Математическая теория игр

  (2.8)

 

Оптимальная стратегия  игрока В: , остальные значения q_j мы отбрасываем, так как согласно условию известно всего три состояния спроса.

Для игрока А можно  утверждать, что его оптимальная  стратегия может быть получена с  помощью решения следующей ЗЛП (2.9)

.    (2.9)

 

Используя теорему двойственности, поставим в соответствие базисным переменным x₄, х₅, х₆, х₇ свободные переменные y₁, y₂, у₃, у₄, а свободным переменным х₁, х₂, х₃ базисные переменные у₅, у₆, у₇ (2.10)

 

х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
у5	у6	у7	y1	y2	у3	у4

 

Получим оптимально решение  задачи, используя решение предыдущей задачи линейного программирования и теоремы двойственности (2.11)

 

,  (2.11)

 

Найдем оптимальную стратегию игрока А (2.12) – (2.13)

 

      (2.12)

.  (2.13) 

 

Оптимальная стратегия  игрока А: , остальные значения p_i мы отбрасываем, так как согласно условию известно всего четыре типа продукции.

Аналогично находится  оптимальное решение второй задачи.

2.3 Универсальность задачи

 

Данная задача, решенная с помощью математической теории игр, позволяет определить наиболее оптимальные пропорции завоза товаров, при которых предприятие получит максимальную прибыль. При этом определяется средний размер прибыли на каждый вложенный рубль, т.е. окупаемость одной денежной единицы, а также определяется частота спроса.

Таким образом, задачи, решенные с помощью математической теории игр, позволяют принимать решения по поводу проведения ценовой политики, вступления на новые рынки, по поводу выбора для производства таких ресурсов, с помощью которых предприятие получит максимальную прибыль и т.д.

 

3 РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ПРОДУКТА

3.1 Постановка задачи

 

Для реализации программного приложения был использован программный  модуль Borland Delphi 7.

Borland Delphi 7 – это объектно-ориентированная среда визуального программирования. В состав Delphi входят средства, необходимые для разработки, тестирования и установки приложений, включая обширную библиотеку компонентов, средства визуального проектирования, шаблоны приложений и форм [25, с. 42].

Система программирования Delphi позволяет значительно упростить процесс создания Windows-приложений, а также резко повысить производительность труда программиста. Универсальность системы Delphi обусловлена тем, что она позволяет создавать профессиональные и эффективно работающие приложения, используемые в самых различных сферах человеческой деятельности [19, с. 42].

Входными данными разработанного программного приложения являются значения данных прибыли, которая может быть получена от продажи товаров при  различных состояниях спроса, представленных матрицей.

Выходными данными разработанного в ходе выполнения курсовой работы программного приложения являются рассчитанные показатели оптимальных пропорций завоза товаров из условия максимизации средней прибыли, размер средней прибыли на один вложенный рубль, а также частоты наблюдения состояния спроса. Данный процесс представлен в виде контекстной диаграммы и диаграммы декомпозиции (рисунки 3.1-3.2).

 

Рисунок 3.1. Контекстная  диаграмма

 

Рисунок 3.2. Диаграмма  декомпозиции

 

Программное приложение обладает внутренней структурой, образованной взаимосвязанными программными модулями.

Разработанное программное  приложение включает в себя следующие  модули:

1. Модуль ввода (Приложение 1).
2. Модуль редактирования данных (Приложение 1).
3. Модуль просмотра данных (Приложение 1).
4. Расчетный модуль (Приложение 1).
5. Модуль составления прямой задачи (Приложение 1).
6. Модуль решения прямой задачи (Приложение 1).
7. Модуль составления обратной задачи (Приложение 1).
8. Модуль решения обратной задачи (Приложение 1).
9. Модуль расчета пропорций завозимых товаров (Приложение 2).
10. Модуль расчета частот состояний спроса (Приложение 2).
11. Модуль расчета средней прибыли (Приложение 2).

Взаимосвязь между основными  модулями, используемыми в разработанном  программном приложении, представлена на рисунок 3.3.

