Многочлены над числовыми полями

(axⁿ·bx^m)·cx^p=abx^n+m·cx^p=(ab)cx^n+m+p,

ax^n·(bx^m·cx^p) =ax^n·bcx^m+p=a(bc)x^n+m+p.

Так как (аb)с=а(bс), то

(ахⁿ ·bx^m)·cx^p=ax^n··(bx^m·cx^p),

что и требовалось доказать.

8°. Существование единицы. Единицей (нейтральным элементом по отношению к умножению) в кольце К[х] является единица кольца К. В самом деле, из определения умножения многочленов ясно, что 1·f(x) =f(x) для любого многочлена f(x). В частности, 1·х^к=х^к . Поэтому в записи многочлена обычно опускают коэффициенты, равные единице.

9° Отсутствие делителей нуля. Пусть даны два ненулевых многочлена:

f(x) = а₀ + а₁х + а₂х² + ...+ а_пхⁿ,

g(x) = b₀+b_lx + b₂x² + ... + b_mx^m.

Необходимо доказать, что их произведение также равно нулю.

Поскольку

f(x)g(x) =a₀b₀+(a₀b₁ +a_Ib₀)x+...+ (a_n-1b_m+a_nb_m._–1)x^n+m-1+a_nb_mx^n+m,

то коэффициент многочлена f(x)g(x) при х^п+т равен a_nb_m.. Так как в кольце К нет делителей нуля, то а_пb_т≠0 и, значит, f(x)g(x) ≠ 0.

Из этих рассуждений  следует также, что

ст. f(x)g(x) = ст. f(х)+ст. g(x). (12)

Эта формула является уточнением неравенства (11) для случая, когда в кольце К нет делителей нуля, (формула (12) справедлива и тогда, когда один из многочленов f(x), g(x) или они оба равны нулю, если считать, что –∞ + п = –∞ для любого п).

Свойства 6°-9° означают, что кольцо К[х] является областью целостности. Таким образом, доказана следующая теорема:

Теорема l. Кольцо многочленов над областью целостности само

является областью целостности.

1.1.6 Деление с остатком на двучлен х–x_о.

 В кольце многочленов деление в обычном смысле слова невозможно. Например, в кольце R[x] многочлен х² нельзя разделить на х+1, т.е. не существует такого многочлена g(x), что x²=g(x)(x+1) (если бы такой многочлен существовал, то при х = –1 получилось бы невозможное равенство 1=g(–1)·0). Однако во многих случаях выполнимо деление с остатком.

Теорема 2. Пусть f(x) - многочлен с коэффициентами из кольца К. Для любого х₀ ℮ К многочлен f(x) можно единственным образом представить в виде f(x)=g(x)(x-x₀)+c, (14)

где g(x) ℮ К[х],с ℮ К; при этом с = f(х₀).

Доказательство Если f(х) = а ℮ К, то можно взять g(x)=0, c=a, это единственная возможность. Пусть теперь ст. f(x) =n>0. Разложим многочлен f(x) по убывающим степеням х:

f(x) =^:a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+... +a_n-1x+a

 Если представление f(x) в виде (14) возможно, то ст. g(x)=n–1. Запишем g(x) с неопределенными коэффициентами:

g(x) =b_ox^n-1+b₁x^n-2 +...+ b_n-2x+b_n-1

Подставляя выражения для f(х) и g(x) в (14), получается:

a_oxⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+...+a_n-1x+a_n= b₀xⁿ+ (b₁–x₀b₀)x^n-1+(b₂–x₀b₁)x^n-2+...+(b_n-1–x_ob_n-2)x+(c–x_ob_n-1),

откуда, в силу определения  равенства двух многочленов,

b_о=а_о b₁=a₁+x_ob_o, b₂=a₂+x₀b₁ b_n-1 =a_n-1+x_ob_n-2 с=а_п+x_оb_n-1……………(15)

Эти формулы позволяют последовательно  находить b₀,b₁ ,b₂ ,..., b_n-1. и с.

Проведенное рассуждение доказывает, что многочлен g(x) и элемент с,

удовлетворяющие соотношению (14), существуют и определены однозначно.

Для доказательства того, что c=f(x₀), надо вычислить, пользуясь равенством (14), значение многочлена f(x) в точке х₀. Поскольку первое слагаемое в правой части обращается в нуль, то f(x_o)=c. Теорема доказана.

Элемент х₀ кольца К называется корнем многочлена f(x) e К[х], если f(x_o)=0. Из теоремы 2 получается следующее следствие:

 Следствие (Теорема Безу). Многочлен f(x) делится на х–х_о в кольце К[х] тогда и только тогда, когда х₀ – его корень.

Действительно,f(x) делится на х–х₀ тогда и только тогда, когда в равенстве (14) с=0, но так как c=f(x₀), то условие с=0 равносильно тому, что х₀ – корень многочлена f(x).

Нахождение многочлена g(x) и элемента с, удовлетворяющих соотношению (14), называется делением с остатком многочлена f(x) на х-х₀. При этом g(x) называется неполным частным, а с – остатком.. Формулы (15) дают практический способ деления с остатком многочлена f(x) на х–х_о.

