Математикалық индукция әдісі

Мазмұны

1. Кіріспе......................................................................................4
2. Негізгі бөлім............................................................................5
1. Индукцияның пайда болуының әр түрлі формалары................5
2. Толымсыз индукция......................................................................7
3. Толық индукция..............................................................8
4. Дедукция.........................................................................10
5. Жетілдірілген индукция әдісі......................................................12
6. Натурал сандар арифметикасының негізгі теоремасы.............13
7. Индукцияны қолданып есептер шығару....................................15
3. Корытынды............................................................................19
4. Пайдаланған әдебиеттер......................................................20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе

Математикалық индукция әдісі, ұсынылған пікірдің не тұжырымның ақиқаттығын дәлелдеуге көмектесетін әдіс.

Курстық жұмыстың  мақсаты:  индукцияның пайда болуының әр түрлі формаларын, толымсыз индукцияны, толық индукцияны, дедукцияны, жетілдірілген индукция әдісін және натурал сандар арифметикасының негізгі теоремасын  толықтай зерттеу болып табылады.

Бұл жұмыста  көптеген қызықты мағлұматтар қамтылған . Жұмыста келесі мәлімдемелер келтірілген:

Негізгі бөлімнің бірінші тақырыбы бойынша  индукция термині,оның үш мәні жайлы жалпы түсінік берілген. Ал индукцияның түрлері, яғни толымды және толымсыз индукция, дедукция  жайлы толық мағлұмат, негізгі бөлімнің екінші, үшінші және төртінші такырыптарында қарастырылған.

Негізгі бөлімнің бесінші және алтыншы тақырыбында математикалық индукция принципі толық ашылған. Ал жетінші тақырыпта математикалық индукция әдісін шыңдай түсу үшін есептер шығарылған.

Зерттеу барысында төмендегідей тақырыптар қарастырылған: 

• Индукция пайда болуының әр түрлі формалары.
• Толымсыз индукция.
• Толық индукция.
• Дедукция.
• Жетілдірілген индукция әдісі (математикалық индукция).
• Натурал сандар арифметикасының негізгі теоремасы

 

Жұмысытың мақсаттары мен міндеттері:математикалық индукция әдісінің мәнін,жүйесін,қолдану аясын толық ашу.

Жұмысытың құрылымы: жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, қорытынды, пайдаланған әдебиеттерден тұрады. 

 

 

 

 

1. Индукцияның пайда болуының әр түрлі формалары.

 
          Ойымызды тұжырымдап айтып берудің негізгі екі түрлі жолы бар: олар индукция мен дедукция. Индуктивтік ой қорыту адамдардың қоғамдық және өндірістік практикасының көп ғасырлық бақылауы мен тәжірибесінен қалыптасты. 
 
Ойымызды тұжырымдаудың әр түрлі формасы ретінде индукция ертедегі грек философы Сократтың (Б.Ж.С. д. 469-399) еңбектерінде кездеседі. «Индукция» термині латынның  
 
inductio – түрткі, кірістіру, жекеден көпке, жалқыдан жалпыға көше отырып  
 
пайымдау жолы деген сөзі.

 

Оның негізгі үш мәні бар: 

 

1. Ойды тұжырымдап айтып берудің негізгі түрінің бірі – екі немесе бірнеше элементар жеке пікірлерден жаңа жалпы тұжырым жасау;

 

2. Кейбір объектілер жиынын үйрету үшін жеке объектілерді қарастырады. Олардың арасындағы ортақ қасиеттерді іздейді, жеке фактіден жасалған тұжырымды барлық объектілердің қасиеті ретінде алады;

 

3. Оқыту процесінде материалды жалпылай жеткізетін зерттеу әдісі болып табылады.

1-мысал. Элементар пікірлер: шеңбер түзумен ең көп дегенде екі нүктеде  
 
қиылысады. 
 
Сол сияқты эллипс түзумен екі нүктеде қиылысады; парабола түзумен екі нүктеде қиылысады; гипербола түзумен екі нүктеде қиылысады. 
 

