Наглядность на уроках математики

Математическую основу действий учащихся при изучении отрезка натурального ряда от 1 до 9 составляет связь чисел с конечными множествами. Для усвоения натурального ряда чисел и принципа его образования они постоянно обращаются к действиям с предметами, рассматривая различные ситуации.

Например. На доске изображена туча. Она скрывает звезды на небе, и дети сначала их не видят. Но вот подул ветер и туча начала двигаться. На небе появилась первая звездочка.

-  Сколько звездочек на небе? (Одна.)

- Какой цифрой обозначается это число? (Ученики поднимают карточку с цифрой 1.)

- А теперь на небе сколько  звездочек? (Две.)

- Какой цифрой обозначается  это число? (Учащиеся поднимают  карточку с цифрой 2.) Затем появляется  еще одна звездочка, затем еще  одна и т. д. Учитель каждый раз выясняет, сколько звездочек стало видно на небе и какой цифрой обозначается их число.

Выкладывая на парте карточки, ученики получили ряд чисел:

-  Кто обратил внимание на  то, как появились звездочки на  небе? (Сначала одна, потом еще  одна.)

- Сколько получилось? (Две.)

- А как стало 3 звездочки? (Было 2, затем появилась еще одна.)

- А как стало 4? (Было три, потом  появилась еще одна.) В результате  дети устанавливают принцип получения  каждого следующего числа натурального ряда. Для получения чисел натурального ряда можно использовать пирамидку, на которую последовательно набрасываются кольца. Учитель может предложить ученикам задание: «Я буду надевать кольца на пирамидку, а вы выкладывайте карточки с цифрами, которые будут обозначать число колец». Опираясь на имеющиеся у них представления о количественном числе и на свой жизненный опыт, учащиеся выполняют действия с предметными множествами, под руководством учителя переводят их на язык математических символов, осмысливают их в общих терминах: «предыдущее число», «последующее число», «следует за числом ...», «предшествует числу ...».

В журнале «Начальная школа» Г.Г. Микулина описывает интересную игровую ситуацию, которую она использует при обучении младших школьников для обобщения принципа образования натурального ряда чисел. Эта ситуация переносит детей в сказочную школу, где все числа, кроме 1, обозначаются необычными знаками, но принцип получения каждого следующего числа в ряду остается таким же, как в натуральном.

Свой рассказ учитель начинает так: «Приснился мне однажды сон, будто попала я в сказочную школу. Иду и вдруг нахожу полоску бумаги, на которой написаны какие-то непонятные знаки:

Подхожу я к сказочному мальчику и спрашиваю:

- Что это такое?

А он мне отвечает:

- Это числа, написанные по порядку.

- Как это, по порядку?

- А вот так, каждое число в  этом ряду на 1 больше предыдущего  и на 1 меньше следующего.

Решила я посмотреть, какие же задания предлагает учитель детям в сказочной школе. Может быть, и вы, ребята, справитесь с этими заданиями?»

Учитель выставляет на наборное полотно карточки со «сказочными цифрами» и предлагает такие задания:

1.  Пошли два гномика в лес  за грибами. Гномик в красной  шапочке нашел «вот столько»  грибов, в синей шапочке - «вот  столько». (Над двумя числами сказочного  ряда выставляются картинки с гномиками в разных шапочках.)

- Как вы думаете, кто из них  нашел грибов больше и на  сколько?

2.  Шла я по сказочному лесу  и нашла «вот столько» грибов. (Над одним из чисел сказочного  ряда помещается карточка со  стрелкой.) Иду домой, навстречу мне гномик. Посмотрел он в мою корзинку и подарил мне еще один белый гриб. Сколько же грибов у меня стало?

3.  Отправилась Красная Шапочка  в гости к бабушке и понесла  ей «вот столько» пирожков. Встретился  ей ежик по дороге. Красная  Шапочка была доброй девочкой и угостила ежика пирожками. А бабушке она принесла «вот столько» пирожков.

- Как вы думаете, сколько пирожков  она дала ежику?

Отвечая на поставленный вопрос и двигаясь то вправо, то влево, в зависимости от ситуации, по отрезку сказочного ряда чисел, дети осознают в общем виде принцип его построения, учатся рассуждать и обосновывать свой ответ.

Осознание принципа построения натурального ряда чисел позволяет детям выполнять присчитывание и отсчитывание по единице.

В отличие от счета, особенность этих операций заключается в том. что одно из предметных множеств представлено натуральным числом.

Учитель может предложить детям такую ситуацию:

- В корзинке 7 грибов. (На корзинке  написано число 7.) Я положила в нее еще один гриб, - говорит учитель. (Показывает детям этот гриб и кладет его в корзинку.)

- Сколько теперь грибов? (8) - Почему? (Прибавила единицу и получила  следующее число.)

Теперь можно вынуть из корзинки все грибы и пересчитать их. Переход от счета к присчитыванию или отсчитыванию представляет для многих учеников определенную трудность - и не в силу сложности самой операции, а в силу того, что известные, усвоенные способы действий (в данном случае счет) имеют тенденцию сохраняться. Для преодоления этой трудности нужно в обучении сопоставить два способа: пересчет с присчитыванием и отсчитыванием. Конечно, словесное сопоставление доступно не всем семилетним, а тем более шестилетним детям, поэтому необходимо и здесь опираться на предметные действия. Так, учитель, выставив на доске 5 грибов (ученики путем пересчитывания убеждаются в этом), добавляет еще три гриба и обращается к ним с вопросом: «Сколько всего грибов на доске?» Для ответа на этот вопрос большинство из них будет обращаться к пересчитыванию, но учитель закрывает 5 грибов листом бумаги, на котором написано число 5, и спрашивает: «Как можно действовать в этом случае?» Такая ситуация может рассматриваться как проблемная, так как ее решение требует от учеников поиска нового способа действия.

Операция присчитывания осваивается детьми значительно легче, чем операция отсчитывания. В этом немаловажную роль играет усвоение порядка чисел при счете. И дело не только в том, что дети больше упражняются в назывании слов-числительных отрезка натурального ряда, и многие из них уже приходят в школу, владея этим умением. Гораздо важнее то, что с помощью отрезка натурального ряда они определяют количество предметов, сравнивают их, строят новую совокупность предметов и т. д. Другими словами, последовательность чисел натурального ряда применяется ими для решения практических задач, что способствует лучшему усвоению самого числового ряда.

Иначе обстоит дело с усвоением обратной последовательности чисел: 10, 9, 8, 7, ... 1, в основе которой лежит отсчитывание по 1. Здесь учащиеся, как правило, упражняются только в воспроизведении последовательности числительных, что никак не связано с решением каких-либо практических задач. Поэтому цепочка слов-числительных: десять, девять, восемь ... усваивается ими формально, что не способствует овладению операцией отсчитывания. Для того, чтобы они осознали практическую значимость этого умения, полезно использовать ситуации, особенности которых связаны с движением от большего числа к меньшему.

Здесь возможны различные варианты. Первый - это когда ученик должен двигаться от большего числа к меньшему, однако при этом все предметы находятся перед ним и он может воспользоваться счетом, т. е. подкрепить свое решение.

На доске 9 домиков. Каждому из них нужно дать номер. Это делается в процессе счета. Учитель обыгрывает ситуацию. Зайцу-почтальону нужно отнести письмо в дом № 8. Как он может попасть в этот дом? Выясняется, что он может прибежать к началу улицы и посчитать дома от первого, но может считать их и с конца улицы. Конечно, второй вариант рациональнее.

В другой ситуации часть предметов скрыта от глаз, поэтому счет осуществить невозможно.

Например: а) У доски несколько учеников выстраиваются по росту. Их пересчитывают (от большого к маленькому). Каждому (на карточке) дается порядковый номер, и они садятся на место. Теперь нужно снова построиться, но так, чтобы карточки с цифрами были расположены в обратном порядке (от маленького к большому).

б) На доске нарисованы спинки стульев. Часть ряда спрятана за шторкой. Представим себе, что мы в кинотеатре, где уже погасили свет и начала ряда не видно. Мы стоим у десятого места, нам нужно шестое. Найди его. (Приведенные ситуации взяты из статьи Г.Г. Микулиной, «Начальная школа», 1987, № 9).

Сравнение чисел

Для установления отношений «больше», «меньше», «равно» между числами младшие школьники могут использовать предметные, графические и символические модели.

В качестве математической основы действий на предметном уровне выступает установление взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств:

Для записи отношений между числами учитель знакомит учащихся со знаками > (больше), < (меньше), = (равно) и с математическими записями, которые называются равенствами и неравенствами (5<9, 9>5, 5=5).

