Математикалық индукция әдісі

Индукциялық жолмен алынған қорытындыны логикалық жолмен негіздеу қажеттігі туғанда әдетте жетілдірілген индукция қолданылады. 
 
Толық математикалық индукция белгілі фактіге қолданылғанда келесі түрде біртіндеп қолданылады.

1. Бақылау мен тәжірибе;
2. Гипотеза;
3. Гипотезаны дәлелдеу.

Математикалық индукция принципінің мәнісі төмендегідей: егер қайсыбір тұжырым (формула) n=1 болғанда (немесе бұл ұйғарымның мағынасы бар n-нің басқа мәндерінде) ақиқат болса және n=k қандай бір натурал мәні үшін ақиқат деп ұйғарылуынан келесі натурал n=k+1 үшін де тұжырымның ақиқаттығы шығатын болса, онда тұжырым n-нің барлық натурал мәнінде ақиқат. Математикалық индукция принципін қолдануға негізделген дәлелдеу әдісі математикалық индукция әдісі деп аталады.

Математикалық индукция әдісімен дәледеу тәсілі төмендегі келесі кезеңдерден тұрады:

1. n=1 болғанда тұжырымның (формуланың) ақиқаттағы тікелей тексеріледі немесе дәлелденеді;
2. қайсыбір натурал n=k үшін тұжырым ақиқат, тура деп ұйғарылып, тұжырымның ақиқаттағы n=k+1 үшін дәлелденеді. Математикалық индукция әдісін, натурал n-ге тәуелді тұжырымдарды дәлелдеуге ғана қолдануға болатыны айқын.

Негізінен ол есептің екі түрін шешуге қолданылады:

1. жекелеген бақылаулардан ой түйіп , кейбір заңдылықты тағайындайды және одан кейін оның дұрыстығын математикалық индукция әдісімен дәлелдейді;
2. кейбір формулалардың ақиқаттығын математикалық индукция әдісімен дәлелдейді.

 

 

6. Натурал сандар арифметикасының негізгі теоремасы

Математикалық индукция әдісінің көмегімен натурал сандардың бөлінгіштігіне қатысты тұжырымдарды дәлелдеуге болады. Мысалы, натурал сандар арифметикасының негізгі теоремасын дәлелдейік. 
 
^ Теорема: Бірден артық кез-келген n натурал сан─ жай сан не әр түрлі жіктелуіндегі өзгешелігі көбейткіштердің тұрған орнында ғана болатын көбейтінді түрінде жазылады. 
 
Дәлелдеу: 
 
Біз ең алдымен жай көбейткіштерге жіктеудің бар болатынын көрсетелік. n=2, бұл жай сан. Біз айтқан тұжырым дұрыс. 
 
k санына кез-келген n саны не жай немесе жай көбейткіштерге жіктелетін құрама сан. k санының өзі не жай сан, не жай көбейткіштерге жіктелетінін көрсетелік. Егер k жай сан болса, онда айтылған тұжырым дұрыс. Егер k- құрама сан болса, онда k=ab, мұндағы a және b сандары k- дан кем натурал сандар. Ұйғарым бойынша бұлар жай көбейткіштерге жіктеледі. Бұл a, b сандарын өздерінің жіктелулерімен алмастырсақ, k санының жай көбейткіштерге жіктелуін аламыз. 
 
Сонымен, n=2 болғанда жай көбейткіштерге жіктелу туралы теореманың бар болатыны ақиқат, ал бұдан k санынан кем барлық натурал сан жіктеледі деген қорытындыға келеміз. Демек, бұл пікір k саны үшін де ақиқат деп аламыз. Демек, бұл пікір бірден артық кез келген натурал сан үшін ақиқат. 
 
Енді көбейткіштерге жіктелудің біреу-ақ болатынын көрсетелік. Ол үшін бізге жай сандардың келесі қасиеті қажет болады. Егер n натурал саны р жай санына бөлінсе, онда n санының кез келген жай көбейткіштерге жіктелуінде бір көбейткіш р болады. Шынында да n саны р-ға бөлінсе және n=q1... qm, q1, q2,..., qm – жай сандар, онда жай сандардың қасиеті бойынша q1, q2,..., qm – сандардың бірі, мысалы, q1 саны р – ға бөлінуге тиіс. q1-жай сан, онда ол р -мен бірдей болуы керек. n=2 болғанда 2 жай санын аламыз, мұның басқа жай көбейткіштерге жіктелуі болмайды. 
 
k санынан кем барлық натурал сандар бір ғана түрде жай көбейткіштерге жіктелсін. Бұл жағдайда жіктелудің біреуі ғана болатыны туралы теорема ақиқат. Егерk құрама сан болса, онда ол k – дан өзгеше ең болмағанда бір р санына бөлінеді.  
 