 

 

 

 

 

 

 

3.2 Инструкция пользователю

 

Скопируйте на жесткий  диск папку «Математическая теория игр». Откройте эту папку и запустите программное приложение Project2.exe. В открывшемся окне указываем необходимое количество столбцов и строк нашей матрицы, вводим значения (рисунок 3.4.)

 

Рисунок 3.4. Ввод данных

 

После того, как Вы ввели  значения, нажмите кнопку «Решение». Получим ответ (рисунок 3.5).

 

Рисунок 3.5. Решение поставленной задачи

 

В результате выполненной  работы данный программный продукт имеет возможность регулирования числа столбцов и строк матрицы.

В ответ выводятся:

1. Модель прямой задачи.
2. Модель обратной задачи.
3. Оптимальная пропорция, например, завоза продукции.
4. Частоты, с которыми будет наблюдаться спрос.
5. Средняя прибыль на один вложенный рубль.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В ходе выполнения данной курсовой работы была достигнута цель, которая заключалась в изучении решения задачи по математической теории игр для экономического субъекта.

Для её достижения математическая теория игр была рассмотрена как  раздел теории принятия решений, были освящены основные теоретические аспекты такие, как классификация игр, понятие принципа оптимальности, решение матричных игр, была дана характеристика математической модели игры.

В качестве вспомогательной  литературы были использованы научные труды таких известных ученых, как Бережная Е.В. и Бережной В.И., Красс М.С. и Чупрынов Б.П., Росс С.И., Кундышева Е.С. и многих других. Также была рассмотрена задача, которая наглядно продемонстрировала практическое применение математической теории игр в экономике.

Основным результатом выполненной работы является создание программного продукта, который выполняет все необходимые расчеты экономической задачи.

В заключении сделаем следующие выводы.

1. Математические игровые модели используются при разработке стратегий развития компаний, определении ценовой политики, согласовании интересов при реализации совместных проектов.
2. Следует помнить, что результат игры спорен: множество процессов, параметров и факторов остаются неучтенными, поэтому и результат остается как один из возможных. В первую очередь необходимы четкие методики для каждой сферы, в которой данная модель будет применяться. Будучи правильно осмысленной, теория игр может быть использована в различных областях деятельности.
3. Эффективность программного продукта обусловлена тем, что при заданных различных пропорциях товаров и состояниях спроса предприятие может проследить и проанализировать с помощью полученных результатов наиболее выгодные для себя пропорции завозимой продукции, а также подсчитать размер средней прибыли на один вложенный рубль. Таким образом, полученные результаты дают возможность предприятию наиболее выгодно для себя составить план закупок продукции, при реализации которого издержки будут минимальными, а прибыль будет максимальной.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Афанасьев, М.Ю. Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 20032001 – 154 с.
2. Бакнелл Джулиан М. Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi: Пер. с англ./ Джулиан М. Бакнелл. – СПб.: ООО «ДиаСофтЮП», 2003, - 560 с.
3. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2006 – 432 с.
4. Васин А.А., Морозов В.В. «Введение в теорию игр с приложениями к экономике» (учебное пособие). — М.: 2003, - 278 с.
5. Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В. Математические методы и модели в экономике: Учебник – М.: 2007, – 348 с.
6. Данилов В.И. Лекции по теории игр. / КЛ/2002/001. - М.: Российская экономическая школа, 2002.
7. Замков О.О. Математические методы в экономике: учебник / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных; под общ. ред. А.В. Сидоровича. 4-е изд., стер. М.: Дело и Сервис, 2004 – 365 с.
8. Красс М.С., Чупрынов Б.П. "Математика в экономике. Математические методы и модели". М., Финансы и статистика, 2007 – 541 с.
9. Красс М.С. "Математика в экономике. Основы математики". М., ФБК-Пресс, 2005 – 472 с.
10. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. - М.: ДЕЛО, 2002 – 704 с.
11. Кундышева Е.С. Экономико-математическое моделирование: Учебник для вузов / Под ред. Б.А. Суслакова – М.: Дашков и К, 2008 – 424 с.
12. Лапшин К.А. Игровые модели и принятие решений - М.: 2001.
13. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом. - М.: ДЕЛО, 2001 – 464 с.
14. Макаров С.И. Экономико-математические методы и модели. – М.: Кнорус, 2008 – 232 с.
15. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы: Пер. с фр. и предисловие А.И. Штерна. — М.: Паука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990 – 488 с.
16. Пантелеев А.В., Т.А. Летова Методы оптимизации в примерах и задачах: учеб. пособие - М.: Высш. шк., 2002 – 544 с.
17. Парижский С.М. Delphi. Учимся на примерах/Под ред. Ю.А. Шпака – К.: «МК-Пресс», 2005 – 216 с.
18. Пелих А.С., Терехов Л.Л., Терехова Л.А. Экономико-математические методы и модели в управлении производством: Учебник  — М.: Феникс, 2005 – 248 c.
19. Пестриков В.М., Маслобоев А.Н. Delphi на примерах. – Спб.: БХВ-Петербург, 2005 – 496 с.
20. Росс С.И. Математическое моделирование и управление национальной экономикой: учебное пособие. СПб.: Изд-во СПб ГУ ИТМО, 2006, - 74 с.
21. Солопахо А. В. Математика в экономике. Учебно-практическое пособие - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2001 –71 с.
22. Сысоев, В.В. Теоретико-игровые модели принятия решений многоцелевого управления в задачах выбора и распределения ресурсов / Воронеж: Воронеж. гос. технол. акад., 2000.
23. Фаронов В.В. Искусство создания компонентов Delphi. Библиотека программиста. – СПб.: Питер, 2005 – 463 с.
24. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Исследование операций: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006 – 280 с.
25. Шпак Ю.А. Delphi 7 на примерах/ Под ред. Ю.В. Ковтанюка – К.: Издательство Юниор, 2003 – 384 с.

