Матричное исчисление и его приложения к решению систем линейных уравнений

 

(1.15)

     Обозначим D определитель матрицы :  D= .  

Умножим на обе части этого равенства. По свойству 7 умножение определителя на число эквивалентно умножению его строки или столбца на это число, поэтому, умножая на х₁ первый столбец, получим равенство

  = .

Прибавим к элементам первого  столбца элементы второго столбца, умноженные на , и элементы третьего столбца, умноженные на .

По свойству 2 определитель не изменится.

D×х₁ = .

Воспользуемся системой (1.15) и элементы первого столбца полученного определителя заменим на b₁, b₂   и b₃ , тогда

D×х₁ = = D₁ .

Здесь D₁ обозначен последний определитель.

 

     Таким же образом можно получить еще два аналогичных равенства, добавляя которые к последнему равенству, получаем

D×х1 = D1 ; D×х2 = D2 ; D×х3 = D3 .

(1.16)

 

В равенствах (1.16)

D= ,    D₁ = ,   D₂= ,

D₃ = .     

     Отметим, что D –определитель матрицы , составленной из коэффициентов при неизвестных системы (1.15). Определители  D₁, D₂ , D₃ получаются заменой соответственно первого, второго или третьего столбца определителя D столбцом правых частей системы (1.15).   

     Соотношения  (1.16) называются формулами Крамера.  Из них следует, что в зависимости  от значений определителей возможны три случая:

1) D¹0, система имеет единственное решение. При этом значения неизвестных находятся из соотношений (1.16)

х1  = ;   х2  =  ;   х3  =  .

(1.17)

 

2) D = 0, а хотя бы один из определителей D₁ , D₂ или D₃ не равен нулю. В этом случае система несовместна.

 

3) D = D₁ = D₂ = D₃ =0.

Система имеет бесчисленное множество  решений.

Пример 1.18

     В качестве примера  рассмотрим применение  метода  Крамера для решения системы  двух уравнений с двумя неизвестными:

 

Решение

    

     Переставим слагаемые в первом уравнении:

Вычислим определители.

D = = –16 – 9 = –25;      D_х = = 4–54 = –50;

 

D_y = = –72 – 3 = –75.

Найдем неизвестные по формулам Крамера:

 = = = 2;   y = = = 3.

Таким образом, решение системы  (2; 3).

Пример 1.19

Решить систему     по формулам Крамера.

Решение

Вычислим определители

 –  = 15 + 1 + 9 + 10 = 35;

 

  

 

 –  = –20 + 6 – 12 + 40 = 14;

 

 –  = –120 – 4 – 18 – 40 = – 182;

 

 

 –  = 24–18 + 8 + 72 – 4 – 12 = 70.

 

Найдем неизвестные по формулам Крамера:

 

; 

  ;

Таким образом, решение системы  (0,4; –5,2; 2).

 

Задачи для  самостоятельного решения

 

Решите системы линейных уравнений по формулам Крамера.

 

№	Система уравнений	Ответы
1
2
3
4

 

 

1.13. Обратная матрица и ее  нахождение

     Квадратная матрица А, определитель которой равен нулю (detA=0) называется вырожденной. Если же detA ¹ 0, тогда матрица А называется невырожденной.

     Матрица А^–1 называется обратной к матрице А, если выполняется соотношение

 

,

(1.18)

    

     Таким образом, произведение  матрицы А на обратную к ней матрицу А^–1 равно единичной матрице Е (А^–1 – это обозначение матрицы, обратной к матрице А). Отметим, что умножение матрицы А на обратную обладает свойством коммутативности

 

,

(1.19)

 

    Можно доказать, что для  любой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица, которая находится по формуле    

А–1 = .

(1.20)

     В формуле (1.20)  D = det(А) ¹0, элементы А₁₁ ,  А₁₂ , …– алгебраические дополнения к соответствующим элементам а₁₁ , а₁₂ , …матрицы А.

Пример 1.20

Найти матрицу  , обратную к матрице А= .

Решение

Для нахождения обратной матрицы А^–1  вычислим определитель

D= = 2+1=3

и алгебраические дополнения

А₁₁  =   1 ,            А₂₁  = 1,

А₁₂  = –1 ,           А₂₂    = 2.

После этого найдем

А^–1 = = .

 

     Покажем, что для найденной матрицы выполняется условие

:

 

.

      

Пример 1.21    

     Рассмотрим  еще один пример нахождения  обратной матрицы для матрицы третьего порядка:

А = .

Решение

Вычислим определитель:

D= =1×(–1)×0+1×(–6)×3+2×(–2)×1 – 1×(–1)×3–1×2×0–

– (–6)×(–2)×1= –18 – 4 + 3 –12 = –31.

Вычислим алгебраические дополнения соответствующих элементов:

А11 =   = –12;	А21 = – = –2;	А31 =   = –5;
А12 = –    = –18;	А22 =       = –3;	А32 = –   =   8;
А13 =      =   –1;	А23 = – =   5;	А33 =      = –3.

Составим обратную матрицу:

 

А^–1 = = .

 

Покажем, что  .

 

× =

       

  = =

 

= = = Е.

 

1.14. Решение систем  с помощью обратной матрицы

 

     Рассмотрим систему  трех линейных уравнений с  тремя неизвестными (1.15):

 

или в матричной записи

 

.

(1.21)

    

     Если  А – невырожденная матрица (det A¹0), то система (1.15) совместна и имеет единственное решение. Умножая обе части равенства (1.21) слева на матрицу А^–1, обратную к матрице А, получаем

 

Х = А–1 B.

(1.22)

 

Пример 1.22

   

 Решить систему  уравнений с помощью обратной  матрицы:

 

Решение

А = .

Обратная матрица найдена  в примере 1.21 и имеет вид

А^–1 = .

По формуле (1.22) получаем

Х = × = =

= = .

Таким образом, решение  системы: (2; –1; 1).

   

     Покажем, что если D= detA¹0, то формулы Крамера (1.16) могут быть получены из формулы (1.21). Действительно, из выражений (1.22) и (1.20) и (1.14) последовательно получаем

 

.

 

 

 

;

 

 

 

 

  ;

 

 

 

.

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Решите системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

 

№	А	В	Х (ответы)
1)
2)
3)
4)
5)
6)

 

.

 

   

.