Басқа сөбен айтқанда k санының кез келген жай көбейткіштерге жіктелуі k= р*q2…qm түрінде болады. Мұндағы q2…qm – көбейтіндісі   санының жай көбейткіштерге жіктелуі –саны бірден артық k – дан кем натурал сан болғандықтан ұйғарым бойынша оның жай көбейткіштерге жіктелуі бір ғана түрде болады. Математикалық индукция әдісі бойынша тұжырым дәлелденді. 
 
 
Келесі тұжырымды математикалық индукция әдісімен дәлелделік. 
 
Егер n натурал сан болса, онда n²- n саны жұп. Дәлелдеу. n=1 болса, онда тұжырым ақиқат. Өйткені 1²-1=0 – жұп сан. Енді k²- k жұп сан болса. Сондай-ақ(k+1)²-( k+1)= 2k – жұп сан, ендеше (k+1)2-(k+1) жұп сан. Сонымен, n²- n айырмасының жұптылығы n=1 үшін дәлелдедік, k²- k жұптылығын (k+1)2-(k+1)-жұп екені қорытылды. Демек, n²- n айырмасы n санының барлық натурал мәнінде жұп. 
 
Дәл осы сияқты n³ -n айырмасы 3-ке бөлінеді. Ол үшін ((k+1)³- (k+1))- (k³-k) = 3k³+3k санының 3-ке бөлінетінін пайдаланамыз. 
 
Қарастырған мысалдардан nm- n айырмасы әрқашан m-ге бөлінеді деп тұжырым жасаймыз. Мысалы m=4, n=3 болғанда. 34-3=78 саны 4-ке бөлінеді. Егер m=5 болса nm- n айырмасы 5-ке бөлінеді. Сонымен, біз қарастырған мысалдарда 2,3,5 жай сандар, сондықтан жоғарыдағы гипотезаны дәлірек тұжырымдайық. 
 
Егер р жай сан болса, ал n кез келген бүтін сан болса онда np- n өрнегі р-ға бөлінеді, мұндағы р-жай сан. Бұл тұжырым Ферманың кіші теоремасы деп аталады.n саны р-ге бөлінетін болса, теореманың дұрыстығы бірден көрініп тұр. 
 
np-n=n(np-1-1) 
 
Tеңдіктің оң жағындағы n саны р-ге бөлінетіндіктен көбейтінді р-ге бөлінеді.

 

 

7. Индукцияны қолданып есептер шығару

 
Математикалық индукция әдісі, ұсынылған пікірдің не тұжырымның ақиқаттығын дәлелдеуге көмектесетін әдіс. Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу екі кезеңнен тұрады.  
 
1) Натурал сан n=1 болғанда (немесе бұл тұжырымның мағынасы болатын n-нің басқа мәндерінде) дұрыс болса  
 
2) n=k (к >1) қандай бір натурал мәні үшін ақиқат деп ұйғарып, келесі n=k+1 үшін де ақиқат болса, онда тұжырым n- нің барлық натурал мәндері үшін ақиқат болады.  
 
Математикалық индукция әдісі натурал n- ге тәуелді тұжырымдарды дәлелдеуге қолданылады. 
 
1- есеп. Тақ натурал сандар үшін 1+3+5+...+ (2n-1) = n² болатындығын дәлелдеу керек

1.  
   n = 1 болса S(1) = 1²
2.  
   n = k үшін формула S(n) = n² орынды деп ұйғарып, n = k+1 үшін орынды болатындығын S(k+1) = (k+1)² дәлелдейік.

 
S(k+1) = 1+3+5+...+ (2k-1) + (2k+1) = S(k) + (2k+1) = k²+2k+1 = (k+1)² яғни S(k+1) = (k+1)² орынды екендігі дәлелденді. Сондықтан барлық натурал n сандар үшін орынды. 
 
