Математика в современном мире

обоснованные выводы. Для  этого статистические данные должны быть предварительно

определенным образом  систематизированы и обработаны.

Одним из основных методов  обработки статистических данных является

выборочный метод.

   Выборочный метод

При выборочном исследовании из всей совокупности отбирают некоторым  образом 

определенное число объектов и только их подвергают исследованию. Совокупность всех

исследуемых объектов называют   генеральной совокупностью. Выборкой называют

совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.

      Число объектов  выборки или генеральной совокупности  называют объемом выборки.

      Пример: Из 10000 студентов для контрольной  флюорографии отобрано 100 студентов, 

то объем генеральной  совокупности равен 10000, а объем выборки  равен 100.

        Разность  между наибольшим и наименьшим  значением числовой выборки называют 

размахом выборки.

Выборку, представляющую собой  неубывающую последовательность чисел,

называют  вариационным рядом. Любую числовую выборку можно  записать в виде

вариационного ряда.

Пример:

выборка: 1,10,-2,0,-2,5,1,10,7.

вариационный ряд: -2,-2,0,1,1,5,7,10.

объем выборки: n=8

размах выборки: 10-(-2)=12

Пусть из генеральной совокупности получена выборка объема  n, причем х1

появляется в ней  n1 раз, значение х2 – n2 раз и т, д. В это                                                            

м случае числа n1,  n2,…,nk называют частотами значения выборки. Отношения   n

n

n

n

n

n

k

, ,...,

1 2

называют относительными частотами значения выборки

n1+n2+….+nk=n

n

n

n

n

n

n

k

, ,...,

1 2

Последовательность пар (х1, n1), (х2. n2), ... ,(xk, nk) называют статистическим рядом.

Обычно статистический ряд  записывают в виде таблицы, где х-значения выборки, а n-

частоты значения выборки.

x1 x2 …… Xk

n1 n2 ........ Nk

Выборочное распределение  записывается в виде таблицы, где  хk -значения выборки,

а nk относительные частоты значения выборки.

x1 x2 …… Xk

n1

n

N2

N

…… Nk

N

Пример:

Дана выборка: 3, 8, -1, 3, 0, 5, 3,-1, 3, 5.

Запишем данную выборку в  виде вариационного ряда: -1, -1, 0 , 3, 3, 3, 3, 5, 5, 8.

Статистический ряд будет  иметь вид:

xi -1 0 3 5 8

ni 2 1 4 2 1

Выборочное распределение:

Xi -1 0 3 5 8

Ni

N

0,2 0,1 0,4 0,2 0,1

    Графические изображения  выборки. Полигон и гистограмма.

Для наглядного представления  выборки часто используют различные  графические 

изображения. Простейшими  графическими изображениями выборки  являются полигон и 

гистограмма выборки. Пусть  выборка задана статистическим рядом: (x1,n1),

(x2,n2),….,(xk,nk).  Полигоном выборки называется ломаная линия. Существует два вида

полигонов выборки: полигон  частот (ni (хi)) и полигон относительных частот

n

n

i

(xi).

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

xi

ni

-1               0                3                5               8При большом объеме выборки, более наглядное представление дает  гистограмма

выборки. Для построения гистограммы  частот выборки промежуток от наименьшего

значения выборки до наибольшего  ее значения разбивается на несколько  частичных 

промежутков  h. Для каждого частичного промежутка подсчитывают сумму Sk  (частот

значений выборки, попавшей в этот промежуток.) Затем на каждом интервале, как на

основании, строится прямоугольник высотой равной

h

Sk

.

Пример: В результате измерения  роста детей получена выборка:

118, 121, 115, 125,125,117,124,120,120,119,121,119,

122, 127, 118, 120,123,130,123,116, 124, 127, 120, 122

Построить гистограмму, если число частичных промежутков  равно 5.

Наименьшее значение выборки: 115

Наибольшее значение выборки: 130

3

5

130 115

=

-

h =

Число попаданий выборки  в частичные промежутки соответственно равны:

[115, 118)-4, [118, 121)-7, [121, 124) - 6, [124, 127) - 4, [127, 130) - 3. Соответственно

высоты прямоугольников 

h

Sk

равны:  1

3

3

,

3

4

2,

3

6

,

3

7

,

7

4

= = .

Выборочные характеристики.

В математической статистике вводятся числовые характеристики выборки 

аналогично числовым характеристикам  случайных величин в теории вероятности.

Пусть имеется выборка, объема n.

Х1,Х2,Х3, ...,Хk.

