Многочлены над числовыми полями

 

Оглавление

Приложение 1..

 

 

Введение

 

Целью исследования является: изучить свойства многочленов над числовыми полями Q, R и C

Задачи, поставленные в  исследовании:

проанализировать учебную литературу по данному вопросу

систематизировать полученный материал;

научиться находить корни многочленов над числовыми полями Q, R и C.

Сделать подбор задач для  самостоятельного решения по теме: «Многочлены над числовыми полями Q, R и C»

Объектом исследования многочлены

Предмет исследования – многочлены над числовыми полями Q, R и C

Методы исследования, использованные в курсовой работе:

– анализ методических пособий,

– обобщение и систематизация полученных сведений.

Структура работы. Работа состоит  из оглавления, введения, двух глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 10 наименований.

 

Глава 1.ПОНЯТИЕ МНОГОЧЛЕНА

1.1.Многочлены как функция действительной переменной.

Функция f(x) действительной переменной х называется многочленом, если она может быть представлена в виде

f(x) = a₀+a_lx + a₂x + ... + a_nxⁿ, (1)

где а₀,а₁,а₂, ..., а_п –какие-то действительные числа (некоторые из них могут равняться нулю). Например, функция

f(x) = 1 – х² + 2х⁴ = 1 + 0х + (-1)х² + 0х³ + 2х⁴ является многочленом, так как после раскрытия скобок она представляется в виде : f(х) = 1–х²+х³. частным случаем многочлена является постоянная функция f(х) = а, принимающая одно и то же значение а при всех значениях х. Выражение

а₀ + а₁х + а₂х² + ... + а_пх^п +0хⁿ⁺¹ +... + 0х^т

определяет ту же функцию (многочлен), что и выражение (1), поскольку  при любом значении х имеет место равенство

а₀ + а₁ х+ а₂х² + ... + а_пхⁿ = а₀ + а₁х + а₂х² + ... + а_пх^п + 0хⁿ⁺¹ +... + 0х^m . Обратно, можно доказать, что если при всех значениях х выполняется равенство

а₀ +a₁x + a₂x² + ... + а_пхⁿ = b₀ + b₁x + b₂x² +... + b_mx^m, где т > n, то b_к = а_k   при к=0, 1, 2, 3,..., nиb_k=0 при k=n+1,..., m.

Отсюда следует, что  с точностью до приписывания или отбрасывания членов с нулевыми коэффициентами представление многочлена f(x) в виде выражения (1) единственно.

Число а_к в выражении (1) называется коэффициентом многочлена f(x) при х^к.

Поскольку, не меняя многочлена f(x), к его выражению (1) можно приписать любое количество членов с нулевыми коэффициентами, то говорят также о коэффициентах многочлена f(x) при х^к, где к>п, считая их равными нулю. Многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, называется нулевым многочленом..

Если многочлен (1) не является нулевым, то наибольшее из таких чисел к, что а_к.≠0, называется его степенью. Например, f(х) = 1-х² + 2х⁴ – многочлен

четвертой степени. Постоянные функции, отличные от нуля, – это многочлены нулевой степени.

Сумма, разность и произведение двух многочленов также являются многочленами. В самом деле, пусть

f(x)=a₀+a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ, (2)

g(x) = b₀ +b₁x + b₂x² + ... + b_mx^m. (3)

Тогда

f(x) + g(x) = (a₀ + b₀) + (a₁ + b₁)x + (a₂ + b₂)x² + ... + (a_p + b_p )x^p (4)

f(x) – g(x) = (a₀ – b₀) + (a₁ – b₁)x + (a₂ – b₂)x² +... + (a_p – b_p)x^p,       (5)

где p=max{n,m} (наибольшее из чисел п, т), причем считается, что а_к=0 при к>n и b_k = 0 при к>т. Например,

(2 – 3х + x³ + 2х⁴) + (–1 + 3х + 2х² + х³) =

= (2 – 1) + (–3 + 3)х+ (0 + 2)х² + (1 + 1)х³ + (2+ 0)х⁴ = 1 + 2х² + 2х³ + 2х⁴.

 Произведение многочленов f(x) и g(x) равно сумме всевозможных произведений uv, где и – любой член многочлена f(x), а v –любой член многочлена g(x). После приведения подобных членов получается многочлен

f(x)g(x) = c₀+c₁x + c₂x² + ... + c_n+mx^n+m, (6)

где

c_kx^k = a₀ b_kx^k + a₁x b_k–1x^k–1 + a₂x² b_k–2x^k–2 + ... + a_kx^k b₀ = (a₀b_k + a₁b_k–1 + … +a₂b_k–2 + ... + a_kb₀)x^k,

так что

c_k = a₀b_k + a₁b_k–1 + a₂b_k–2 + ... + a_kb₀ (7)

Итак, сумма, разность и  произведение многочленов также  являются многочленами. Это означает, что многочлены образуют подкольцо в кольце всех функций действительной переменной х обозначается через R[x]. Символ R является обозначением поля действительных чисел. Поскольку кольцо всех функций коммутативно и ассоциативно, кольцо R[x] также обладает этими свойствами. В нем есть единичный элемент – постоянная функция f(x) = 1.

1.1.2. Алгебраическое определение кольца многочленов.

В математике приходится рассматривать не только многочлены с действительными коэффициентами, но и многочлены с коэффициентами из других полей или колец.

Изложим алгебраический подход к понятию многочлена. При этом рассматриваются многочлены с коэффициентами из любого кольца.

Пусть К - произвольное кольцо. Многочленом от х с коэффициентами из К называется формальное выражение вида

а₀ + а₁х + а₂х + ... + а_пхⁿ, (8)

где n –любое неотрицательное число и а₀,а₁,а₂,...,а_п– элементы кольца К.

Элемент а_к (к=0, 1, 2, 3, ..., n) кольца К называется коэффициентом многочлена (8) при х^k; для k>n коэффициент при х^к равен нулю. Для обозначения многочленов используют символы f(x), g(x).

Многочлены f₁(x) и f₂(x) считаются равными, если для любого к коэффициент многочлена f₁(x) при х^k равен коэффициенту многочлена f₂(x) при х^к. Равенство записывается обычным образом:

f₁(x)=f₂(x).

Для многочленов f(x) и g(x), заданных формулами (2) и (3) (где а₀,а₁,а_2:,...,а_п, b₀,b₁,b₂,...,b_m - элементы кольца К), их сумма f(x) +g(x) определяется по формуле (4) и произведение f(x)g(x) по формулам (6) и (7). Эти определения согласуются с данным выше определением равенства многочленов, т. е., если

f₁(х) = f₂(х) и g₁(х) = g₂ (х),

то 

f₁(x) + g₁(x) = f₂(x) + g₂(x) и f₁(x) g₁(x) = f₂(x) g₂(x),

 

 

1.1.3 Свойства операций сложения и умножения многочленов.

1° Коммутативность сложения. Пусть многочлены f(x) и g(x) заданы формулами (2) и (3). Тогда, согласно определению,

f(х) + g(x) = (а₀ + b₀) + (a₁ + b₁)х+ (а₂ + b₂)х² +...+ (а_р + b_р)х^р,

g(x) + f(x) = (b₀ + а₀) + (b₁ + а₁)х + (b₂ + а₂)х² + ... + (b_p + а_р)х^р,

где р = тах {п,т}. Так как в кольце К сложение коммутативно, то

а_к+b_к = b_к +а_к

(к=0, 1,2, ..., р) и, значит,

f(x)+g(x)=g(x)+f(x).

2° Ассоциативность сложения доказывается аналогично, исходя из ассоциативности сложения в кольце К.

3° Существование нуля. Нулем называется многочлен, все коэффициенты которого равны нулю и обозначается он символом 0. Этот многочлен играет роль нулевого (нейтрального по отношению к сложению) элемента.  В самом деле, из определения сложения многочленов ясно, что f(x)+0=f(x) для любого многочлена f(x).

4°Существование противоположного элемента. Пусть -f(x) – многочлен все коэффициенты которого противоположны соответствующим коэффициентам многочлена f(x) Ясно, что f(x)+(-f(x))=0, т.е. -f(x) – это многочлен, противоположный многочлену f(x).

5° Дистрибутивность умножения. Пусть даны три многочлена:

f(x) = а₀ +а₁х + а₂х² +... + а_пхⁿ,

g(x) = b₀ + b₁х + b₂х² + ... + b_тх^т,

h(x) = с₀ + с₁х + с₂х² +... + c_lx^l .

докажем, что

(f(x)+g(x))·h(x)=f(x)·h(x)+g(x)·h(x). (9)

Многочлен f(x) +g(x) задается формулой (4). Согласно определению умножения многочленов,

(f(х) + g(x))h(x) = d₀ + d₁x + d₂x² + ... + d_p+lx^p+l,

где

d_k = (a₀ + b₀)c_k + (a₁ + b₁ )c_k-1 +(a₂+b₂)c_k-2+  +(a_k+b_k)c₀.

Воспользовавшись дистрибутивностью в кольце К, d_k можно представить в виде суммы d_k ´+d_k",

где

d_k´ = a₀c_k + a₁c_k–1 + a₂c_k–2 +... + a_kc₀,

d_k" = b₀c_k + b₁c_k–1 + b₂c_k–2 + ... + b_kc₀.

d_k´ есть коэффициент при x^k многочлена f(x)h (x), a d_k´´ - коэффициент при x^k многочлена g(x)h(x). Отсюда следует равенство (9). Аналогично доказывается другое соотношение дистрибутивности:

h(x)·(f(x)+g(x))=h(x)·f(x)+h(x)·g(x). Свойства 1°-5° означают, что многочлены с коэффициентами из кольца К сами образуют кольцо относительно определенных операции  сложения и умножения. Это кольцо называется кольцом многочленов (от х) над К и обозначается через К[х].

Как и во всяком кольце, в кольце многочленов определена операция вычитания, обратная операции сложения. Разность многочленов f(x) и g(x), задаваемых формулами (2) и (3), находится по формуле (5). Это утверждение доказывается с помощью представления разности в виде

f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x)).

Многочлены, не содержащие х т.е. выражения (8), в которых п=0, – это элементы кольца К. Их сложение и умножение производится так же, как в кольце К. иными словами, кольцо К является подкольцом кольца К[х].

Формальные слагаемые а₀,а₁х,а₂х²,...,а_nхⁿ называются членами многочлена (8); в частности, а₀ называется свободным членом.

Многочлен вида ax^k называется одночленом. Из определения сложения многочленов следует, что многочлен (8) равен сумме одночленов а₀,а₁х,а₂х² ,...,а_пх^п.

Таким образом, рассматривая каждый член многочлена как одночлен, можно истолковывать символ "+" в записи многочлена как знак сложения. При таком толковании записи многочлена его члены можно располагать в произвольном порядке.

Одночлен (-a)x^k противоположен одночленуax^k. Поэтому прибавление к какому–либо многочлену одночлена (-a)x^k равносильно вычитанию одночлена ax^k. Это позволяет в записи многочлена вместо +(-а)х^к писать -ах^к, рассматривая "-" как знак вычитания. Например, многочлен 1 +(-2)х+Зх² можно записать как 1-2х+Зх².

Пусть в кольце К имеется  единица и дан многочлен р(х)=1х. По формуле для произведения многочленов имеется: р(х)² =р(х)·р(х)=1х² , р(х)³=р(х)² р(х)=1х³ и т.д.

Вообще р(х)^к=р(х)^k–1 р(х) =1х^k.

Умножая в кольце К[х] многочлен 1х^к на элемент а кольца К, находим:

а·р(х)^к=ах^к.