Вычисления удобно располагать  по следующей схеме, называемой схемой Горнера :

	aо	a1	а2	…	an-i	an
xо	bо	bi	b2	…	bn-i	bn

Элементы нижней строки вычисляются последовательно по формулам (15): b_о=а₀ , а каждый последующий элемент сумме элемента, находящегося над ним, и предыдущего элемента нижней строки, умноженного на х₀. Так как c=f(x_o), то этой схемой можно пользоваться и для вычисления значения многочлена в точке x_о.

1 2 КОРНИ МНОГОЧЛЕНА

Определение. Корнем многочлена f(x) из Р[х] называется такое значение а неизвестного х, при котором значение многочлена равно нулю: f(a)=0.

Теорема. Число корней многочлена f(x) из Р[х] не превосходит степени многочлена, если даже считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

Кратные корни. Пусть f (x) — многочлен с коэффициентами из поля Р и х₀ — его корень. Согласно теореме Безу , многочлен f(x) делится на х-х₀. Может случиться, что f(x) делится не только на х-х₀, но и на (х-х₀)² или даже на более вы- высокую степень х-х₀. Наибольшее целое число k такое, что f(x) делится на (х-х₀)^k к, называется кратностью корня х₀ многочлена f(х). Иначе говоря, кратность корня х₀ равна k, если f(х). делится на (х-х_о)^k , но не делится на (х-х_о)^k+1. Если k > 1, то говорят что х₀ - кратный корень; если k = 1, то х₀ называется простым корнем многочлена f(x).

Удобно считать, что  приведенное выше определение кратности  корня применимо и для k= 0. В таком случае корень кратности 0 — это элемент поля Р, вообще не являющийся корнем многочлена f(x).

 

1.3 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ МНОГОЧЛЕНОВ. РАЗЛОЖЕНИЕ НА НЕПРИВОДИМЫЕ МНОЖИТЕЛИ

1.3.1 Основная теорема.

 Как и во всяком  кольце главных идеалов, в кольце Р[х] многочленов над полем Р каждый необратимый элемент может быть разложен на простые множители, причем это разложение единственно с точностью до перестановки множителей и замены их ассоциированными элементами .

Ненулевой элемент области целостности  называется простым, если он необратим и не может быть разложен в произведение двух необратимых элементов. Простые элементы кольца Р[х] называются неприводимыми многочленами. Поскольку необратимые элементы кольца Р[х], отличные от нуля,–это многочлены положительной степени, то неприводимый многочлен–это такой многочлен положительной степени, который не может быть разложен в произведение двух многочленов положительной степени. (Многочлен, который может быть разложен в произведение двух многочленов положительной степени, называется приводимым). Можно также сказать, что неприводимый многочлен — это такой многочлен положительной степени, который не может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени. В самом деле, если в разложении f = gh оба множителя g, h имеют положительную степень, то каждый из них имеет степень, меньшую, чем степень f, и обратно.

Учитывая это определение и  смысл понятия «ассоциированность»  для многочленов, приходим к следующей  теореме.

Теорема 1. Всякий многочлен f ℮Р [х], не являющийся элементом поля Р, может быть разложен в произведение неприводимых многочленов:

f = р₁р₂...р_т,                                                                                                 (1)

причем eслu f=q₁q₂...q_l – другое такое разложение, то l= т и при подходящей нумерации множителей имеют место paвeнcтво

q_i=c_ip_x(i = 1,2,…,m), где с_i ℮Р,с≠0.

Если вынести за скобки старшие  коэффициенты всех неприводимых множителей какого-либо разложения многочлена f ℮P[x], то многочлен f представится в виде

f= ар₁р₂...р_т(а ℮Р,а≠0),                                                                             (2)

где p₁,p₂..._,p_m– нормированные неприводимые многочлены. Такое представление многочлена f будем называется его нормированным разложением на неприводимые множители.

Очевидно, что множитель а в формуле (2) совпадает со старшим коэффициентом многочлена f и что нормированное разложение на неприводимые множители единственно с точностью до перестановки множителей.

 

1.3.2. Кратность неприводимого делителя.

Пусть р — какой-нибудь (неприводимый делитель многочлена f ℮P[x]. Может случиться, что f делится не только на р, но и на р² или даже на более высокую степень p. Наибольшее из таких чисел к, что f делится на р^к, называется кратностью неприводимого делителя р многочлена f Иными словами, кратность равна к, если f делится на р^к, но не делится на р^k+1. Если р – неприводимый многочлен, не являющийся делителем многочлена f то удобно считать, что р – неприводимый делитель кратности 0.

Сравнивая определение кратности  неприводимого делителя с определением кратности корня, можно увидеть, что кратность корня х₀ многочлена f ℮Р[х]есть не что иное, как кратность неприводимого делителя х–х₀ этого многочлена. (Многочлен х–х₀, очевидно, неприводим, так как не может быть разложен в произведение двух многочленов положительной степени.)