 
Дербес пікірлер: Эллипс, парабола, гипербола 
конустық қималардың әр түрдегі көрінісі, бұлар екінші ретті қисықтар жиынын құрайды 
 
Жаңа жалпы пікір: Екінші ретті қисықтар түзумен ең көп дегенде екі нүктеде қиылысуы мүмкін. 
 
 
2-мысал. Төмендегі формуламен берілген сан тізбегін қарастырайық:  
 
f(n)=n²-n+41 
 
 
n=1 болсын  
 
f(1)=1-1+41=41

 

n=2  f(2)=4-2+41=43

 
n=3  f(3)=9-3+41=47 
 
 
Сан тізбегі - жай сандар тізбегі болып табылады. {Қате пікір, өйткені   болғанда f(41²)=41²-41+41=41²- құрама сан}.  
 
 
3-мысал. Мұғалім үшбұрыштың биіктігі ұғымын оқушыларға таныстыра келіп, тақтаға әр түрлі қиғаш бұрыштарды сызады, әр түрлі жағдайда үшбұрышқа биіктік тұрғызады, бұл сызбаларға қарай отырып, оқушылар мынадай қорытындыға келеді: Егер үшбұрыш табанына іргелес жатқан бұрыштар сүйір болса, онда биіктік   табанымен қиылысады, ал егер   табанымен іргелес жатқан бір бұрыш доғал болса, онда биіктік   табанының созындысымен қиылысады. 
 
Бірінші мысалда индукция ой қорытудың ерекше формасын білдіреді, екінші мысалда бақылау мен тәжірибенің (нәтижесінде) негізіне сүйеніп индукция ғылыми-зерттеу әдісі, ал 3-мысалда индукция оқыту әдісі ретінде қолданылған. Индукцияның әр түрлі формада болуы адамдардың күнделікті қызметінің сипатына тікелей байланысты.

 

 

 

 

 

2. Толымсыз индукция

 
 
Индукцияның толымсыз және толық болып бір-бірінен өзгешеленетін екі түрі бар. Зерттеу әдісі ретінде толымсыз индукция – жеке фактілер өте көп болып, бірақ олардың барлығын бірдей қарастырмай тек кейбіреулерін ғана қарастырып тек солардағы ерекшеліктерді байқап, осылар арқылы жалпы қорытынды жасайтын болсақ, бұл толымсыз индукция болып табылады. 
 
Толымсыз индукциямен жасалған қорытынды дұрыс болмады да мүмкін алғашқы жеке фактілерде бар ерекшелік, кейінгілерінде болмайтын жағдайлар кездеседі. Өйткені педагогикалық процесте, әсіресе жеке фактілер өте көп болып, олардың барлығын бірдей қарастыру мүмкін болмағанда, тек бірнеше дербес фактілерден жасалған қорытындының өзі де дұрыс болатыны адам практикасында бұрыннан сыналған. 
 
5+2=2+5 демек a+b=b+a . 
 
Сабақ өту кезінде оқушыларға таныс жеке мысалдар алып, солардан қорытынды шығаратын болсақ, бұл оқушыларға түсінікті болады. 
 
Толымсыз индукция төменгі сыныптарда жиі қолданылады. 
 
Толымсыз индукция әдісін қолданып бір қорытынды тұңғыш рет жасалған болса, оны міндетті түрде әр түрлі әдіспен тексеру қажет. Бұл үшін бірнеше пікірлерден ұқсас қорытындылар жасап, дәлелдеуді күшейтеміз, дәл осы әдіспен мектепте прогрессия өтіледі: 
 
=

 
= 
 
 
= 
 
= 
 
= 
 
 
Бұл нәтижеге келгенімізбен, міндетті түрде дәлелдеу қажет. 
 
Математика дамуының алғашқы сатысында сондай-ақ жеке адамның және барлық адам баласының өмірінде математикалық шындықтарды танып 
 
білудің бірден-бір жолы бақылау мен тәжірибе, бір сөзбен айтқанда индукция болған. 2 мен 3-тің қосындысы 5 болатынын, екі нүктенің арасындағы ең жақын арақашықтық түзу екенін адамдар күнделікті бақылау арқылы білген. Миллион рет қайталанған тәжірибелермен көрген білгендерінен келіп, адамдарда оймен орындау қабілеті пайда болады.

