Методика изучения уравнений в начальных классах

На предыдущих уроках среди  высказываний учащимся встречались  и числовые равенства и неравенства, но тогда они так не назывались. Дети знают, что высказывания бывают верными и неверными. Числовые равенства  и неравенства – это тоже высказывания, и поэтому они могут быть как  верными, так и неверными.

Затем дети знакомятся со свойствами равенств и неравенств. Изучая этот материал, учащиеся познакомятся с  простейшими свойствами равенств: равенство  не нарушится (сохранится), если:

- к обеим частям прибавить  одно и то же число;

- из обеих его частей  вычесть одно и то же число;

- обе его части умножить  или разделить на одно и  то же число. 

Эти свойства дают возможность  упрощать некоторые числовые равенства, легко решать многие уравнения. Так, например, решая уравнение х+361=482+361, ученик просто вычитает из обеих частей число 361. получается: х=482. Корень уравнения очевиден – это число 482.

После темы «Свойства равенств и неравенств» следует тема «Предложение с переменной». Ознакомление с данным понятием поможет подготовить учащихся к введению понятию «уравнение», которое мы определим как равенство  с переменной.

Изучая материал «Уравнение и его корень», третьеклассники  знакомятся с определением уравнения. Однако бывают ситуации, когда дети, запомнив формулировку определения, тем  не менее, считают уравнениями и  иные записи, содержащие знак равенства  или переменную: 5+7=12, х:4, х>5, не являются уравнениями. Поэтому советуем организовать более тщательную работу с определением уравнения, добиться, в конечном счете, того, чтобы учащиеся научились отличать уравнения от других математических понятий. Учащиеся должны понять, что каждый раз надо проверять два условия:

1) является ли запись  равенством;

2) есть ли в ней переменная.

После того как дети усвоили  общее об уравнении и его корне, предлагается познакомить детей  с частными примерами, то есть с уравнениями  вида х±6=9, х×3=27, х:6=5.

Учащиеся знакомятся с  новым способом решения уравнений, основанном на использовании игры «в машину». В процессе выполнения многочисленных упражнений дети научились:

выполнять рисунок, иллюстрирующий работу «машин», описанную равенствами;

находить число, введённое  в «машину», изображая «машину», обратную данной, а также применяя правила разностного или краткого сравнения чисел, определять на сколько  умножает или на сколько делит.

Подробное изучение алгебраических понятий: равенство, неравенство, уравнение  в третьем классе создает условия  для закрепления данного материала  в четвертом классе. Так, например, очень часто предлагаются темы на частные случаи, то есть конкретизируются отдельные элементы алгебры.         Но главной особенностью, которую  отмечает Рудницкая, является связь  арифметического и алгебраического  материала [12, с. 55].

2.4 Элементы  алгебры по системе Л.В. Занкова

 

Мы изучили и проследили формирование у младших школьников понятий равенство, неравенство, уравнение  по системе Занкова. Элементы алгебры  в начальной школе вводятся с  первого класса.

С первых уроков дети знакомятся с соотношениями между числами, происходящими в процессе установления взаимно однозначного соответствия между элементами множеств. Достаточно длительное время установленные  соотношения фиксируются только в устной речи, но как только дети овладевают написанием первых цифр и, тем самым получают возможность  записывать некоторые числа, появляется и более широкая возможность  – записывать установленные между  ними отношения.

Детям предлагается задание, в котором происходит знакомство со знаком равенства (=) и термином «равенство», которое постепенно начинает вытеснять  использовавшееся до него слово «столько же»; далее идет задание, в котором  вводятся знаки больше (>), меньше (<) и термин «неравенство». 

После решения таких заданий  детям предлагается упражнение, в  котором используются все знаки  отношение. Данные знаки объединяются общим наименованием – «знаки сравнения».несмотря на то, что этот термин не является общеупотребительным, он, по нашему мнению, создает большие  удобства в формулировках заданий  и в то же время соответствует  основному правилу введения промежуточных  терминов в математике – он не противоречит ни более частным (больше, меньше, равно), ни более общему (знаки отношений) понятиям.