Теорема 2. Кратность неприводимого делителя р многочлена f равна числу множителей, ассоциированных с р, в любом разложении многочлена f на неприводимые множители.

В частности, неприводимый многочлен р является делителем многочлена f тогда и только тогда, когда разложение многочлена f на неприводимые множители содержит хотя бы один множитель, ассоциированный с р. Поэтому неприводимые делители многочлена называют также его неприводимыми множителями.

Доказательство. Пусть р – неприводимый делитель кратности к многочлена f Тогда

f = p^к f₁, (3)

где f₁ не делится на р. Разложим многочлен f₁ на неприводимые множители:

f₁ = q₁q₂…q_l.

В этом разложении не будет  множителей, ассоциированных с р. Для многочлена f получится тогда разложение на неприводимые множители:

f = P^kq₁q₂…q_l

в котором будет ровно к множителей, ассоциированных с р. В силу теоремы 2 столько же множителей, ассоциированных с р, будет в любом разложении многочлена f на неприводимые множители.

(Если ст. f₁ = 0, то равенство (3) уже дает разложение многочлена f на неприводимые множители и в нем имеется ровно к множителей, ассоциированных с р.)

1.3.3. Неприводимые многочлены.

Неприводимые  многочлены играют роль, аналогичную роли простых чисел в арифметике. Естественно поставить вопрос: какие же существуют неприводимые многочлены? Ответ на этот вопрос зависит от поля Р.

Прежде всего, любой многочлен первой степени неприводим, так как произведение двух многочленов положительной степени всегда имеет степень ≥2. Следовательно, разложение на линейные множители является частным случаем разложения на неприводимые множители.

По теореме Безу многочлен, имеющий корень х₀, делится на х–х₀.

Степень частного при  этом будет на единицу меньше степени  самого многочлена. Поэтому всякий многочлен степени ≥ 2, имеющий корень в поле Р, приводим.

В общем случае только часть неприводимых множителей в  разложении многочлена f будет первой степени (или же таких множителей не будет вовсе). Из теоремы 2 следует, что множитель х–х₀ присутствует в нормированном разложении многочлена f на неприводимые множители тогда и только тогда, когда х₀ – корень многочлена f; при этом кратность множителя х – х₀ равна кратности корня х₀ . Таким образом, число множителей первой степени в разложении многочлена f на неприводимые множители равно числу его корней (с учетом кратностей).

Какие же все-таки существуют неприводимые многочлены, кроме многочленов  первой степени? Для выяснения этого  вопроса необходимо сопоставить прежде всего следующие два свойства многочлена f ℮ Р[х]:

(I)f приводим;

(II)f имеет корень (в поле Р).

 Выше уже отмечалось, что из (II) следует (I). Обратное, вообще говоря, неверно. Например, многочлен х⁴ + 2х² + 1 = (х² + 1)² приводим в кольце R[x], но, очевидно, не имеет действительных корней. Однако для многочленов степеней 2 и 3 из (I) следует (II), потому что если такой многочлен f разлагается в произведение двух многочленов положительной степени, то один из них непременно должен быть первой степени и, значит, многочлен f имеет корень. Таким образом, многочлен степени 2 или 3 неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет корней (в поле Р).

Например, в кольце R[x] неприводим многочлен х² + 1 и вообще всякий многочлен второй степени, не имеющий действительных корней. В кольце Q[x] неприводим, например, многочлен х³–2, поскольку единственный действительный корень этого многочлена иррационален.

Если поле Р конечно, то для любого n существует лишь конечное число многочленов степени не выше п с коэффициентами из Р, и поэтому неприводимые многочлены не выше любой заданной степени могут быть найдены путем перебора, аналогично тому как находятся простые числа, не превосходящие заданного числа.

 

Глава 2.МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЯМИ КОМПЛЕКСНЫХ, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

2.1. МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

2.1.1.Формулировка основной теоремы.

 Необходимость рассмотрения комплексных чисел связана с тем, что уравнение х² + 1 = 0 не имеет корней в поле действительных чисел. Можно было бы ожидать, что какие-то другие алгебраические уравнения с действительными (и тем более с комплексными) коэффициентами не имеют корней и в поле комплексных чисел. Однако это не так. Справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Всякое алгебраическое уравнение положительной степени с числовыми коэффициентами * имеет корень в поле комплексных чисел. Впервые доказанная в 1799 г. великим немецким математиком Гауссом, эта теорема известна как «основная теорема алгебры». Необходимо отметить, однако, что это название теоремы, несмотря „на ее важность для всех разделов алгебры, связанных с числами, все же не может в настоящее время пониматься буквально, так как современная алгебра не ограничивается изучением операций над числами. Существует много доказательств «основной теоремы алгебры», причем ни одно из них не является в полной мере алгебраическим. Это связано с тем, что в самой конструкции поля действительных чисел и тем самым поля комплексных чисел заложены неалгебраические элементы. Доказательство основной теоремы. Рассмотрим уравнение