Матричное исчисление и его приложения к решению систем линейных уравнений

 

 

 

 

 

Часть 1

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

 

Глава 1

Матричное исчисление и его приложения

к решению систем линейных уравнений

    

           Теория  линейных уравнений исторически  была первым разделом линейной  алгебры. В связи с изучением  систем линейных уравнений появилось понятие матрицы. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры. Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются  в теории линейных уравнений, а также в других разделах современной математики, в механике и электротехнике.

 

1.1. Пример решения  системы методом Гаусса

     Пусть требуется решить  систему трех уравнений  с  тремя неизвестными:

(1.1)

     Будем последовательно  “исключать” неизвестные. Для  этого первое уравнение системы оставим без изменений, а второе и третье преобразуем:

        1) ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на –2, и приведем его к виду  –3x₂ –2x₃  = –2;

         2) к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на – 4, и приведем его к виду –3x₂ – 4x₃ = 2.

     В результате из  второго и третьего уравнений  будет исключено неизвестное x₁ и система примет вид

 

   

      Второе и третье уравнения системы умножим на  –1, получим

 

     Коэффициент 1 в первом  уравнении при первом неизвестном х₁ называется ведущим элементом первого шага исключения.

     На втором шаге  первое и второе уравнения  остаются без изменений, а к третьему уравнению применим тот же способ исключения переменной x₂. Ведущим элементом второго шага является коэффициент 3. К третьему уравнению прибавим второе, умноженное на –1, тогда система преобразуется к виду     

 

(1.2)

   

      Процесс приведения системы (1.1) к виду (1.2) называются прямым ходом метода Гаусса.

     Порядок действий  решения системы (1.2) называется обратным ходом. Из последнего уравнения получим х₃= –2. Подставляя это значение во второе уравнение, получим х₂ = 2. После этого первое уравнение дает х₁ = 1. Таким образом, - решение системы (1.1).

 

1.2. Понятие матрицы

     Рассмотрим величины, входящие в систему (1.1). Набор  из девяти числовых коэффициентов,  стоящих в уравнениях  перед  неизвестными, образует таблицу чисел, которая называется матрицей:

А = .

(1.3)

      Числа таблицы  называются элементами матрицы. Элементы образуют строки и столбцы матрицы. Количество строк и количество столбцов образуют  размерность матрицы. Матрица А имеет размерность 3´3 (“три на три”), причем первое число указывает количество строк, а второе – столбцов. Часто матрицу обозначают, указывая ее размерность А_(3´3). Так как число строк и столбцов в матрице А одинаково, матрица называется квадратной. Количество строк (и столбцов) в квадратной матрице называется ее порядком, поэтому А – матрица третьего порядка.

     Правые части уравнений,  также образуют таблицу чисел,  т.е. матрицу:

B(3´1) = .

(1.4)

       Каждая строка  этой матрицы образована единственным  элементом, поэтому B_(3´1)  называется матрицей–столбцом, ее размерность 3´1. Набор неизвестных также можно представить как матрицу-столбец:

Х(3´1) = .

(1.5)

        

1.3. Умножение квадратной  матрицы на матрицу-столбец     

     С матрицами можно  производить различные операции, которые будут подробно рассмотрены в дальнейшем. Здесь же разберем только правило умножения квадратной матрицы на матрицу-столбец. По определению, результатом умножения матрицы А_(3´3) на столбец В_(3´1) является столбец D_(3´1), элементы которого равны суммам произведений элементов строк матрицы А на элементы столбца В:

    

	(1.6)

    

Таким образом, по определению:

     1) первый элемент столбца D равен сумме произведений элементов первой строки матрицы А на элементы столбца В:

 

         2) второй элемент столбца D равен сумме произведений элементов второй строки матрицы А на элементы столбца В:

 

         3) третий элемент столбца D равен сумме произведений элементов третьей строки матрицы А на элементы столбца В:

 

     Из приведенных формул  видно, что умножить матрицу  на столбец В можно только в случае, если число столбцов матрицы А равно числу элементов в столбце В.

     Рассмотрим еще два  числовых примера умножения матрицы _(3´3) на столбец _(3´1):

Пример 1.1

АВ = .

Пример 1.2

АВ  = .

 

1.4. Матричная форма  записи системы

линейных уравнений 

      Вернемся к системе (1.1).

с матрицей коэффициентов А столбцом неизвестных Х и столбцом свободных членов В:

 

А = ;  Х = ; В = .