Так как понятия «равенство»  и «неравенство» первоначально  воспринимаются детьми как записи, в которых два числа соединены  знаком сравнения, естественно, возникает  два направления развития темы: различие этих записей на верные и неверные; переход к записям вида а ± в = с,                а ± в > < с, а ± в = с ± d, а ± в>< с ± d, а в дальнейшем и с использованием действий умножения и деления.

Понятия «неверные равенства  и равенства» первоначально появляются как результат естественно возникающих  ошибок в ответах учеников.

Для знакомства с неравенствами  вида а ± в >< с в первом классе лучше всего использовать ситуации получения ошибочных результатов при вычислении значений сумм и разностей. Например, при сложении чисел 5 и 4 ученик ошибочно получил неверное равенство 5 + 4 = 8. после выяснения того, что получившаяся запись является неверным равенством, необходимо обсудить варианты превращения этой записи в верную. Такие варианты можно получить, последовательно меняя в ней разные знаки, в результате чего можно получить три верных равенства (4 + 4 = 8, 5+ 3 = 8, 5 + 4 = 9) и верное неравенство (5 + 4 > 8).

Более подробно такие неравенства  рассматриваются во 2 – 4 классах. Это  же относится и к более сложным  случаям неравенств.

Естественным развитием  работы с верными и неверными  равенствами является знакомство с  уравнениями – равенствами, содержащими  переменную величину, в зависимости, от значения которой равенство становится верным или неверным.

Основная причина введения в программу знакомства с уравнениями  – стремление помочь ученикам глубже осознать связь между обратными  действиями (сначала между сложением  и вычитанием, в дальнейшем между  умножением и делением).

Первое знакомство с уравнениями  происходит в упражнении, где на основе решения представленной жизненной  ситуации дети получают первое уравнение  и знакомятся с определением этого  понятия.

Далее идет задание, посвященное  первому способу решения уравнений  – способу подбора. В нем же дети получают первоначальные представления  о смысле решения уравнений.

В последующих классах  это представление уточняется за счет рассмотрения уравнений, не имеющих  решения или имеющих несколько  решений.

На примере уравнений  вида а + х = в дети, выполняя задания  учебника последовательно знакомятся со следующими способами их решения:

-на основе использования движения по натуральному ряду чисел;

-при помощи таблицы сложения.

Последний из перечисленных  способов позволяет рассмотреть  два разных варианта использования  таблицы сложения. Каждый из них  начинается с подбора равенства  таблицы, в котором с уравнением совпадают значение суммы и известное  слагаемое. Затем рассуждение может  строиться по-разному.

 В одном случае оно  такое: если в равенствах равны  значения сумм и обно слагаемое,  то будут равны и второе  слагаемое.

Во втором случае ученик рассуждает так: если из значения суммы  вычесть одно слагаемое, получится  другое слагаемое.

Именно это рассуждение  отражает основной для начальной  школы способ решения уравнений  – на основе взаимосвязи между  обратными действиями и их компонентами.

Если решению уравнений  с неизвестным слагаемым в  учебнике уделяется достаточно большое  внимание, то с уравнениями, в которых  неизвестным числом является уменьшаемое  или вычитаемое, дети только знакомятся.

Продумывая развитие темы «Уравнения» в первом классе, важно  понимать, что главной целью работы является не овладение умением решать уравнения, а получение первого  представления об этих особых равенствах и о смысле их решения. Поэтому  едва ли есть необходимость предлагать ученикам большое количество дополнительных заданий по решению уравнений.

В заданиях, посвященных  уравнениям, наряду с термином «значение  неизвестного» употребляется и  термин «корень уравнения». Эти термины  дети постепенно должны привыкнуть употреблять  как синонимы.

На более поздних этапах обучения второй термин займет первенствующее положение и станет основным, хотя и не вытеснит полностью другой.

Во втором классе продолжается знакомство с равенствами и неравенствами, с решением неравенств и уравнений;

Расширение знаний об уравнениях и их решении происходит в основном в связи с изучением новых  действий – умножения и деления, а, следовательно, появления уравнений, в которых неизвестным является один из множителей, делимое и делитель. Рассматриваются и аналогичные  им неравенства.

Основная цель работы с  уравнениями во втором классе не изменяется – это углубление понимания связи  между взаимно обратными действиями.

Задания, связанные с уравнениями  и неравенствами, сосредоточены  в тетрадях на печатной основе.

В отличие от первых двух лет обучения, в программе которых  вопросы, относящиеся к элементам  алгебры, занимают незначительное место, в третьем классе они представлены значительно шире. Это, с одной  стороны, продолжение знакомства с  уравнениями и неравенствами, с  другой стороны – начало знакомства с системами неравенств и связанными с ними двойными неравенствами.

Теме «Уравнения» уделено  особенно много внимания  и времени. В первом полугодии основным направлением является совершенствование полученных ранее знаний и умений. Этому посвящены  задания учебника, а также задания  в рабочих тетрадях.

В третьем классе учащиеся впервые сталкиваются с уравнениями, решение которых требует выполнения не одного, а большего числа преобразований. Выполнение подобного рода заданий  предполагает, что, во-первых, ученики  используют накопленные к этому  времени наблюдения за взаимосвязью между изменением компонентов сложения и вычитания и результатом  этих действий для установления отношений  между корнями рассматриваемых  уравнений, а во-вторых, попытаются найти способ решения этих уравнений  на основе использования изученных  законов и свойств действий.

Как и всегда в процессе выполнения задания ученики могут  предложить способы решения поставленной проблемы, которые требуют всестороннего  обсуждения и оценки их правильности и рациональности.

Дальнейшее изучение уравнений  влечет за собой принципиальное изменение  цели работы с уравнениями.

До этого момента основным направлением ее является углубление понимания взаимосвязи между  обратными действиями. Теперь главным  становится осознание постоянно  используемого при выполнении многих математических заданий пути – последовательного  пошагового упрощения исходного  задания за счет выполнения тождественных  преобразований.

Основным используемым приемом, позволяющим достичь поставленной цели, является сравнение уравнений, из которых одно является в каждом случае уже знакомым ученикам, а  второе (упрощения), в результате которого оно становится аналогичным первому, которое дети уже умеют решать.

Так, например, предлагаются задания, в которых сравниваются пары уравнений, первые из которых являются простыми, а вторые усложнены за счет того, что правая часть представлена не числом, а числовым выражением.

После сравнения уравнений  и выявления особенностей вторых из них по сравнению с первыми  в каждой паре основное внимание необходимо сосредоточить на вопросе: «Как сделать  так, чтобы второе уравнение каждой пары стало таким же как первое?»

Решение уравнений в таких  заданиях требует в качестве первого  шага нахождение значения этих выражений, в результате чего получаются знакомые простые уравнения.

Далее рассматриваются еще  более сложные уравнения, в которых  необходимо преобразовать обе части.

Здесь же рассматриваются  различные способы преобразования уравнений. Так, в первом из них ученики  знакомятся с упрощением, основанным на использовании распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания (по существу они выполняют  приведение подобных членов без знакомства с соответствующей терминологиейакомятся  с упрощением, основанным на исползовании распределительного закона умножения  относительно сложения и вычитания ()о ь ). Второе возвращает учеников к  проблеме использования в качестве переменной (неизвестной) величины не отдельного числа, а выражения, в  которое входит неизвестное число.

Внимание уделяется не только теме «Уравнения», но и теме «Неравенства». С понятием «неравенство»  ученики познакомились еще  в  первом классе. В течение первых двух лет обучения они овладевают умением читать и записывать неравенства  вида а > (< ) в, а ± в > (<) с и т.п., а также подбирать натуральные решения неравенств вида * > ( <) d.

На основе этих знаний в  третьем классе происходит знакомство с решением более сложных неравенств с переменной величиной; рассматривается  поиск общих решений двух простых  неравенств с одной и той же переменной (система неравенств), а  также происходит знакомство с двойными неравенствами.