В качестве символической модели используется отрезок натурального ряда (ряд чисел, которым можно пользоваться при счете предметов: «5<9, так как число 5 называется при счете раньше, чем 9»).

В качестве графической модели используем числовой луч, на котором дети отмечают точки, соответствующие натуральным числам.

Смысл действий сложения и вычитания

В курсе математики начальных классов находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых неотрицательных чисел (натуральных и нуля), в соответствии с которым сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения попарно непересекающихся конечных множеств, вычитание - с операцией дополнения выделенного подмножества. Этот подход легко интерпретируется на уровне предметных действий, позволяя тем самым учитывать психологические особенности младших школьников.

Однако методическая интерпретация данного подхода может быть различной: в качестве основного средства формирования у детей представлений о смысле действий сложения и вычитания выступают простые текстовые задачи.

В основе другого подхода лежит выполнение учащимися предметных действий и их интерпретация в виде графических и символических моделей. В качестве основной цели здесь выступает не решение простых задач, а осознание предметного смысла числовых выражений и равенств. Деятельность учащихся сначала сводится к переводу предметных действий на язык математики, а затем к установлению соответствия между различными моделями. Например, детям предлагается картинка, на которой Миша и Маша запускают рыбок в один аквариум. Организуя деятельность учащихся сданной предметной иллюстрацией, учитель ориентируется на следующие этапы:

-  Дети рассказывают, что делают  Миша и Маша на картинках (запускают  рыбок в один аквариум; запускают  рыбок вместе в аквариум, объединяют рыбок: Миша запускает в аквариум 2 рыбки, Маша - 3).

Ответы детей могут быть разными, но учителю важно подчеркнуть, что рыбки Миши и Маши объединяются вместе в одном аквариуме.

-  Затем учитель сообщает, что  действия Миши и Маши можно  записать на языке математики. Эти записи даны под картинками и являются математическими выражениями, которые в математике называют суммой. Выясняется, чем похожи эти выражения (в каждом два числа и знак +) и как можно эти выражения прочитать по-разному (2 плюс 3, к двум прибавить три, сложить числа 2 и 3).

- Дети упражняются в чтении  данных выражений.

-  Теперь нужно соотнести  каждое из этих выражений с  соответствующей картинкой. Выполняя это задание, дети ориентируются на число предметов, которые объединяют Миша и Маша.

-  Помимо выражений каждой  картинке можно поставить в соответствие определенное число. (Об этом дети также могут догадаться, пересчитав предметы на каждой картинке.)

-  В результате этой работы  учитель показывает, как записать равенство, и знакомит детей с этим понятием, а также с термином «значение суммы».

Затем числовые равенства интерпретируются на числовом луче. Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с операцией объединения:

а)   увеличение данного предметного множества на несколько предметов:

                          оооо            оо

б)  увеличение на несколько предметов множества, равночисленного данному:

в) составление одного предметного множества из двух данных:

В процессе выполнения предметных действий у ребенка формируется представление о сложении как о действии, которое связано с увеличением количества предметов.

Указанием к выполнению предметных действий может явиться задание. «Покажи .. ». Например, учитель предлагает задание: «У Коли было 4 марки. Ему подарили еще 2. Покажи, сколько марок стало у Коли».

Дети выкладывают 4 марки (круга, квадрата, треугольника) и движением руки показывают, сколько марок было у Коли. Затем добавляют 2 марки. И движением руки показывают, сколько марок стало у Коли. Далее выясняется, как можно записать выполненное предметное действие математическими знаками, используя для этой цели цифры, знаки «плюс» и «равно» (4+2=6). Целесообразно уже на этом этапе употреблять термины «выражение» и «равенство».

Ситуации вида а) фактически можно свести к ситуациям вида в), рассматривая марки, которые были у Коли, как одно предметное множество, а марки, которые ему подарили, как другое предметное множество.

Для разъяснения смысла сложения можно также опираться на представления детей о соотношении целого и его частей. В этом случае для приведенной выше ситуации все марки Коли (целое) будут состоять из двух частей: марки, которые у него «были», и марки, которые ему «подарили».

Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение (4+2) или равенство (4+2=6).

В процессе выполнения предметных действий, соответствующих ситуациям вида б), у них формируется понятие «больше на», представления о котором связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же»), и ее увеличением на несколько предметов («и еще»). В этом случае объединяют совокупности «столько же» и «еще».