Выборочным математическим ожиданием (выборочным средним) называют среднее 

арифметическое значение выборки.

n

x x x x

x =

+ + + + n

...

1 2 3

Если выборка задана статистическим рядом, то:

n

n x n x n x n x

x

+ + + + k k

=

...

1 1 2 2 3 3

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов  отклонений

значений выборки от выборочного  среднего.

0

1/2

1

1 1/2

2

2 1/2

1 2 3 4 5

Xi

Si/h

115        118            121           124          127         130    Xi

Рисунок

0

1/2

1

1 1/2

2

2 1/2

1 2 3 4 5

Xi

Si/hn

x x x x x x x x

S

n

2 2

3

2

2

2

1

0

( - ) + ( - ) + ( - ) + ... + ( - )

=

Если выборка задана статистическим рядом, то:

n

n x x n x x n x x n x x

S

k k

2 2

3 3

2

2 2

2

1 1

0

( - ) + ( - ) + ( - ) + ... + ( - )

=

Несмещенная выборочная дисперсия:

0

1

S

n

n

S

-

=

Пример: Дана выборка 1, 2, 3, 4, 5. Найти выборочное среднее х , выборочную дисперсию

S0, несмещенную выборочную  дисперсию S. Объем выборки n = 5

3

5

15

5

1 2 3 4 5

= =

+ + + +

x =

2

5

10

5

4 1 1 4

5

(1 3) (2 3) (3 3) (4 3) (5 3)

2 2 2 2 2

0 = =

+ + +

=

- + - + - + - + -

S =

2 2,5

5 1

5

× =

-

S =

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Предмет математической  статистики.

2. Генеральная совокупность. Выборка.

3. Объем выборки. Размах  выборки.

4. Вариационный ряд.

5. Понятие частоты значения  выборки. Статистический ряд.

6. Выборочное  распределение

7. Полигон частот. Полигон  относительных частот.

8. Гистограмма.

9. Выборочное математическое  ожидание.

10. Выборочная дисперсия.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1) Представить в виде  статистического ряда данные  о количестве больных и построить 

полигон частот: 6, 5, 7, 8, 7, 9, 6, 10, 9, 9, 6, 10, 8, 5, 9, 8, 7, 5, 8, 10, 11, 10, 10, 8, 9, 6, 9,

7, 12, 9, 11, 8, 11, 7, 6, 8, 9, 8, 9, 5, 11, 9, 7, 9, 8, 8, 6, 12, 12, 7.

2. Построить полигон частот  и относительных частот по  распределению выборки:

X 2 3 5 6

N 10 15 5 20

3. Построить гистограмму  относительных частот по распределению  выборки:

Х 10-15 16-20 21-25 26-30 31-35

S 2 4 8 4 2

4. Построить гистограмму  изменения кровяного давления  у 200 практически здоровых

женщин в возрасте 60-65 лет  по данным статистического распределения:

Х, мм. Рт. Ст. S Х, мм. Рт. ст. S Х, мм. Рт. ст. S

70-80 1 100-110 17 130-140 57

80-90 1 110-120 36 140-150 30

90-100 5 120-130 42 150-160 115. При подсчете  количества листьев у одного  из лекарственных растений были 

получены, следующие данные: 8, 10, 7, 9, 11, 6, 9, 8, 10, 7. Вычислить выборочное

среднее, выборочную дисперсию  и несмещенную выборочную дисперсию.

6. В результате 10 измерений  диаметра капилляра в стенке  легочных альвеол были 

получены следующие данные: 2,83 мкм; 2,82; 2,81, 2,85; 2,87; 2,86; 2,83; 2,85; 2,83, 2,84

мкм. Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию и несмещенную

выборочную дисперсию.2.2 САНИТАРНАЯ (МЕДИЦИНСКАЯ) СТАТИСТИКА.

Задачи и разделы санитарной статистики.

Интенсификация труда  медицинских работников требует  систематического учета и

анализа лечебно-профилактической, противоэпидемической работы. В связи  с этим

возрастает роль и значимость медицинской статистики в научной  и практической работе.

         Умелое  использование медицинской статистики  позволяет своевременно «ставить 

диагноз» общественному  здоровью и эффективности проводимых лечебно-

профилактических мероприятий. Успех любого статистического исследования

определяется не только знанием  сущности изучаемого вопроса, но и методических основ 

медицинской статистики.

         Санитарная (медицинская) статистика изучает  вопросы, связанные с медициной  и 

здравоохранением. Санитарная статистика делится на два раздела:

- статистику здоровья  ( количественная характеристика состояния здоровья различных

групп населения в зависимости  от комплекса социально-биологических  факторов);

- статистику здравоохранения  (состояние сети кадров, оценка  деятельности 

учреждений здравоохранения, мероприятий по охране здоровья населения).

Руководство медицинской  статистикой в стране осуществляет Управление

медицинской статистики и  вычислительной техники Министерства здравоохранения.

        Санитарная  статистика играет важную роль  в оценке состояния здоровья  населения, 

деятельности медицинских  учреждений, планировании и прогнозировании  различных 

служб здравоохранения.

         На  современном этапе развития здравоохранения  санитарная статистика играет 

важную роль в оценке состояния  здоровья населения, деятельности медицинских 

учреждений, планировании и прогнозировании различных служб здравоохранения и т.д.

Медико-демографические показатели.

       Исторически  на стыке общей демографии  и социальной медицины в конце  XIX века 

выделилась смежная научная  область – медицинская демография, изучающая взаимосвязь 

процессов воспроизводства  населения с социально-гигиеническими  факторами и 

разрабатывающая на этой основе медико-социальные меры, направленные на обеспечение

наиболее благоприятного развития демографической ситуации и улучшения здоровья

населения.

       Статистическое  изучение народонаселения ведется  в двух основных направлениях:

- статистика населения;

- динамика населения.

Состав населения (статика) изучается по ряду    основных     признаков: пол, возраст,

социальные группы, профессия, язык, образование, место жительства и т.д.

        Динамика  населения есть движение и  изменение количества населения.  Изменение 

численности населения может  происходить по следующим причинам:

- механического движения  населения – миграционные процессы;

- естественного движения  населения -  под влиянием рождаемости  и смертности.

Коэффициент рождаемости.

     Для определения  интенсивности процесса рождения  и размеров рождаемости 

пользуется обычными интенсивными показателями. Общий показатель рождаемости 

высчитывается следующим  образом:среднегодовая численность населения

общее число родившихся з а годживыми

общий показатель рождаемости

´1000

=

 

         Если  имеются сведения о родившихся за несколько месяцев, то можно вычислить

показатель по формуле:

число взятых месяцев

среднег одовая численность населения

живыми

число родившихся з а взятые месяцы

показатель рождаемости  з а несколько месяцев

´

´

´ ´

=

1000 12

         Кроме  того, в статистике рождаемости  рассчитывается коэффициент суммарной 

рождаемости, который определяет сколько в среднем родила бы одна женщина на

протяжении всей ее жизни.

( )

1000

,

детности

з а весь плодовитый период ее жизни

число детей рожденных  в среднемодной женщиной

показатель суммарной  плодовитост и =

        

Коэффициент смертности

        Показатели  смертности уже давно используют  для оценки состояния здоровья.

Общий показатель смертности (ОПС): измеряет число случаев смерти от всех причин в

данной группе населения  за определенный период времени.

з а тот же период

среднег одовая численность населения в том же районе

районе з а определенный период времени

общее число умерших от всех причин в конкретном

общий показатель сметности

´1000

=

         При  изучении смертности населения  желательно знать помесячные  колебания 

смертности с тем, чтобы  уметь отличить подлинное увеличение или уменьшение

смертности от сезонных колебаний.

общее число умерших в  течении года

число умерших в данном месяце

доля умерших в данном месяце

100

(%)

´

=

Работа стационара.

- Использование коечного  фонда:

койки в г оду

среднег одовое число коек

число койко дней проведенных всеми больными

среднее число дней работы

- ,

=

- Средняя длительность  пребывания больного на койке  рассчитывается  больнице

по каждому отделению  по отдельным заболеваниям:больног о на койке

число выбывших больных

число койко дней проведенных больными

средняя длительность пребывания

- ,

=

- Показатель оборота койки:

число среднегодовых развернутых  коек

число выбывших больных

оборот койки =

   Естественный прирост  населения.

       Естественный  прирост рассчитывается как разность  показателей рождаемости и 

смертности. В результате естественного движения населения  численность его 

меняется.

        Если  смертность превышает рождаемость,  то численность населения убывает,  и 

показатель такого прироста имеет отрицательный знак. Санитарную оценку

показателя естественного  прироста населения нельзя производить  без учета уровней 

рождаемости и смертности, из которых он был получен.

        Показатели  естественного прироста населения,  полученные в результате высокой

рождаемости и высокой  смертности, могут быть равны показателям, полученным при