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

var

  Form1: TForm1;

 

implementation

 

{$R *.dfm}

 

procedure TForm1.UpDown1Click(Sender: TObject; Button: TUDBtnType);

begin

  StringGrid1.ColCount := UpDown1.Position;

end;

 

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

  i, j: integer;

  str1: string;

begin

  Memo1.Lines.Clear;

  Memo := Memo1.Lines;

 

//прямая задача

  for i := 1 to 30 do begin

    Fo[i] := 0;

    FunctPr[i] := 0;

    B[i] := 0;

    H[i] := 0;

    Hnew[i] := 0;

    C[i] := 0;

    Cnew[i] := 0;

    CPr[i] := 0;

    CPrnew[i] := 0;

    FX[i] := 0;

 

    for j := 1 to 30 do begin

      X[i,j] := 0;

      Xnew[i,j] := 0;

    end;

 

    BS[i] := '';

    Bvsp[i] := '';

    ZNAC[i] := '';

  end;

 

  Kit:=0;dop_X:=0;

 

  Kstr := StringGrid1.RowCount;

  Kell := StringGrid1.ColCount;

  Fm := 1;

 

  Memo.Add('Модель для прямой задачи:');

  for I:=1 to Kstr do begin

    str1 := '';

    for J:=1 to Kell do begin

      if length(str1) > 0 then str1 := str1 + ' + ';

      str1 := str1 + StringGrid1.Cells[J - 1, I - 1] + '*' + 'x' + IntToStr(J);

      Xnew[I,J] := StrToFloat(StringGrid1.Cells[J - 1, I - 1]);

    end;

    str1 := str1 + ' <= 1';

    ZNAC[I] := '<=';

    B[I] := 1;

    Memo.Add(str1);

  end;

 

  str1 := '';

  for J:=1 to Kell do begin

    if length(str1) > 0 then str1 := str1 + ' + ';

    str1 := str1 + 'x' + IntToStr(J);

    FX[J] := 1;

  end;

  str1 := 'F = ' + str1 + ' -> MAX';

  Memo.Add(str1);

  Memo.Add('');

 

  //Memo.Add('Решение для прямой задачи:');

  SIMPLEX;

  Memo.Add('');

 

//обратная задача

  Kit:=0;dop_X:=0;

  for i := 1 to 30 do begin

    Fo[i] := 0;

    FunctPr[i] := 0;

    B[i] := 0;

    H[i] := 0;

    Hnew[i] := 0;

    C[i] := 0;

    Cnew[i] := 0;

    CPr[i] := 0;

    CPrnew[i] := 0;

    FX[i] := 0;