Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов

Департамент по авиации

Министерства транспорта и коммуникаций Республики Беларусь

Минский государственный  высший авиационный колледж

 

 

 

Кафедра естественнонаучных дисциплин

 

КУРСОВАЯ РАБОТА (ПРОЕКТ)

 

ТЕМА: Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов

Вариант 18

 

По дисциплине  теория вероятности и математическая статистика

Специальность 1-370402-02

 

курсанта Шпудейко Евгения Сергеевича

 

 

3-го курса                                                               группы П-210

 

 

Руководитель       Нарольская А.Н.

Консультант       Рубанов И.В.

Курсант        Шпудейко Е.С.

 

 

 

Минск – 2012 г.

Департамент по авиации

Министерства транспорта и коммуникаций Республики Беларусь

Минский государственный высший авиационный  колледж

 

 

УТВЕРЖДАЮ

 Заведующий кафедрой  ЕНД 

___________Кириленко А.И. 

«____» ___________20__ г.

 

ЗАДАНИЕ

на  курсовую работу (проект)

по дисциплине теория вероятностей и математическая статистика 

курсанта третьего курса  П-210 группы

Шпудейко Евгения Сергеевича

Фамилия имя отчество

Тема курсовой работы (проекта)

Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов 

 

Вариант 18

При выполнении курсовой работы (проекта) по данной теме должны быть представлены:

1. Пояснительная записка (Введение)

2. Расчетно-графическая  часть (В работе назвать конкретно)

3. Выводы 

4. Список использованных источников

 

Руководитель

курсовой работы (проекта)  _________      Нарольская А.Н.

^{подпись}            

Консультант   ___________________      Рубанов И.В.

    ^{подпись}  

Дата выдачи  10 сентября 2012г.

Срок сдачи 10 декабря 2012г.  Подпись курсанта __________

 

Минск - 2012 г.

Оглавление

Введение………………………………………………………………………….4

1. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата.5

1.1 Вероятность катастрофы ЛА с дублирующими системами………………7

1.1.1 Структура событий вероятности  катастроф, связанных с отказом  двигателей E_KD.......................................................................................................8

1.1.2 Структура событий вероятности катастроф, связанных с отказом двигателя E_KЭ……………………………………………………………………11

1.1.3. Структура событий  вероятности катастроф, связанных  с отказом вспомогательных   подсистем Е_КС………………………………………………12

1.2 Вероятность катастрофы  ЛА  без дублирующих систем………………...14

2. Определение надежности  элементов системы энергоснабжения  самолета15

Выводы …………………………………………………………………………..19

Список использованных источников…………………………………………...20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Основные свойства летательного аппарата в целом и (или) его частей (конструкции, бортового оборудования, двигателей и др.) выполнять заданные функции, сохраняя значения эксплуатационных показателей в установленных пределах, соответствующих режимам и условиям использования, технического обслуживания, ремонта, хранения и транспортировки. Научные принципы, методы и технические приёмы обеспечения сохранности изделий авиационной техники разрабатываются теорией надёжности, основой которой являются теория вероятностей и математическая статистика, научные методы изучения функционирования изделий, их прочности, а также материаловедение. Практической основой являются инженерные методы проектирования, испытаний, производства и эксплуатации авиационной техники.

 Сущность решения  проблемы обеспечения надежной работы изделий заключается в изучении физических причин появления и развития отказов, создании инженерных методов проектирования высоконадёжных изделий, разработке производственно-технологических процессов изготовления материалов, деталей и узлов с заданными физико-механическими и прочностными свойствами, применении эффективных методов и средств эксплуатационного контроля и технического обслуживания изделий, разработке научных методов анализа и прогнозирования ожидаемых нагрузок и внешних воздействий в реальных условиях эксплуатации.

         Изделия авиационной техники являются сложными системами, и уровень их надежности зависит от уровня надежности составных частей. Особенность этих изделий заключается в том, что при допущении возможности отказа отдельных составных частей работоспособность всего изделия должна сохраняться. С этой целью применяется рациональное резервирование частей с потенциально возможными отказами. Отказы должны быть контролируемыми (экипажу выдаётся информация об их появлении). Наиболее опасные отказы должны парироваться аварийными системами, изменением условий или режимов работы отказавших агрегатов. Состояние работоспособности и возникшие отказы в полёте регистрируются с помощью систем сбора полётной информации. Летательный аппарат в целом и его составные части должны быть приспособлены к установлению причин неисправностей, их устранению и предупреждению, то есть должны обладать необходимой эксплуатационной технологичностью.

Уровень надежности летательного аппарата и его составных частей оценивается рядом единичных количественных показателей, характеризующих свойства безотказности и долговечности.

