Основы математического моделирования социально – экономических процессов

Для нахождения параметров уравнения регрессии в данном случае необходимо решить следующую систему нормальных уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

Т.е. получили следующее уравнение множественной регрессии:

Оно показывает, что при увеличении курса доллора на 1 руб. при неизменном фондовом индексе котировка акций уменьшается на 0,16 руб., а при увеличении фондового индекса при неизменном курсе доллора котировка уменьшиться в среднем на 0,21 руб.

Проверем модель на мультиколлинеарность.

Вычислим:

Коэффициент считается по формуле:

 

 

 

Аналогично найдем остальные коэффициенты.

 

 

 

 

Т.к. 0,46 ближе к нулю, то мультиколлинеарность факторов сильная и результаты множественной регрессии не очень надежные.

Прогноз котировки акций, если курс доллара составит 33,5 руб., а значение фондового индекса равно 3.

 

 

6.Анализ зависимостей в слабых шкалах

Имеется таблица сопряженности  о зависимости количества товаров в корзине покупателя по данным маркетингового обследования. Требуется проверить наличие зависимости количества товаров от пола покупателя с помощью таблиц сопряженности.

Пол	Количество товаров в корзине покупателя
	Корзина пуста	В корзине только один товар	В корзине два и более товара
Мужской	88	122	276
Женский	164	147	300

 

Решение:

Пол	Количество товаров в корзине покупателя					Всего
	Корзина пуста	В корзине только один товар		В корзине два и более товара
Мужской	88		122		276	486
Женский	164		147		300	611
Всего	252		269		576	1097

Выдвинем следующее предположение (гипотезу): количество товаров в корзине не зависит от пола покупателя. Если бы это предположение было справедливо, то ожидаемые частоты в таблице сопряженности совпали бы с частотами, вычисленными в следующей таблице.

Пол	Количество товаров в корзине покупателя					Всего
	Корзина пуста	В корзине только один товар		В корзине два и более товара
Мужской						486
Женский						611
Всего	252		269		576	1097

Для проверки выдвинутой гипотезы рассчитаем статистику по формуле:

   где м=2 различных значений признака «пол», к = 3 различных значений признака «количество товаров в корзине», - количество наблюдений с одновременным появлением i-го значения первого признака и j-го значения второго признака, - ожидаемая частота одновременного появления i – го значения первого признака и j-го значения второго признака.

= 5+0,07+1,7+3,98+0,05+1,35=12,15

 

Число степеней свободы в этом случае V = (3-1)(2-1)=2*1=2

Соответствующее критическое значение при вероятности ошибки Поскольку , то выдвинутую гипотезу отвергаем, и делаем вывод о наличии связи количества товаров в корзине от пола и покупателя.

 

 

7. Теория игр 

6. Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры по заданной матрице .

 

Решение:

Рассмотрим игру двух лиц, интересы которых противоположны. Такие игры называют антагонистическими играми двух лиц. В этом случае выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, и можно описать только одного из игроков.

Предполагается, что каждый игрок может выбрать только одно из конечного множества своих действий. Выбор действия называют выбором стратегии игрока.

Если каждый из игроков выбрал свою стратегию, то эту пару стратегий называют ситуацией игры. Следует заметить, каждый игрок знает, какую стратегию выбрал его противник, т.е. имеет полную информацию о результате выбора противника.

Чистой стратегией игрока I является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II является выбор одного из столбцов этой же матрицы.

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 4, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 7.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 4 ≤ y ≤ 7. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Запишем систему уравнений.

Для игрока I

2p1+8p2-p3 = y

7p1+4p2+5p3 = y

6p1+9p2+7p3 = y

10p1+5p2+6p3 = y

p1+p2+p3 = 1

Для игрока II

2q1+7q2+6q3+10q4 = y

8q1+4q2+9q3+5q4 = y

-q1+5q2+7q3+6q4 = y

q1+q2+q3+q4 = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

1. А.В.Белобродский, М.А.Гриценко Поиск  решений с Excel 2000 / Белобродский А.В., Гриценко М.А. - Воронеж: Воронеж. гос. университет 2001. - 64с.

2. Замков О.О.,  Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н., Математические методы в экономике. Учебник / О,О.Замков, А.В.Толстопятенко А.В., Ю.Н.Черемных -: МГУ им. М.В. Ломоносова.-3-е изд., перераб. - М.: Издательство «Дело и Сервис», 2001. - 368с.

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика в экономике. Математические методы и модели: учебник / М.С.Красс, Б.П.Чупрынов. – М.: Финансы и статистика, 2007. - 544с.

4. Методические указания, программа  и контрольные задания по курсу  Экономико-математические модели  и методы для студентов экономических специальностей заочной формы обучения / составитель С.А.Пронина. - Мн.: БГУИР, 1999. - 37с.