Матричное исчисление и его приложения к решению систем линейных уравнений

Пример 1.5

;

;

 А_(1´4) = (–1   2   5   7).

     

     Во втором разделе была рассмотрена матрица-столбец. Матрица   называется матрицей-строкой.      

     Если m = n, то матрица

A_(n´n) =

называется квадратной матрицей n–ого порядка.

– квадратная матрица второго порядка,

– квадратная матрица третьего порядка.

     В квадратной матрице  диагональ, образованная элементами a₁₁, a₂₂, a₃₃, …., a_{n n} , называется главной диагональю матрицы.

     Квадратная матрица  называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю:

 

.

     Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной матрицей:

E = .

(1.8)

    

      Большой буквой в дальнейшем будем обозначать единичную матрицу.

 

1.7. Линейные операции  над матрицами 

       Матрицы можно  складывать между собой и умножать  на числа. Такие действия называются линейными операциями над матрицами.

     1. Суммой двух матриц и одинаковой размерности m´n называется матрица такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и В. Из этого определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности, т.е. матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов.

Пример 1.6

1) А+В = ;

 

2) матрицы

 

А = и В =

сложить нельзя, так как они имеют  разное количество столбцов.

    

     2. Произведением матрицы на число l называется матрица lА, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число l.

Пример 1.7

3× =

(1.8)

    

     3. Две матрицы A и одинаковой размерности m´n считаются равными, если равны их соответствующие элементы  a_ik = b_ik .

 

1.8. Умножение матриц

     В третьем разделе было изучено правило (1.6) умножения  квадратной матрицы третьего порядка на столбец. Рассмотрим теперь умножение матрицы на матрицу .  Подчеркнем, что число столбцов матрицы А, равно числу строк матрицы В. Отличие произведения А_(3´3) × В_(3´2) от формулы (1.6), рассмотренной в третьем разделе, заключается только в том, что матрица В имеет теперь два столбца, поэтому матрица D = А_(3´3)× В_(3´2) тоже имеет два столбца, т.е. столько же столбцов, сколько их в матрице В. При этом первый столбец матрицы D равен произведению матрицы А на первый столбец матрицы В, а второй столбец матрицы D – это произведение матрицы А на второй столбец матрицы В:

 

А_(3´3)× В_(3´2) = =

= .

(1.9)

      Посмотрим, как  изменится формула умножения  матриц (1.9), если в матрице А добавить еще одну строку:

 

 

А_(4´3)× В_(3´2)= =

 

 

= .

(1.10)

     Как видим, добавление  строки в матрицу А приводит к добавлению строки в матрицу D = A×B, т.е. можно записать

 

.

(1.11)

 

     Если в матрице  прибавить один столбец, то произведение такой матрицы A_(3´4) на матрицу B_(3´2) по рассмотренным выше правилам найти невозможно. В этом случае говорят, что произведение матриц не существует. Матрицу A_(3´4), имеющую четыре столбца, можно умножить только на матрицу, имеющую четыре строки, например на матрицу B_(4´2):

 

 

 

=

.    

 

     Таким образом,  .

 

     Из примера можно сделать следующие  основные выводы об умножении матриц:

    

     1) произведением некоторой  матрицы А_{(m ´ k)} на матрицу В_{(k ´ n)}   является матрица D_{(m ´ n)}= А_{(m ´ k)} × В_{(k ´ n)} . Число строк матрицы D равно числу строк матрицы А, а число столбцов матрицы D равно числу столбцов матрицы В;

     2) если число столбцов матрицы А (первого сомножителя в произведении) не равно числу строк матрицы В (второго сомножителя), то произведение таких матриц не существует;

     3) каждый столбец  матрицы D_{(m ´ n)}= А_{(m ´ k)} × В_{(k ´ n)} строится как произведение матрицы А на соответствующий столбец матрицы В.

     Из сказанного следует,  что операция умножения матриц  не обладает свойством коммутативности  (перестановочности), т.е. в общем случае АВ¹ВА. Более того, при существовании произведения АВ произведение ВА может и не существовать.

     Приведем еще несколько  примеров умножения матриц.

Пример 1.8

     Легко показать, что АЕ = ЕА = А, где А – квадратная матрица произвольного порядка, Е – единичная матрица того же порядка (см. определение и формулу (1.8)), что и матрица А. Действительно, пусть А – квадратная матрица третьего порядка, тогда

 

АЕ = =

      = =

     = = А.

 

Равенство ЕА = А доказывается аналогично.

Пример 1.9

.

Пример 1.10   

.

     В этом случае произведение  не существует, так как число  столбцов матрицы А (равно 2) не равно числу строк матрицы В (равно 3).

Пример 1.11

 А= , В = .

Найти АВ и ВА.

Решение

АВ = × =

= = ;

 

ВА = × =        

 

= = .

    Как видим, в этом  случае существуют оба произведения АВ и ВА, однако они не равны между собой.

Пример 1.12

 

× =  

= = .

 

Пример 1.13

 

× =

= =

= .

Задачи для самостоятельного решения

     Найдите произведения матриц:

 

№	Задания	Ответы
1.	× .
2.	× .
3.	× .
4.	.
5.	× .
6.	× .

 

 

 

7.	× .
8.	× .

 

1.9. Определители второго  и третьего порядков

     Рассмотрим матрицу  второго порядка А= . Определитель матрицы А называется определителем второго порядка, обозначается detA или |A| и вычисляется как разность произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали. Таким образом, по определению

 

= detA= det = = a11 a22 – a12 a21.

(1.12)

 

Определитель третьего порядка  вычисляется по правилу треугольника, которое схематически изображено ниже.

=

 

= +   + – – – =         

= a₁₁×a₂₂×a₃₃ +  a₁₂× a₂₃×a₃₁ + a₂₁ ×a₃₂ ×a₁₃ – a₃₁ ×a₂₂ ×a₁₃ – a₂₁ ×a₁₂ ×a₃₃ – a₃₂ ×a₂₃ ×a₁₁.

(1.13)

     По схеме правила  треугольника (1.13) определитель третьего порядка равен сумме произведений диагональных элементов и элементов, расположенных в вершинах треугольников. При этом произведения элементов, образующих главную диагональ и два первых треугольника, берутся со знаком плюс (т.е. со своим знаком), а произведения элементов, образующих вторую диагональ и два других треугольника – со знаком минус (т.е. с противоположным знаком).

Пример 1.14

1) = (–3)×5 – 2×(–4) = –15+8 = –7.

2) = (–1)×4×(–3)+ (–2)×0×2+3×1×5–5×4×2–3×(–2)×(–3) –

–1×0×(–1) = 12 +15 – 40 –18 = – 31.

 

1.10. Минор и алгебраическое  дополнение

     Минором некоторого элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, остающийся после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

     Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс (т.е. со своим знаком), если сумма номеров строки и столбца этого элемента – четное число и взятый со знаком минус (т.е. с противоположным знаком), если эта сумма является нечетным числом.

Выпишем алгебраические дополнения всех элементов определителя:

.

 

     Обычно алгебраическое  дополнение элемента a_mn обозначают большой буквой А_mn.

А11 =	А12 = –	А13 =
А21 = –	А22 =	А23 = –   (1.14)
А31 =	А32 = –	А33 =

     Матрица из алгебраических  дополнений 

называется присоединенной (или союзной) матрицей для матрицы

.

 

Пример 1.15

Найти алгебраическое дополнение элемента a₁₃ определителя

.

Решение

 = = 3 – 8 = –5.

 

 

1.11. Свойства определителей

     Свойство 1. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Представление определителя в виде такой суммы называется разложением определителя по элементам строки (или столбца). Например,

   –

– разложение определителя по элементам  первой строки;

 

  –

– разложение определителя по элементам  второго столбца.

     Как видим, с помощью  такого разложения вычисление  определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Пример 1.16

     Вычислить определитель

  .

Решение

Разложим определитель по элементам  первого столбца, получим

= 8× – 0× +0× = 8×(2+4) = 48.

     Свойство 2. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.

     Этим свойством можно  воспользоваться для “создания”  нулей в определителе и последующего применения свойства 1.

Пример 1.17

     Вычислить определитель

.

 

Решение    

      К элементам первого столбца прибавим соответствующие элементы второго столбца, умноженные на (–3). Так как по свойству 2 определитель не изменится, получаем

= =14× =14×29 = 406.

     Свойство 3. Если все элементы некоторой строки (или столбца) матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю. Это следует из свойства 1.

     Свойство 4. Если в матрице А строки заменить столбцами, то ее определитель не изменится:

.

     Свойство 5. При перестановке двух строк матрицы ее определитель меняет знак:

.

    

    Свойство 6. Если матрица А имеет две одинаковые строки, то detA=0.

     Доказательство следует  из свойства 1; при перестановке  двух строк матрицы знак определителя  должен измениться, но, с другой стороны, определитель должен остаться прежним, так как перестановка одинаковых строк местами не изменит матрицу. Следовательно, detA= = – detA Þ  detA=0.

   

     Свойство 7. Общий множитель элементов некоторой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

    Рассмотрим это свойство  для определителя третьего порядка.  Пусть элементы третьей строки  имеют общий множитель l. Тогда по свойству 7 выполняется равенство

 

.

 

Из этого равенства следует, что для умножения определителя на некоторое число l достаточно умножить на это число одну строку (или столбец) определителя (сравните с правилом умножения матрицы на число).

 

1.12. Решение систем  линейных уравнений

по формулам Крамера

 

     Рассмотрим систему  трех линейных уравнений с  тремя неизвестными