Математическое моделирование

• Средние и предельные эффективности производственных факторов K и L и их экономический смысл.

При исследовании эффективности  производственных факторов можно воспользоваться  формулами расчета средних производительностей и и предельных производительностей и факторов K и L, подставив соответствующие значения параметров и факторов (для первого года анализируемого периода) 1956 года:

 

 

 

 

• Соотношение между средней и предельной эффективностью производственных факторов.

Подставив найденные значения средних и предельных производительностей  в соотношения

 

и

 

убедиться в справедливости для степенных производственных функций утверждений, что предельные продукты производственных факторов всегда меньше соответствующих средних продуктов производственных факторов.

 

• Коэффициенты эластичности выпуска по факторам K и L в степенных производственных функциях и их экономический смысл.

Для расчета коэффициентов  эластичности выпуска по производственным факторам K и L в степенных ПФ воспользуемся  формулами

 

 

3. Проверка выполнения трех предположений о свойствах производственной функции Y=F(K,L)

• F(0,L)=0, F(K,0)=0;

Проверка первых двух предположений  не представляет сложностей. Рассмотрим проверку третьего предположения. Формулы  для расчета вторых частных производных  имеют вид:

 

 

 

Подставив известные значения параметров и производственных факторов в полученные соотношения, легко  проверили справедливость третьего предположения.

4. Исследование отдачи от расширения масштабов производства

• Однородность производственных функций.

Производственная функция F(K,L) называется однородной функцией степени ν, если для произвольных значений K,L и λ она удовлетворяет соотношению

F(λ

Однородность производственной функции означает, что при увеличении затрат производственных факторов в λ раз объем производства возрастает в среднем в раз. К примеру, если капитал и труд увеличить в 2 раза, то выпуск продукции увеличится в среднем в раза, так как

 

• Эластичность производства

Сумма коэффициентов эластичности продукта по факторам называется эластичностью  производства :

 

Из теоремы Эйлера следует, что для производственной функции, удовлетворяющей условию однородности, эластичность производства равна степени  однородности производственной функции:

 

При равенстве единице  коэффициента эластичности масштаба производства производственная функция является неоклассической производственной функции и называется линейно-однородной функцией. В этом случае производство инвариантно к изменению масштаба системы и изменение потребляемых факторов приводит к пропорциональному  изменению производства продукции

 

5. Исследование взаимного замещения производственных факторов

Возможность взаимного замещения  ресурсов означает, что одно и то же количество продукта может быть произведено при различных сочетаниях ресурсов. Изокванта – геометрическое поле точек, которым соответствует одинаковый уровень выпуска продукции.

Для степенной производственной функции линии постоянного уровня выпуска Y=образуют семейство изоквант, уравнение которых можно получить из уравнения степенной производственной функции, принимая, например, K как функцию L:

K(L)=

 

Для построения изокванты степенной производственной функции постоянного выпуска 708,6 млрд долл. определим по формуле расчетные значения объема основного капитала К в зависимости от количества  отработанных часов L (табл.1.6).

Таблица 1.6 – Расчет величин K(L) и h

L	K(L) при Y=708,6 млрд долл.	K/L	h=MyL/MyK=b/a*K/L
0,1	2858,953512	28589,54	7645,617124
0,5	1859,017835	3718,036	994,3035822
0,9	1588,608071	1765,12	472,0409844
1,3	1439,820749	1107,554	296,1900926
1,7	1340,144655	788,3204	210,8182526
2,1	1266,513408	603,1016	161,2857318
2,5	1208,815497	483,5262	129,3080202
2,9	1161,775475	400,6122	107,1345768
3,3	1122,316323	340,0959	90,95085618
3,7	1088,497456	294,1885	78,67398459
4,1	1059,021914	258,298	69,07589843
4,5	1032,983126	229,5518	61,38837901
4,9	1009,724325	206,0662	55,10768798
5,3	988,7556055	186,5577	49,89057865
5,7	969,7025389	170,1233	45,49557195
6,1	952,2730032	156,1103	41,74813598
6,5	936,2350384	144,0362	38,5191758
6,9	921,4016205	133,5365	35,71127311
7,3	907,6199263	124,3315	33,24961447
7,7	894,7635965	116,2031	31,07585121
8,1	882,7270513	108,9786	29,14384638
8,5	871,4212403	102,5201	27,41666767
8,9	860,7704168	96,71578	25,86442203
9,3	850,7096556	91,47416	24,4626705
9,7	841,1829179	86,71989	23,19125027
10,1	832,1415264	82,39025	22,03338755
10,5	823,5429513	78,43266	20,97502115
10,9	815,3498339	74,80274	20,00428076
11,3	807,5291945	71,46276	19,11108046
11,7	800,0517857	68,38049	18,28679891
12,1	792,8915588	65,52823	17,52402548
12,5	786,0252217	62,88202	16,81635709
12,9	779,4318701	60,42108	16,15823431
13,3	773,0926773	58,12727	15,54480831
13,7	766,9906325	55,98472	14,97183198

Рисунок 1.1 – Изокванта степенной производственной функции

Предельная норма замещения  труда капиталом h показывает, сколько основного капитала может быть высвобождено при увеличении затрат труда на единицу (и, наоборот, сколько основного капитала необходимо дополнительно ввести при уменьшении затрат труда на единицу), если выпуск продукции необходимо оставить на прежнем уровне.

