыш, ничья, проигрыш);

4) всем игрокам (участникам игры) заранее известны платежи, соответствующие каждому возможному конечному состоянию. Платежи задаются в виде матрицы .

В зависимости  от числа конфликтующих сторон игры делятся на парные (с двумя игроками) и множественные (имеющие не менее трех игроков). Каждый игрок имеет некоторое множество (конечное или бесконечное) возможных выборов, т.е. стратегий.

Стратегией  игры называется совокупность правил, определяющих поведение игрока от начала игры до ее завершения. Стратегии каждого игрока определяют результаты или платежи в игре. Игра называется игрой с нулевой суммой, если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого, в противном случае она называется игрой с ненулевой суммой.

Задание стратегий (А и В) двух игроков в парной игре полностью определяет ее исход, т.е. выигрыш одного или проигрыш другого. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий. Результаты конечной парной игры с нулевой суммой можно задавать матрицей, строки и столбцы которой соответствуют различным стратегиям, а ее элементы — выигрышам одной стороны (равные проигрышам другой). Эта матрица называется платежной матрицей или матрицей игры   [3, c. 41].

Классификация игр строится на основе следующих признаков:

1. Число участников  – одиночные, парные, с тремя участниками, с четверыми участниками и т.д.
2. Число стратегий – конечные (каждый игрок располагает конечным множеством ходов) и бесконечные (по крайней мере один игрок располагает бесконечным множеством ходов, к примеру игра биологического вида с природой).
3. Характер отношений игроков – бескоалиционные игры, игроки в которых играют каждый за себя и кооперативные игры, игроки объединяются в коалиции с одинаковыми на время игры интересами.
4. Характер выигрыша – игры с нулевой суммой (сумма общего выигрыша не меняется,  а лишь перераспределяется или сумма выигрышей всех игроков во всех партиях данной игры  нулевая) и игры с ненулевой суммой, к примеру, лотерея, в которой организатор всегда выигрывает, а другие игроки (покупатели билетов) всегда получают суммарный выигрыш значительно меньший стоимости билетов.
5. Число ходов – одноходовые и многоходовые, последние из которых разделяются  на стохастические, дифференциальные.
6. Состояние информации игры – игры с полной информацией (игроки получают всю игровую информацию после очередного хода соперника) и игры с неполной, или со скрытой информацией [26, c. 39].