 

3. Толық индукция

 
 
Барлық дербес жағдайларды қарастыра келіп шығарылған жеке-жеке қорытындыларды пайдаланып жалпы бір қорытынды жасауды толық индукция дейді. 
 
Егер жағдайлар саны шектеулі болып, олардың барлығын толық қарастырсақ, онда одан толық индукциямен жасалған қорытындының негізі бар деп есептейміз. Мысалы, 10-ға дейінгі жай сандарды 1=1; 2=1*2; 3=3*1; 4=1*4=2*2; 5=1*5; 6=1*6=2*3; 7=1*7; 8=1*8=2*2*2; 9=1*9=3*3; 10=1*10=2*5. 
 
Қорытынды 10-ға дейінгі сандардың ішінде 4 жай сан бар, қосымша дәлелдеуді қажет етпейді. 
 
Сонымен толық индукциямен жасалған қорытынды әркез ақиқат болады, сондықтан толық индукция ғылыми дәлелдеу әдісі болып табылады. 
 
Жеке жағдайлар шексіз көп болғанда, онда толық индукция емес толымсыз индукция қолданылады да, қорытындысының дұрыстығы математикалық индукциямен тексеріледі немесе математикалық индукция қолданылады. 
 
Көбінесе, математикада дербес жағдайлары өте көп болатындықтан, олардың барлығын қарастырудың мүмкіншілігі бола бермейді. Сондықтан толық индукцияда сирек қолданылады. Бірақ оның есесіне толық индукцияны қолдану мүмкіндігі болған жерде, ол арқылы жасалған қорытынды әрқашан дұрыс болады. 
 
Егер шексіз көп дербес жағдайлар жиынын өзара байланыссыз бөліктерден тұратан шектеулі жиындарға бөлу мүмкіндігі болса, онда ол дербес жағдайлар толық индукциямен дәлелденеді. 
 
Іштей сызылған бұрышты өлшеу туралы оқығанда негізінен 3 түрлі жағдайды қарастырамыз. 
 
а) Іштей сызылған бұрыштың бір қабырғасы шеңбер диаметрі болады.  
 
 
б) Шеңбер диаметрі бұрыштың ішкі облысында жатады. 
 
 
в) Шеңбер диаметрі бұрыштан тыс жатады – бұларды дәлелдеуге толық индукция қолданылады. Бұл арада теореманы толық индукциямен дәлелденген деп аталады. 
 
 
Мысалы, «Натурал санның квадраты 2 мен аяқталады». 

Санның соңғы цифры	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
		1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

 
 
Индукциялық ой қорыту объектілердің арасында себепті байланыстар орнатады. Бақылау мен эксперименттің нәтижесінде объектілер арасында белгілі қатынастармен байланыстар орнатылады. Бұларға жасалатын индукциялық ой қорыту – белгіліден белгісізге көшу процесін ықтималдығы белгілі мөлшердегі ақиқат пікір деуге болады. Соңғы мысалдардан бұл индукцияны зерттеу индукциясы деп аталады. 
 
Оқыту процесінде бұл әдіс ұғымдардың немесе пікірлердің арасында белгілі бір логикалық байланыс орнату үшін қолданылады. 
 
Математиканы оқытуда бұл әдіс әр түрлі формада кездеседі (ұғымдар немесе ой арасындағы логикалық байланыс орнатуға, қабылданған математикалық анықтамалардың дәлелді әдістері ретінде, нақты тақырыпты оқыту тәсілі ретінде қолданылады).

 

4. Дедукция

 
 
Дедукция (латынша deductio – бір жола шығару). Бір жалпы пікірден және бір дербес пікірден жаңа барынша жалпы немесе дербес пікірге көшуді дедукция деп атаймыз.

а) Барлық аттас дұрыс көпбұрыштар ұқсас (1-пікір).

б) Берілген дұрыс көпбұрыштар аттас (2-пікір).

в) Берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас болады (жаңа пікір – қорытынды).

Осы жағдайлардан жаңа қорытынды шығарайық. 
 
[Пікірлер логикасында қорытылған жаңа пікірді] алғы шарт деп атайды. 
 
[Олардан қорытылған жаңа пікірді ой қорыту деп атайды]. 
 
1-мысалда жалпы сөз тіркесі 40Д, екіншісінде «Дұрыс аттас көпбұрыштар». 
 
Дедукцияның мәні берілген дербес жағдайды жалпы жағдайдан шығару болып табылады. 
 
Дедуктивтік ойлаудың дұрыстығы алғашқы екі тұжырымға тәуелді. Егер екі тұжырым дұрыс болса және дұрыс қорытынды шығарылса, онда қорытындысы да ешбір талассыз дұрыс. 

Дедуктивтік ой қорытудың келесі түрлері болуы мүмкін:

1. Барынша жалпы жағдайдан ой қорытудан барынша дербес жеке жағдайдағы ой қорытуға көшу. Жоғарыдағы НОД (а,в)-қа байланысты мысал осы түрдегі дедукцияны білдіреді.
2. Жалпы жағдайдағы ой қорытудан жалпы жағдайға көшу.

Мәселен. Барлық жұп сандар 2-ге бөлінеді. Барлық тақ сандар 2-ге бөлінбейді. Ешбір жұп сан мезгілде тақ сан бола алмайды. 

3. Жеке пікірден дербес пікірге көше отырып ой қорыту.

Мәселен. 2 саны – жай сан. 
 
2 саны – натурал сан. 
 
 
Кейбір натурал сан жай сан болып табылады 
 
 
Математикалық ой қорытулар көбінесе дедуктивті болады. Қысқаша айту мақсатында кейбір тұжырымдар қалдырылады:  
 
Мәселен. Берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас, себебі олар аттас. 
 
Математика дедуктивті ғылым. Шынында да математикалық пәнді қатаң баяндағанда негізгі ұғымдар мен олардың өзара қатысы, байланысы орнатылады (олар белгілі ұғымдар мен олардың қатынасы арқылы анықталады), бұдан соң бұл ұғымдар мен қатыстарды байланыстыратын аксиомалар жүйесі құрастырылады. 
 
Негізгі ұғымдар мен қатыстар аксиомалар жүйесінің негізінде жаңа ұғым пайда болады, тікелей ой қорыту ережесі пікір мен оның салдары логикалық реттілікпен баяндалады. 
 
Теореманы дедуктивтік тұрғыдан дәлелдеу жүргізілген қадамның тек логикалық реттілігі болып қана қоймай, бұрыннан белгілерге сүйеніп сонымен бірге әрбір қадамның, тұжырымның дұрыстығын дәлелдеу болып табылады. Бір теореманы дәлелдеу арқылы бұрын айтылғандарды түсіндірелік: 
 
 
Шарты:   теңбүйірлі? Қорытынды:  . Дедукция процесі математикалық логиканың тілінде қатаң түрде өрнектеледі. Дедукция белгілі бір ережелердің нәтижесінде бейнелейді. 
 
Зерттеу әдісі ретінде объектілер арасындағы ортақ қасиеттермен байланыстарды табу арқылы сипатталады, объектілер класының нақты қасиеттері туралы пікір айтуға мүмкіндік береді. 
 
Мысалы, квадраттың қасиетін қарастыра отырып, оның ең алдымен ромб екенін білеміз. Сонымен ромбыға тән қасиет квадратқа да тән екен. (Квадраттың диагоналдары өзара ?). 
 
 
Дедукция арқылы оқулық материалын баяндаудың ерекше формасы, ол материалды жалпы түрден жекеше түрге көше отырып баяндау әдісі. Мысалы,  -тың ұқсастығы қасиетін дедукцияның көмегімен геометриялық есептер шешуге қолданамыз. 
 
Математикалық даму процесінде индукция мен дедукция бір-бірінен өзгешеленбейді. (Бір-бірінен айырмашылығы жоқ).  
 
2+7=7+2=9 бұдан a+b=b+a бұл индукция, бұл заңды жеңілдету үшін 1+42=42+1=43. Оқушылар дедукциялық әдіс қолданады. Математикалық сөйлемдерді баяндауда жетілдірілген индукция деген атпен индукция мен дедукция тығыз байланысты түрде жиі кездеседі.

5. Жетілдірілген индукция әдісі