Абсолютное значение наклона  изокванты на разных ее участках выражает предельную норму замены фактора L фактором K, поэтому изокванту можно назвать также кривой взаимозаменяемости.

Предельная норма замещения  труда капиталом может быть выражена как отношение предельных эффективностей: . Полученная формула показывает существование прямо пропорциональной зависимости между предельной нормой замещения труда капиталом и величиной капиталовооруженности при условии постоянного отношения коэффициентов эластичности факторов.

Изоклиналью называется множество  точек экономической области, в  которых предельная норма замещения  одного фактора другим постоянна. Изоклинали однородных производственных функций  являются лучами, выходящими из начала координат.

Рисунок 1.2 – Изокванта и изоклинали степенной производственной функции

Эластичность замещения  производственных факторов характеризует  скорость изменения предельной нормы  замещения при движении вдоль  изокванты. Эластичность замещения производственных факторов σ приближенно показывает, на сколько процентов при движении вдоль изокванты изменится капиталовооруженность k (отношение основного капитала к труду) при изменении предельной нормы замещения труда капиталом на один процент:

 

Постоянство эластичности замещения  производственных факторов σ многих производственных функций позволяет  охарактеризовать с ее помощью возможность  замещения факторов в целом (а  не при каком-то конкретном соотношении  факторов, как это удается на основе предельной нормы замещения h). Чем больше величина σ, тем в более широких пределах производственные ресурсы могут замещать друг друга.

Величина эластичности замещения  труда капиталом для степенной  производственной функции всегда равна  единице. Это означает, что в случае степенной производственной функции  при увеличении капиталовооруженности труда на 1%, предельная норма замещения труда капиталом также увеличится на 1%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Оценка эффективности  инвестиционных проектов

 

1. Рассчитать значение средневзвешенной стоимости капитала WACC по приведенным в таблице 2.1 данным, если налог на прибыль компании составляет 26%.

Таблица 2.1 – Расчет средневзвешенной стоимости капитала WACC

Источник средств	Балансовая оценка, тыс.руб	Доля (d),%	Выплачиваемые проценты или  дивиденды (k),%
Заемные:
краткосрочные	4000	20	8
долгосрочные	3000	15	7
Обыкновенные акции	8000	40	19
Привилегированные акции	3000	15	13
Нераспределенная прибыль	2000	10	16
Итого	20000	100	14,95

Число в последней колонке  по строке «Нераспределенная прибыль» означает ориентировочную оценку доходности новых обыкновенных акций в случае их эмиссии.

2. Доходы от проекта составляют 1000000 руб., а среднегодовая стоимость инвестиций 800000 руб. Определить бухгалтерскую рентабельность инвестиций при средней налоговой ставке на прибыль в 26%.

1	Доходы от проекта, руб	1000000
2	I - среднегодовая стоимость  инвестиций (затраты основных и  оборотных средств), руб	800000
3	Средняя прибыль от проекта  до уплаты налога, руб	200000
4	t - ставка налогооблажения, %	26
5	Средний налог на прибыль, руб	52000
6	Средняя чистая бухгалтерская  прибыль от проекта, руб	148000
7	ARR - средняя норма прибыли  (рентабельности) приекта, %	18,5

Рентабельность проекта  – 18, 5 %, достаточно высокая.

3. Компания рассматривает целесообразность принятия проекта с неравномерным денежным потоком, приведенном во втором столбце табл. 2.2. Проекты со сроком погашения, превышающим 4 года, не принимаются. Сделать анализ с помощью критерия обыкновенного срока окупаемости

Таблица 2.2 – Расчет срока окупаемости инвестиций простым (бездисконтным) методом при неравномерном поступлении доходов

Год	Денежный поток, млн руб	Накопленный денежный поток, млн руб
0	-1800	-1800
1	480	-1320
2	540	-780
3	660	-120
4	360	240
5	300	540
6	180	720

 
Срок окупаемости проекта  не превышает 4 года, следовательно проект принимается к рассмотрению.

4. Компания рассматривает целесообразность принятия проекта с денежным потоком, приведенном во втором столбце табл. 2.3. Стоимость капитала компании 16%. Проекты со сроком погашения, превышающим 4 года, не принимаются. Сделать анализ с помощью критерия дисконтированного срока окупаемости.

Таблица 2.3 – Расчет срока окупаемости инвестиций дисконтным методом

Год	I0, Инвестиции, млн руб	CF, Денежный поток, млн руб	(1+r)^t при r=16%	Дисконтированный денежный поток, млн руб	Накопленный дисконтированный денежный поток, млн руб
0	-150		1	-150	-150
1		60	1,16	51,72	-98,28
2		70	1,35	52,02	-46,25
3		80	1,56	51,25	5,00
4		50	1,81	27,61	32,61
5		40	2,10	19,04	51,66
6		30	2,44	12,31	63,97