 

1.Сравнительный  анализ вероятностей катастрофы  летательного аппарата

 

Рассмотрим летательный  аппарат (ЛА), который состоит из: m двигателей с вероятностью отказа ;  n дублирующих систем энергоснабжения с вероятностью отказа ; N   вспомогательных   подсистем    с    вероятностью   отказа  каждая (Таблица 1).

 

Таблица1

Данные ЛА

m	r	n	N	P1	P2	P3	PD	P1э	P2э	P3э	PС
3	2	3	2∙103	4·10-4	6·10-4	7·10-4	0,2	10-3	5·10-4	7·10-4	4·10-9

 

Введем обозначения  событий:

D₁, D₂, D₃ – отказ 1-го, 2-го и 3-го двигателей соответственно;

B₁, B₂, B₃ – отказ 1-й, 2-й и 3-й системы энергоснабжения соответственно;

C_i – отказ   i-й   вспомогательной подсистемы, i = ;

Е_К – катастрофа; 

Е_KD, Е_KЭ, Е_KC – катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.

Катастрофа наступает, если выходят из строя:  любые (r+1) и более двигателей;  все системы энергоснабжения; хотя бы одна из  N вспомогательных подсистем.

В случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью  .

Определим вероятность катастрофы ЛА и сравним ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы , одна система энергоснабжения с вероятностью отказа   и N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.

   В обоих случаях сравним  вероятности катастроф, связанных  с отказом:  двигателей;  систем  энергоснабжения;  вспомогательных  подсистем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1Вероятность катастрофы ЛА  с дублирующими системами

 

Рассмотрим вероятность  катастрофы ЛА с дублирующими системами:

.                                               (1)

Перейдем к противоположным  событиям  и будем иметь:

.                                                (2)

 

Преобразуем равенство (2) по закону де Моргана, получим:

.                                                   (3)                  

Вероятность катастрофы будет определяться по формуле:

                        (4)

         Вследствие независимости событий  из равенства (4) получим:

.                       (5)

Рассмотрим структуру  событий  Е_KD, Е_KЭ, Е_KC  и найдем их вероятности катастроф, связанных с отказом: двигателей   Е_KD; систем   энергоснабжения Е_KЭ; вспомогательных подсистем Е_KC .

 

1.1.1.Стуктура  событий вероятности  катастроф,  связанных с отказом двигателей   Е_KD

 

Рассмотрим структуру  событий Е_KD и найдем P(Е_KD) = P_KD

Событие Е_KD – это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей, наступает, если выходят из строя любые (r + 1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого r  из  m двигателей катастрофа наступает с вероятностью  P_D .

 

.                                          (6)

 

В  нашем   случае  число  двигателей   m = 3,  а r = 2;   тогда

r + 1 = 2 + 1 = 3.                                                  (7)

Подставив данные (7) в  равенство (6) получим:

                                             (8)

где    – событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за     отказа любого r = 2  из  m = 3 двигателей;

–  событие,   состоящее в том, что  катастрофа  произошла в связи с выходом из строя любых (r+1) = 3  двигателей:

 

            

 

Катастрофа, связанная  с отказом r = 2 двигателя (при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (а с вероятностью P_D), значит,    

 

                                                             

тогда

 

 

Так как события     и   несовместны, тогда

 

Учитывая выражение (9), получим:

С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом r = 2 двигателя (при работающих остальных) из трех имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:

 

,                  (11)

 

то есть работает только  3-й, либо 2-й, либо 1-й двигатель из трех имеющихся у ЛА.

По  определению  условной   вероятности   имеем:

Используя равенство (10) и несовместимость  его слагаемых, получим:

.

Вследствие независимости  всех событий   и так как , будем далее иметь:

 

.

   Так как

P (D_i) = P_i , i = 1,3   и   P (E_K / E_D2)  =  P_D ,

   тогда

 

Если выполняется  условие 

                                              

                                            (12)

для всех и учитывая, что значение вероятности случайного события меньше единицы, то

 

,

а  также  значит,  что

 

.

Тогда имеем

   .          (13)

Подставив значения, данные из условия задания, получим:

.

 

1.1.2.Структура  событий вероятности катастроф,  связанных с отказом систем   энергоснабжения   Е_КЭ

 

  Рассмотрим структуру событий  Е_КЭ  и найдем Р(Е_КЭ) = Р_КЭ

Е_КЭ ≡ В₁ · В₂ · В₃ – катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (n = 3 по условию задачи).

Так    как    все   события    В₁ ,       независимы,   имеем:  

 

  .                                                (14)