Многочлены над числовыми полями

2.3.3.Неприводимые многочлены.

Несмотря на то что, как  уже отмечалось, простого описания всех неприводимых многочленов в  кольце Q[х] не существует, можно указать некоторые легко проверяемые достаточные условия того, что данный многочлен неприводим. Для этой цели используется прежде всего следующая теорема

Теорема 2. Если многочлен  с целыми коэффициентами не может  быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени  в кольце Z [х], то он не может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени и в кольце Q [х]

Если исключить тривиальный  случай, когда данный многочлен имеет  нулевую степень, то можно сказать, что многочлен, - удовлетворяющий  условию теоремы, будет неприводим в кольце Q[x].

С помощью этой теоремы  можно получить различные достаточные условия неприводимости многочлена в кольце Q [х]. Наиболее простым из них является так называемый критерий Эйзенштейна:

Пусть f(х) — многочлен с целыми коэффициентами. Если существует такое простое число р, что старший коэффициент многочлена f(х) не делится на р, все остальные коэффициенты делятся на р, а свободный член, делясь на р, не делится на р², то многочлен f(x) неприводим в кольце Q[х].

Для доказательства запишем  данный многочлен по возрастаю- возрастающим степеням х:

f(x) = a_o + a₁x+ ... +а_nхⁿ.

 Предположим, что он разлагается в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами:

g(x) = b_o + b_lx+ ... +b_mx^m,

h(x) = c_o + c₁x+ ... +c_lx^l,

причем 0<m<n и 0<l<n. Тогда при любом k

a_k = b₀c_k + b₁c_k-1 +… +b_kc₀

если считать, как обычно, что b_s = 0 при s >m и c_t = 0 при t >l. Среди коэффициентов многочлена g(x) (аналогично h(x)) обязательно найдутся такие, которые не делятся на р; в противном случае и все коэффициенты многочлена f(х) делились бы на р вопреки условию. Пусть b_s – первый из коэффициентов многочлена g(х), не делящихся на р , и аналогично c_t –первый из коэффициентов многочлена h(x), не делящихся на р. Тогда

a_s+t = b_oc_s+t + b₁c_s+t-1 + …+ b_sc_t +... + b_s+tc₀

также не делится на р, поскольку все слагаемые, кроме b_sc_t, делятся на р, a b_sc_t не делится. Из всех коэффициентов многочлена f(x), согласно предположению, только а_n не делится на р. Следовательно, s + t =n. Так как n= m+l, a s ≤ m и t≤l, то отсюда вытекает, что s =m и t = l. Стало быть, s, t > 0, т. е. b_о и с₀ делятся на р, но тогда а₀ = b_ос_о делится на р², что противоречит предположению.

Таким образом, многочлен f(x) не может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени в кольце Z[x] Согласно теореме 2, многочлен f(х) неприводим в кольце Q[x], что и требовалось доказать.

Следствие, В кольце Q [х] существуют неприводимые многочлены любой степени.

 В самом деле, применяя  критерий Эйзенштейна для р =2, мы видим, что многочлен хⁿ– 2 неприводим в кольце Q [х] при любом n

 

 

2.4.Задачи для самостоятельного  решения

Разложить на множители многочлен:

• x⁴ – 1
• x³ – 3 x²y – 4xy + 12y²
• 12y³ – 2y²
• x⁴ + 4x² – 1
• 3x³ – x² – 3x + 1

Решить уравнение и  разложить на множители многочлен

• x⁴ +7x³ + 11x² – 7x – 12 = 0
• 6x⁴ –35x³ + 56x² – 30x + 5 = 0
• x⁴ + x³ – x – 1 = 0

 

Заключение

Данная работа была посвящена изучению многочленов на числовыми полями Q, R и C.

В ходе исследования были получены следующие результаты:

1. рассмотрены базовые понятия темы;
2. представлен теоретический и практический материал;
3. приведен ряд задач для самостоятельного изучения;

В ходе исследования были получены следующие выводы:

Многочлены над числовыми полями Q, R и C просты для понимания и изучения.

 

Библиографический список