2- есеп. Натурал сандардың алғашқы n мүшелерінің квадраттарының қосындысы үшін 1²+2²+3²+4² +...+ n² =  теңдігінің орындалатындығын дәлелдеу керек.

1. S(1)= 1=1²=1 n=1 үшін орынды.
2. n=k үшін орынды деп ұйғарамызда, 
   n=k+1 үшін дәлелдейік. 

 
S(k+1) = 1² +2² +3² + 4² +...+k² +(k+1)² = S(k) + (k+1)² =  +(k+1)² = = =   =  мұнан біз n=k+1 үшін формула орынды екендігін дәлелдедік, ендеше кез – келген  
 
натурал n үшін формула орынды.

 

3-есеп. Кез- келген натурал n үшін мына теңдіктің орынды екендігін дәлелдейік  
 
1+3+6+10+...+   = 

 

1. n=1 онда, 1=   орынды.
2. n=k  үшін орынды деп ұйғарамызда,

 n=k+1 үшін дәлелдейік.

 
1+3+6+...+  + =S(k)+   =  
 
=  +   =   =  = 
 
=   формула n=k+1 үшін орынды. Онда теңдік кез- келген натурал сан үшінде орынды.

 

4-есеп. Tеңдіктің тура екендігін дәлелдеу керек. 
 
+ + +...+ =   
 
1) n=1 үшін  =  орынды. 
 
2) n=k үшін орынды деп ұйғарып, 
 
n=k+1 үшін дәлелдейік 
 
+ + +...+  +  = + = 
          
=  =  =  =   n =k+1 үшін дәлелденді, олай болса теңдік кез – келген натурал n үшін орынды.

 

5-есеп. Кез – келген натурал n >3 үшін   +  +   +…+  <   теңсіздігінің 
 
орынды екендігін дәлелдеу керек. 
 
1) n=4 1+  +   +   = 1+   =   <  ; 
 
2) n=k үшін орынды деп алып,  
 
n=k+1 үшін дәлелдейміз 
 
+ +  +...+  + <   +  = 2-   +  =  - + - 
 
- + =  + ( -  ) <   ; себебі  - < 0  
 
n=k+1 үшін теңсіздік орынды. Сондықтан кез-келген натурал n>3 орынды болады. 
 

6-есеп. 4n+15n-1 өрнегі натурал n 1 болғанда 9- ға бөлінетіндігін дәлелдейік.

1. n=1 болғанда, 41+15 1-1=18 9-ға бөлінеді.
2. n=k болғанда 4k+15k-1 өрнегі 9-ға бөлінеді деп ұйғарып,

n=k+1 үшін 9-ға бөлінетіндігін  дәлелдейік.

4k+1+15(k+1)-1=4k 4+15k+15-1+45k-45k-3+3=(4k 4+60k-4)-45k+18= 
 
=4(4k+15k-1)-9(5k-2) мұндағы 4(4k+15k-1) де, 9(5k-2) де 9- ға бөлінеді, онда n 1 кез- келген натурал сан болғанда берілген өрнек 9- ға еселік болады.

 

 

 

Қорытынды

Жұмысты зерттеу барысында теорема, анықтамалар, мысалдар пайдаланылды.

Зерттеу барысында келесідегідей тақырыптарға жіктеп қарастырылды: 

• Индукция пайда болуының әр түрлі формалары.
• Толымсыз индукция.
• Толық индукция.
• Дедукция.
• Жетілдірілген индукция әдісі (математикалық индукция).
• Натурал сандар арифметикасының негізгі теоремасы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пайдаланған әдебиеттер тізімі 

1. Қазақ энциклопедиясы 7-том.
2. И.С.Петраков: «Математические кружки в 8-10 классах» - Москва «Просвещение» 1987.
3. И.С.Петраков: «математические олимпиады школьников» - Москва «Просвещение» 1982.
4. «Математикалық ойашар», «Қазақ энциклопедиясы» Алматы, 2009 ISBN 9965-893-25-X
5. Л. ГЕНКИН : «О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ»
6. С.И.Туманов: «Элементарная алгебра». Москва. 1960
7. А.И. Маркушевич, К.П.Сикорский,Р.С.Черкасов : «Алгебра и элементарные функций»
8. Т.А. Алдамұратова : «Математика 5»−Алматы: Атамұра, 2001. 
9. А. Көбесов : «Математика тарихы» – Алматы: Қазақ Университеті,
10. Интернет желісі.