     Умножим матрицу А на столбец Х. Используя введенное правило умножения матрицы на столбец, получим

A×X = × = = .

     Из системы уравнений  (1.1) следует, что первый элемент  полученного столбца равен –1, второй равен –4, а третий равен –2. Матрицы, имеющие одинаковые размерности и равные элементы, по определению, считаются равными матрицами. Учитывая это определение равенства матриц, можем записать

  = .

Отсюда следует, что систему (1.1) можно записать в виде

 

× = , 

 

или, с учетом обозначения матриц, в виде

 

A×X  = В.

(1.7)

   

     Запись системы  в виде (1.7) называется матричной формой записи системы линейных уравнений.

 

1.5. Матричные обозначения  в методе Гаусса 

     В разд.1.1 был разобран  пример решения системы уравнений  методом Гаусса. Обычно исключение  неизвестных проводится обращением в ноль элементов матрицы системы и приведением ее к “треугольному” виду.

Пример 1.3

   

     Решить систему уравнений

Решение 

     Выпишем матрицу системы и через разделительные черточки припишем к ней столбец правых частей уравнений.

.

     Такая матрица называется расширенной матрицей системы.

     Со строками и столбцами расширенной матрицы можно производить преобразования, которые равносильны сложению уравнений системы, перестановке местами слагаемых в уравнениях и другим действиям, преобразующим данную систему к эквивалентной. Такими преобразованиями являются:

     1) перестановка местами  строк матрицы (эквивалентно перестановке местами уравнений системы);

     2) перестановка местами  столбцов “левой части” матрицы  (эквивалентно перестановке слагаемых  в уравнениях);

     3) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на число, неравное нулю (эквивалентно умножению уравнения на некоторое число);

     4) прибавление к элементам  некоторой строки соответствующих элементов другой строки (эквивалентно сложению двух уравнений системы).

     Рассмотрим последовательность  применения этих операций.

     1. Процесс исключения  удобно начать, когда ведущим элементом  является единица. Для этого поменяем местами вторую строку с первой:

 

.

     2. Оставляя первую  строку без изменений, к элементам второй строки прибавим элементы первой строки, умноженные на –3, а к элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на  – 4, расширенная матрица преобразуется к виду:

.

     3. Ведущим элементом второго шага является –1 во второй строке и втором столбце. Первую и вторую строку оставим без изменений, а к третьей строке прибавим вторую строку,  умноженную на –5:

.

     4. Теперь вторую строку  умножим на –1, а третью – разделим на –11, тогда расширенная матрица будет иметь вид

,

которому  соответствует преобразованная  система уравнений:

 

    

     Последнее уравнение дает х₃ = 2; подставляя это значение во второе уравнение, получаем х₂ = 3 и, наконец, из первого уравнения находим х₁= –1.    

      Таким образом, – решение системы.

Пример 1.4

Решить систему линейных уравнений АХ = В методом Гаусса:

А= ;  В = .

  

Решение

 

     Для того чтобы на каждом шаге исключения ведущим элементом была единица, при решении этой системы производится перестановка столбцов матрицы , поэтому сверху над столбцами указываются неизвестные, содержащиеся в этом столбце:

  х₁        х₂     х₃                                             

.

     Поменяем местами первый и  второй столбцы матрицы

    х₂    х₁     х₃

.

     Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 4, а к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на  –2, получим

     х₂    х₁      х₃

.

     Поменяем местами вторую строку  с третьей

    х₂    х₁      х₃                                        

.

      К третьей строке  прибавим вторую строку, умноженную на 11, тогда расширенная матрица будет иметь вид

 

    х₂    х₁      х₃

,

которому  соответствует преобразованная  система уравнений:

 

    

      Последнее уравнение  дает х₃ = 1; подставляя это значение во второе уравнение, получаем х₁ = 3 и, наконец, из первого уравнения находим х₂ = 1. Решение системы .

 

Задачи для  самостоятельного решения

Решите системы линейных уравнений АХ = В методом Гаусса.

 

№	А	В	Х (ответы)
1.	,	,	.
2.	,	,	.
3.	,	,	.
4.	,	,	.
5.	,	,	.
6.	,	,	.

   

 

1.6. Матрицы. Основные  понятия

     В предыдущем разделе  мы изучили некоторые операции  с матрицами, рассматривая только  квадратную матрицу третьего порядка и матрицу-столбец. В общем случае матрицей размерности m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

 

А_(m´n)  = .

    

     Числа  называются элементами матрицы, первый индекс – номер строки, второй индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент .