Многоугольники на решетках

 

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ           3

1.Правильный треугольник  и квадрат       4

2. Правильные многоугольники        9

3. Полуправильные многоугольники       16

4. Формула Пика          20

5. Приложение Формулы  Пика. Применение Формулы Пика  при выполнении заданий ЕГЭ  – 2011 по математике        30

6. Решение задач           33

Список литературы          40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

В работе будет изучаться вопрос о том, какие правильные, равноугольные и равносторонние многоугольники можно разместить на плоских решетках. Так же речь пойдет о формуле Пика для вычисления площадей многоугольников, которые расположены на решетках. Рассмотрим вопрос о применении Формулы Пика при выполнении заданий ЕГЭ – 2011 по математике. Будет решен ряд задач по означенным выше вопросам.

Проделанная работа реферативного характера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Правильный треугольник и квадрат

 

В этой главе будет изучаться  вопрос о том, какие правильные, равноугольные и равносторонние многоугольники можно разместить на плоских решетках. В дальнейшем мы будем говорить, что некоторый многоугольник расположен на какой-либо решетке, если все его вершины совпадают с узлами этой решетки.

Теорема 1.1[1]. Правильный треугольник нельзя расположить на целочисленной решетке Z².

Доказательство. Предположим, что какой-либо правильный треугольник можно расположить на решетке нужным образом и что начало координат находится в одной из его вершин, а две другие его вершины имеют координаты (a, b) и (c, d). Можно считать, что четыре целых числа a, b, c, d не имеют общих делителей, отличных от ±1. Последнее следует из того, что точки (0, 0), (a/k, b/k), (c/k, d/k) также являются вершинами правильного треугольника, если k —общий делитель всех четырех чисел (рис. 1.1).Так как                                                a² +b² = c² +d² = (a-c)² +(b-d)², то отсюда заключаем, что

a² +b² = c² +d² = 2(ac+bd).

 

                 Рис. 1.1

 

             Рис. 1.2

Следовательно,

а² +b² +c² +d² = 4(ac+bd),

т. е. сумма квадратов четырех  чисел делится на 4. Но тогда или  все четыре числа четные, или все нечетные. Первое невозможно потому, что эти числа, по нашему выбору, взаимно просты. Второе же невозможно потому, что тогда не выполняется соотношение

a² +b² = (a-c)² +(b-d)²,

так как его левая часть не делится на 4, а правая — делится. Полученное противоречие и доказывает сформулированное утверждение. Теорема доказана.

Теорема 1.2[1]. Не существует плоской решетки, содержащей одновременно квадрат и правильный треугольник.

Доказательство. Предположим противное, т. е.что на некоторой решетке L можно одновременно расположить правильный треугольник T = ABC и квадрат K = APQR (можно считать, что они имеют общую вершину A, см. рис. 1.3).

Начиная с квадрата K, построим решетку  L^’. Так как tg 60° = √3—

иррациональное число, то один из лучей [AB) или [AC) не содержит ни одного узла решетки  L₀, отличного от A; пусть это будет луч [AC).

                                           Рис. 1.3

На этом луче находится  бесконечно много узлов C₁, C₂, C₃, . . . решетки  L (рис. 1.3) и, более того, тангенс угла наклона этого луча с любой прямой, параллельной стороне PQ квадрата K, является числом иррациональным.

Обозначим через D_k «левую нижнюю» вершину квадрата решетки L^’, в который попала точка C_k. Для каждого k > 1 рассмотрим параллелограмм      AC_k D_k E_k . По правилу параллелограмма, все полученные таким образом точки E_k , являются узлами решетки L и расположены внутри квадрата APQR. Кроме того, все точки E_k различны, так как если E_k = E_k+m (рис. 1.3), то прямая D_k D_k+m параллельна прямой AC и проходит через узлы решетки L₀. Поэтому тангенс угла наклона прямой D_k D_k+m с прямыми, параллельными стороне PQ квадрата K, является рациональным числом, что невозможно.

Итак, внутри квадрата K находится  бесконечно много различных точек решетки  L, что означает, что найдутся два ее узла, которые находятся на произвольно малом расстоянии друг от друга. На решетках это невозможно и полученное противоречие доказывает теорему 1.2.

Замечание.  На решетке L_T , составленной из ромбов с длиной стороны 1 и с острым углом в 60°, легко можно разместить прямоугольный треугольник (рис. 1.4).

               Рис. 1.4

 

Помимо теоремы 1.2 можно доказать более сильный результат.

Теорема 1.3 (М.Кламкин,[1]). Никакой прямоугольный треугольник с целочисленными длинами сторон (пифагоров треугольник) нельзя расположить на решетке .L_Т .

Доказательство. Мы покажем немного больше: если прямоугольный треугольник можно расположить на решетке  L_T , то по крайней мере один из его катетов имеет длину a√3, где a — некоторое рациональное число. Для доказательства заметим, что если a и b — два единичных вектора, задающих решетку  L_Т , то (a, b) = 1/2. Если ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом C, то

____

CB =x∙a + y∙b,

____

CA = ua + vb для некоторых  целых чисел x, y, u, v; кроме того,

      ____     ____

( CB, CA) = 0 и, тем самым, x∙(2∙u+v)+y∙(u+2∙v) = 0.

Отсюда следует, что существует рациональное число t такое, что

x = t∙(u+2∙v) и y = -t∙(2∙u+v). Поэтому

    ____

| CB|² = x² +x∙y +y² = t²∙[(u+2∙v)² -(u+2∙v)∙(2∙u+v)+(2∙u+v)²] =

                                                                   ___

= 3∙t²∙(u² +u∙v +v²) = 3∙t²∙| CA|².

Следовательно,CB =√3∙|t|∙CA, что завершает доказательство сформулированного выше утверждения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Правильные  многоугольники

 

 

Правильный пятиугольник, так же как и правильный треугольник, нельзя поместить ни на целочисленную решетку Z² в плоскости, ни на решетку Z³ в пространстве. Чтобы это доказать, заметим, что если провести все диагонали правильного пятиугольника (рис. 2.1), то точки их взаимного пересечения являются, как хорошо известно, вершинами так же правильного пятиугольника, подобного исходному с коэффициентом ((√5 - 1)/2)² < 1.

           Рис. 2.1

Теперь предположим, что  существуют какие-либо правильные пятиугольники, которые можно расположить на Z² и выберем тот из них, который имеет наименьшую сторону. У него проведем все диагонали. Тогда, по правилу параллелограмма, все вершины меньшего пятиугольника также будут являться узлами решетки (рис. 2.1), который имеет длину стороны меньше, чем исходный. А это противоречит выбору исходного пятиугольника. Так как правило параллелограмма выполняется на любой решетке, то мы, в действительности, доказали, что не существует ни одной решетки L куда можно было бы поместить правильный пятиугольник.

Полный ответ о правильных многоугольниках на решетках завершает  следующее утверждение.

Теорема 2.1[1]. Плоский правильный n-угольник при n = 5 и n > 6 нельзя расположить ни на одной решетке на плоскости или в пространстве.

Доказательство. Предположим, что существует решетка L, на которой можно расположить плоский правильный n-многоугольник, n > 6. Выберем из всех таких правильных n-угольников тот, который имеет самую маленькую длину стороны.

 

                         Рис. 2.2

Рассмотрим произвольный узел решетки O и отложим от этой точки векторы, равные векторам, образующим стороны n-угольника (рис. 2.2).Ясно, что концы этих новых векторов являются вершинами правильного n-угольника и (по правилу параллелограмма) все вершины этого нового правильного n-угольника являются узлами решетки  L.

Отношение стороны нового многоугольника к длине старого  легко вычислить, так как новый правильный n-угольник вписан в окружность, радиус которой равен длине стороны исходного n-угольника — это отношение, следовательно, равно 2 sin(π/n). Так как 2∙sin(π/n) < 1 при всех n > 6, то построенный правильный n-угольник имеет сторону меньше, чем исходный. Это противоречит выбору многоугольника, а само противоречие завершает доказательство теоремы 2.1.

Отметим еще одно важное следствие доказанной теоремы, оформив его в виде отдельного утверждения.

Теорема 2.2[2]. 1. При любом натуральном q > 3 число cos(π/q) иррационально.

2. При любом натуральном  q ≥ 3 и q≠ 6 число sin(π/q) иррационально.

Доказательство. Предположим противное, т. е. что

cos π/q = m₁/n₁,

где m₁, n₁ — натуральные числа. Рассмотрим правильный 2q-угольник

A₀ A₁ A₂ . . .A_2q-1 , вписанный в окружность радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 2.3), вершина A₀ которого совпадает с точкой (1, 0).

 

 

                     Рис. 2.3

Точка A_k имеет координаты (cos kπ/q, sin kπ/q) , k = 0, 1, 2, . . . , 2q -1.

Так как, по предположению, cos(π/q) является рациональным числом, то все числа вида cos(kπ/q) для указанных значений k также являются рациональными числами. Это следует из простого утверждения о том, что при любом натуральном k существуют многочлены с целыми коэффициентами T_k(x) и     U_k-1(x), степени которых равны k и k – 1 соответственно, и такие, что одновременно выполняются равенства

cos kα = T_k(cos α),

sin kα = sin α · U_k-1(cos α).

Для доказательства этого  утверждения применим индукцию. При k = 1 имеем T₁(x) = x и U₀(x) = 1. Индуктивный переход также не сложен:

cos(k +1)α = cos kα cos α-sin kα sin α = T_k(cos α) cos α-(1-cos² α)U_k-1(cos α),

sin(k +1)α = cos kα sin α-sin kα cos α = T_k(cos a) sin α+sin αU_k-1(cos α) cos α.

Многочлены T_k(x) и U_k(x) называются многочленами Чебышева 1-го и 2-го рода соответственно.

Таким образом,

cos kπ/q = T_k(cos π/q) = m_k/n_k,

 sin kπ/q = sin π/qU_{k-1  (}cos π/q )= r_k/s_k sin π/q, где m_k, n_k, r_k, s_k являются целыми числами.

Итак,

A_k = (m_k/n_k , r_k/s_k sin π/q ), k = 0, 1, . . . , 2q -1.

Приводя все дроби к общему знаменателю, получаем, что

A_k = (M_k/D, R_k/D sin π/q ), k = 0, 1, . . . , 2q -1.

Рассмотрим теперь все  точки на плоскости с координатами (n/D, m/D sin π/q ),

где числа m и n пробегают  все целые значения. Эти точки  образуют решетку, фундаментальным параллелограммом которой является прямоугольник со сторонами 1/D и (1/D) sin(π/q), причем все вершины правильного многоугольника A₀A₁A₂ . . .A _2q-1 являются узлами этой решетки. Так как 2q > 8, то по теореме 2.4 этого быть не может. Значит, предположение о том, что при   q > 3 число cos(π/q) является рациональным, неверно. Полученное противоречие завершает доказательство утверждения 1.

Для доказательства п. 2 можно  воспользоваться п. 1 и простым тригонометрическим тождествам sin π/q = cos_(π/2 –π/q ), рассмотрев сначала случай четного q, а затем—нечетного q. Теорема 2.2 полностью доказана.

Теорема 2.3[1]. Единственным правильным многоугольником на плоскости, все координаты вершин которого рациональны, является квадрат.

Данное утверждение примем без доказательства.

Теорема 2.4[1]. Имеют место следующие возможности.

а) При любом D квадрат  всегда можно расположить на K(D).

б) Если D = 2, то на K(2) можно  расположить только квадрат и правильный восьмиугольник.

в) Если D = 3, то на K(3) можно  расположить только квадрат и правильные треугольник, шестиугольник и двенадцатиугольник.

г) Если D ≠ 2 и D ≠ 3, то никакой правильный многоугольник, за исключением квадрата, на K(D) расположить нельзя.

K(D) = { z: z=a+i∙b; a, b∈Q(√D)},

Где D— натуральное число, свободное от квадратов,

Q(√D)— квадратичное поле, состоящее из чисел вида x+y∙√D, где x, y— рациональные числа.

Доказательство. Ясно, что квадрат можно расположить на K(D) при любом D.

Предположим теперь, что  некоторый правильный n-угольник при n ≠4 можно расположить на K(D). Тогда если a—сторона этого многоугольника и l —самая короткая его диагональ, то из теоремы косинусов (для треугольника, образованного этой диагональю и двумя соседними сторонами многоугольника) заключаем, что

l² = 2a² -2a² cos(π-2π/n) = 2a² +2a² cos 2π/n.

Таким образом, cos(2π/n) ϵ Q(√D). Кроме того, tg(2π/n) ϵ Q(√D). Следовательно, оба числа cos(2π/n) и sin(2π/n) лежат в Q(√D) и их степень не превосходит двух. (Напомним, что корни многочленов с рациональными коэффициентами называются алгебраическими числами. Степенью алгебраического числа a называется наименьшая возможная степень многочлена с рациональными коэффициентами, корнем которого является α. Например, все рациональные

числа имеют степень 1, а  степень корней квадратного уравнения  не превосходит 2.) Так как e^ix = cos x+i sin x, то число e^2πi/n также является алгебраическим и его степень не превосходит 4. C другой стороны, известно , что степень такого алгебраического числа (корня n-й степени из 1) равна φ(n), где φ(n) — функция Эйлера (ее значение равно числу всех взаимно простых с n натуральных чисел, меньших n).