Наконец, путем сложения нескольких таких равенств получаем, что

a_o+a₁·p(x)+a₂·p(x)²+... +a_n·p(x)ⁿ=a_o+a₁x+a₂x²+... +а_nхⁿ

 для любых а₀,а₁,а₂,...,а_п е К <К[х].

Правая часть этого  равенства есть, согласно определению  многочлена, просто формальное выражение, в то время как левая часть получена из элементов а₀,а₁,а₂,...,а_п и р(х) кольца К[х] путем фактического выполнения операций сложения и умножения в этом кольце. Поэтому (если в кольце К есть единица) можно отождествить букву х с многочленом, который обозначался через р(х) , и придать тем самым записи многочлена неформальный смысл.

1.1.4. Степень многочлена.

Степенью ненулевого многочлена f(x) = a₀+a_lx + a₂x² + ... + a_nxⁿ называется наибольшее из таких чисел к, что а_к ≠ 0; степень нулевого многочлена считается равной –∞. Степень многочлена f(x) обозначается ст. f(x)

Многочлен нулевой степени – это элементы кольца К, отличные от нуля. Всякий многочлен степени n>= 0 может быть записан в виде

a₀ + а₁х + а₂х² + ...+ а_n хⁿ,

где а_п ≠ 0. При этом а_nх^п называется его старшим членом, а а_п – старшим коэффициентом. Многочлен, старший коэффициент которого равен единице (если в кольце К есть единица), называется нормированным.

Рассматривая формулы (4) и (6), по которым определялись сумма  и произведение многочленов, видно, что формула для суммы не содержит членов, степень которых выше , чем max{n,m}, а формула для произведения – членов, степень которых выше, чем n+m.

Отсюда следует, что

ст. (f(x) +g(x)) <= max {ст. f(x), ст. g(x)},                                       (10)

ст.f(x)g(x) <=cт .f(x)+ст. g(x).                                                                    (11)

Для того чтобы эти неравенства были справедливы и тогда, когда среди многочленов f(x), g(x), f(x)+g(x), f(x)·g(x) имеются нулевые (степени которых, согласно определению, равны – ∞ ), нужно считать, что – ∞<п и – ∞+ n = –∞ для любого п.

1.1.5. Кольцо многочленов над областью целостности.

Чтобы умножение в  кольце К[х] обладало теми или иными свойствами, надо требовать выполнения соответствующих свойств в кольце К. чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда К –область целостности, т.е. коммутативное ассоциативное кольцо с единицей и без делителей нуля.

В дальнейшем будут рассматриваться  только многочлены с коэффициентами из области целостности.

Установим некоторые дополнительные свойства умножения многочленов, которые выполняются при условии, что К - область целостности.

6°Коммутативность умножения легко вытекает непосредственно из определения. Сначала необходимо доказать

коммутативность умножения одночленов. Для одночленов ах^п и bх^mимеем:

axⁿ·bx^m=abx^n+m, bx^m·axⁿ=bax^n+m.

Так как в кольце К умножение коммутативно, то ab=ba и. значит,

axⁿ·bx^m=bx^m·axⁿ.

Пусть теперь f(x) и g(x) – произвольные многочлены. Многочлен f(x)·g(x) равен сумме всевозможных произведений вида uv, где и – член многочлена f(x), a v – член многочлена g(x).

Аналогично многочлен g(x)f(x) равен сумме всевозможных произведений вида uv=vu для любого члена и многочлена f(x) и любого члена v многочлена g(x). Следовательно, f(x)·g(x)=g(x)·f(x).

7°Ассоциативность умножения. Многочлен (f(x)g(x))h(x) равен сумме всевозможных произведений вида (uv)w, где и – член многочлена f(x), v – член многочлена g(x), w – член многочлена h(x). Аналогично многочлен f(x)(g(x)h(x)) равен сумме всевозможных произведений вида u(vw), где и, v, w имеют тот же смысл. Поэтому достаточно проверить, что (uv)w=u(vw) для любых одночленов и, v, w, т.е. доказать ассоциативность умножения одночленов. Для одночленов ахⁿ, bх^т, cx^p имеем: