Многоугольники на решетках

представленных на рис. 4.5. Тогда разобьем многоугольники, дополняющие T до P, на примитивные треугольники; получим разбиение параллелограмма P на примитивные треугольники T_k, причем один из них совпадает с T.

Рис. 4.6

 

Теперь разобьем P на примитивные треугольники каноническим способом (рис. 4.6), считая, что он состоит из p∙q маленьких фундаментальных параллелограммов решетки. Тогда число примитивных треугольников в первом разбиении, по условию 3 равно 2∙p∙q  и, тем самым, имеет место равенство

 

Каждое слагаемое в  этой сумме не меньше S/2. Поэтому оно возможно лишь тогда, когда все слагаемые в сумме, в том числе и S(T), равны S/2, что и утверждается в п. 2.

Докажем теперь, что из п. 2 следует п. 1. Для этого рассмотрим функцию

F(M) =  (N_i + 1/2∙N_e−1)∙S( L),

определенную на простых многоугольниках, расположенных на решетке L .

Рис. 4.7

Тогда, если разбить многоугольник M при помощи какой-либо ломаной с вершинами в узлах решетки на два других многоугольника M₁ и M₂ (рис. 4.7; в этом случае мы пишем M=M1+M2), то имеет место следующее аддитивное свойство F(M) =F(M₁) +F(M₂).

Но площадь также обладает свойством аддитивности. Поэтому если формула Пика верна для многоугольниковM₁ и M₂, то она верна и для многоугольника M=M₁+M₂. Но так как любой многоугольник можно разбить на примитивные треугольники, а формула Пика для таких треугольников имеет место (ибо S/2 = (0 + 3/2−1)S), то отсюда заключаем, что из п. 2 следует п. 1.

Тот факт, что из п. 1 следует  п. 3, устанавливается так. Из формулы Пика следует, что площадь примитивного треугольника равна S/2; поэтому число примитивных треугольников в разбиении на такие треугольники многоугольника M равно S(M)/(S/2) = 2Ni +Ne−2. Теорема 4.2 полностью доказана. 

Замечание.[2]  Характеристика примитивных треугольников содержится в статье Н. Б. Васильева [4]. В ней изложено решение следующей задачи, тесно связанной с теоремой 4.2. Три кузнечика(три точки) в начальный момент времени сидят в трех вершинах одной клетки, а затем начинают«играть в чехарду»:каждый может прыгнуть через одного из двух других, после чего оказывается в симметричной относительно него точке (рис.4.8;ясно, что после любого числа таких прыжков кузнечики будут попадать в узлы клетчатой

бумаги). В каких тройках  точек могут через несколько прыжков оказаться кузнечики?

Рис.4.8

Ответ на вопрос задачи дает следующий результат.

Теорема 4.3 Следующие три свойства треугольников на решеткеZ² эквивалентны друг другу:

1)треугольник имеет площадь1/2;

2)треугольник является  примитивным;

3)треугольник достижим.

Назовем треугольник достижимым, если в его вершинах могут одновременно оказаться три кузнечика, которые  вначале были в трех вершинах одной  клетки; прыжком будем называть преобразование треугольника, заключающееся в том, что одна из вершин переходит в  точку, симметричную относительно любой  из двух других вершин (эти две вершины  остаются на месте).

Примем данную теорему  без доказательства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Приложение  Формулы Пика. Применение Формулы Пика при выполнении заданий ЕГЭ – 2011 по математике

 

 

В прошлом учебном году все пособия по подготовке к ЕГЭ, содержали задания на вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой  бумаге. Большинство таких заданий  можно быстро выполнить, применив лишь формулы для вычисления площадей треугольника, прямоугольника, квадрата и трапеции. [5]

Примеры:[6]

На клетчатой бумаге с  клетками размером 1 см × 1 см  изображен треугольник (трапеция) (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах:

    

 

    

Но в некоторых вариантах  применение формул площадей фигур приводит к более объемному решению, чем  использование формулы Пика.

Примеры:[5]

В6.  На клетчатой бумаге с клетками размером 1см × 1см  изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

 

 

I способ.

Из площади прямоугольника вычтем сумму площадей трех треугольников:

II способ.

Применяем формулу Пика:  N=13, М=6,                          В6. [5] На клетчатой бумаге с клетками размером 1см × 1см  изображен прямоугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.    N=8, М=6,

В6. [5] На клетчатой бумаге с клетками размером 1см × 1см  изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

 

Можно найти высоту и основание  этого равнобедренного треугольника, применив дважды теорему Пифагора;

можно из площади квадрата вычесть сумму площадей трех треугольников  и маленького квадрата.

Самый быстрый способ –  это применить формулу Пика:    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Решение задач

 

 

Задача№1[4].

На бесконечном листе  клетчатой бумаги N клеток окрашено в чёрный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия:

1) все чёрные клетки  лежат в вырезанных квадратах;

2) в любом вырезанном квадрате K площадь чёрных клеток составит не менее 0,2 и не более 0,8 площади K.

Решение:

Возьмём какой-нибудь достаточно большой квадрат со стороной 2ⁿ так, чтобы все чёрные клетки лежали внутри его и составляли менее 0,2 его площади. Разрежем этот квадрат на четыре одинаковых квадрата. Каждый из них окрашен менее чем на 0,8. Те из них, которые окрашены более чем на 0,2, оставляем, а остальные режем дальше таким же образом. Полученные квадраты 2 × 2 будут окрашены на 1/4, 1/2, 3/4 или не будут окрашены

вовсе. Из листа бумаги нужно  вырезать те полученные квадраты, в  которых

есть окрашенные клетки.

 

Задача№2.[4]

Последовательностью Фарея F_n называют возрастающую последовательность несократимых дробей a/b, где 0 < a < b ≤ n. Пусть a/b и c/d—соседние члены последовательности Фарея. Докажите, что |ad − bc| = 1.

Решение:

Сопоставим каждой несократимой дроби a/b точку с координатами (a, b). Если a/b и c/d—соседние члены последовательности Фарея, то треугольник с вершинами (0, 0), (a, b) и (c, d) не содержит целочисленных точек, отличных от вершин. Действительно, если бы целочисленная точка (p, q) принадлежала этому треугольнику, то числа p и q не превосходили бы n и дробь p/q была бы заключена между a/b и c/d. Поэтому согласно формуле Пика площадь этого треугольника равна 1/2. С другой стороны, его площадь равна

1/2 |ad − bc|.

Задача№3[4].

Вершины треугольника ABC расположены в узлах целочисленной решётки, причём на его сторонах других узлов нет, а внутри его есть ровно один узел O. Докажите, что O—точка пересечения медиан треугольника ABC.

Решение:

Согласно формуле Пика S_AOB = S_BOC = S_COA = 1/2, а значит, O—точка пересечения медиан треугольника ABC .

 

Задача№4[4].

На клетчатой бумаге выбраны  три точки A, B, C, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник ABC остроугольный, то внутри его или на сторонах есть по крайней мере ещё одна вершина клетки.

Решение:

Построим прямоугольник  со сторонами, идущими по линиям клетчатой  бумаги, так, чтобы вершины A, B, C лежали на его сторонах. Ни одна из вершин A, B, C не может оказаться внутри этого прямоугольника, поскольку иначе угол при этой вершине был бы тупым. По крайней мере одна из точек A, B, C лежит на стороне прямоугольника, а не в его вершине, поскольку иначе треугольник ABC был бы прямоугольным. Пусть для определённости вершина A лежит на стороне прямоугольника. Введём на плоскости координаты, выбрав точку A в качестве начала координат, а эту сторону прямоугольника—в качестве оси O_x. Ось O_y направим так, чтобы прямоугольник лежал в полуплоскости y ≥ 0. Ни одна из вершин B и C не лежит на оси Ox, поскольку иначе угол при вершине A был бы тупым. Таким образом, если точки B и C имеют координаты (x₁, y₁) и (x₂, y₂), то y₁, y₂ ≥ 1,

а числа x₁ и x₂ имеют разные знаки. Поэтому точка с координатами (0, 1) лежит внутри треугольника ABC или на его стороне BC.

 

Задача№5[4].

Вершины выпуклого многоугольника расположены в узлах целочисленной решётки, причём ни одна из его сторон не проходит по линиям решётки. Докажите, что сумма длин горизонтальных отрезков линий решётки, заключённых внутри многоугольника, равна сумме длин вертикальных отрезков.

Решение:

Докажем, что каждая из этих сумм равна площади многоугольника.

Горизонтальные линии  решётки разрезают многоугольник  на два треугольника с основаниями a₁ и a_n и n − 1 трапеций с основаниями a₁ и a₂, a₂ и a₃, ..., a_n-1 и a_n. Высоты этих треугольников и трапеций равны 1, поэтому сумма их площадей равна

a₁/2+(a₁ + a₂)/ 2+(a₂ + a₃ )/2+ . . . +(a_n−1 + a_n )/2+a_n /2= a₁ + a₂ + . . . + a_n.

Для вертикальных линий доказательство аналогично.

 

Задача№6.

Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

Решение:

Докажем сначала, что на окружности с центром A = (2, 1/3) не может лежать более одной целочисленной точки. Если m и n—целые числа, то       (m − 2)² + (n − (1/3))² = q − 2m2, где q—рациональное число. Поэтому из равенства (m₁ −2)² + (n₁ – (1/3))² = (m₂ −2)² + (n₂ − (1/3))² следует, что        m₁ = m₂. По теореме Виета сумма корней уравнения (n − (1/3))² = d равна 2/3, поэтому лишь один корень может быть целочисленным.

Расположим теперь радиусы  окружностей с центром A, проходящих через целочисленные точки, в порядке возрастания: R₁ < R₂ < R₃ < . . . Если

R_n < R < R_n+1, то внутри окружности радиуса R с центром A лежит ровно n целочисленных точек.

 

Задача№7.

Докажите, что квадрат  со стороной n не может накрыть более (n+1)² точек целочисленной решётки.

Решение:

Пусть    M — выпуклая       оболочка    точек  целочисленной      решётки,    покрытых     квадратом    со стороной    n.  Согласно   формуле    Пика    её площадь    равна  N_i + 1/2N_e −1, где N_i — количество  целочисленных точек внутри  M ,  N_e — количество целочисленных точек на  границе M .  Поэтому N_i + 1/2N_e −1≤ n².

  Периметр     M   не превосходит     периметра    данного    квадрата. Кроме   того,  расстояние  между  соседними   целочисленными  точками  на  границе  M   не  меньше  1.  Поэтому  N_e ≤ 4n.

    Сложив    неравенства N_i + 1/2N_e −1≤ n² и N_e ≤ 4n получаем    требуемое    неравенство N_i + N_e ≤ (n+1)²

 

Задача№8.[2]

Четыре кузнечика сидят  в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут  в некоторый момент оказаться  в вершинах квадрата большего размера.

Решение

Пусть вначале кузнечики  сидят в вершинах квадрата (0;0), (0;1), (1;1), (1;0) на координатной плоскости. Тогда  при симметричных отражениях (прыжках) они всегда будут попадать в точки  с целочисленными координатами —  в точки решетки, порожденной  исходным «единичным» квадратом. В  самом деле, точка, симметричная (х,у) относительно (а,Ь), имеет координаты (2а-х,2Ь-у).

Заметим теперь, что то же соображение можно использовать, рассматривая последовательность прыжков  «с конца»: ведь обратное преобразование к прыжку — точно такой же прыжок. Таким образом, если бы в какой-то момент кузнечики попали в вершины  квадрата со стороной а > 1, то в предыдущие моменты они должны были бы находиться в точках решетки, порожденной этим квадратом (красная решетка на рисунке). Но вершины единичного квадрата, конечно, не лежат на такой решетке (хотя бы потому, что расстояние между любыми двумя ее точками не меньше а).

Задача№8. [2]

Шахматный   король   обошел   доску 8Х 8 клеток, побывав  на каждом поле ровно ,один раз и  последним ходом вернувшись на (исходное поле. Ломаная, соединяющая последовательно  центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений.

а) Какую наибольшую длину она может иметь?

б) Какую площадь может ограничивать эта   ломаная?   (Сторона   клетки   равна   1.)

Решение

б). Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ломаной, равна 64/2—1=31 (узлами клетчатой бумаги служат центры 64 полей; по условию все они лежат иа границе многоугольника). Перейдем к задаче а). На рисунке приведен пример пути короля, в котором 36 из 64 ходов имеют длину √2 (направлены по диагонали). Докажем, что больше 36 таких ходов быть не может.

На каждом отрезке длины  √2 , входящем в путь короля, построим, как на диагонали, квадрат 1x1. Одна половинка этого квадрата лежит вне многоугольника, который ограничивает путь короля. Но общая площадь, занятая такими половинками, ие превышает 49—31=18, поскольку все они не выходят за пределы квадрата 7x7 клетчатой бумаги. Значит, количество диагональных ходов не превышает 36.