Представление алгебр Ли О(4)

Федеральное государственное  образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Липецкий государственный педагогический университет»

Факультет физико-математических и  компьютерных наук

Кафедра математического анализа, алгебры и геометрии

 

Специальность 050201.65 (032100.00) «Математика» с дополнительной                   специальностью «Информатика»

 

Курсовая работа по дисциплине

математика

на тему:

 

Представление алгебр ЛИ О(4)

 

                                                                        

    Выполнила:

студентка 4 курса группы МИ-4

Цеслер Екатерина Юрьевна 

                                

Научный руководитель:

                                                  Доцент, кандидат физико-математических  наук

Масленков Александр  Ефимович

 

 

 

 

 

 

 

 

Липецк 2012

 

 

Содержание:

1. Введение-----------------------------------3
2. Алгебра Ли О(4)-------------------------5
3. Заключение-------------------------------16
4. Список литературы---------------------17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                  Введение

    Основные понятия алгебр Ли

• Алгебра Ли- конечномерное векторное пространство L над полем K, если в L задано правило композиции , удовлетворяющее аксиомам:

                       А) (линейность)

        Б)  (антикоммутативность)

        В)  (тождество Якоби)

• L- вещественная алгебра Ли, если поле К является полем вещественных (комплексных) чисел.
• Алгебра Ли – абелева (коммутативная), если для любых .
• Подпространство N алгебры L является подалгеброй, если и идеалом, если . Идеал автоматически является подалгеброй.
• Алгебра Ли – полупроста, если она не имеет ненулевых коммутативных идеалов.
• Алгебра Ли- проста, если она не имеет идеалов, отличных от и L, и если
• Подалгебра Н полупростой алгебры L – называется подалгеброй Картана, если: Н- максимальная абелева Подалгебра в L и для любого  преобразование ad X пространства L является полупростым.
• Форма Киллинга- симметрическая билинейная форма (скалярное произведение) в алгебре Ли, определенное формулой

 

 

 

 

 

Алгебра Ли О(4).

Представления алгебр – это гомоморфизм алгебры в алгебру.

Гомоморфизм алгебры Ли называется линейное отображение (т.е. , отображение сохраняющее линейные операции), которое согласовано с операциями коммутирования в обеих алгебрах: .

Ядром гомоморфизма называется подмножество в алгебре  , которое под действием j переходит в нулевой элемент алгебры .

Если отображение взаимно  однозначно, то оно называется изоморфизмом или точным представлением. В этом случае ядро отображения равно нулю. Всякая конечномерная алгебра Ли допускает точное представление в алгебру матриц. Ввиду тесной связи, существующей между алгебрами Ли и группами Ли, задача изучения представлений групп Ли в большей мере сводится к изучению представлений.

О(4)- это алгебра кососимметрических матриц размера 4 на 4. Ее размерность  также равна 4.

Базисами могут быть

 

 

              О(4)=

При m=2n+1

При m=2n

Теорема 1:

    Пусть L- полупростая комплексная алгебра Ли, и пусть обозначает систему ненулевых корней. Тогда:

1.L= H+

2,Для любого dim =1 (т.е. корни невырождены, за исключением )

3.Если корни удовлетворяют , то

4.Ограничение формы Киллинга на подалгебру Картана, т.е. на H H , невырождено. Для любого корня существует единственный вектор , такой, что для всех .

5.Если , то - и если , то .

6.Если и , то .

Пример 1:

 Найдем алгебру Картана. Выпишем  условие коммутативности.

Это возможно лишь в случае пропорциональности матриц. Поэтому коммутативными подалгебрами здесь являются только одномерные подпространства.

Найдем условие полупростоты такой подалгебры. Пусть  .     (с учетом того, что =0)=   +        

      Выбранный  базис, как показывает проверка, обладает свойством , откуда, по свойству антикоммутативности . Поэтому ad X(Y)= =

Если у этого оператора найдутся собственные значения, то соответствующие  им собственные подпространства (одномерные или двумерные) окажутся инвариантными подпространствами. (Само одномерное подпространство, натянутое на X, является заведомо собственным, соответствующим нулевому собственному значению, но нас интересует наличие дополнений этого подпространства, инвариантных относительно ad X). Если найдутся два различных ненулевых собственных значения, то, поскольку собственные векторы, соответствующие им, как известно из линейной алгебры, линейно независимы, натянутое на них подпространство будет инвариантно относительно ad X и при этом будет являться дополнением подпространства, натянутого на X. Поэтому вычисляем собственные значения оператора ad X. Матрица этого оператора в базисе имеет вид

Характеристическое уравнение

Для различных ненулевых собственных  значений существуют тогда, когда  . Они равны .

Возьмем , т.е. X= . В этом случае алгебра Картана H – это подпространство, натянутое на , собственными значениями являются ±i. Найдем соответствующие им собственные векторы.

1. +i Ищем ненулевое  решение системы .Из первого уравнения , второе и третье равносильны, из них . Положив, что , получим . Значит, собственным вектором, соответствующим собственному значению +i  можно взять
2. –i Ищем ненулевое решение системы .Из первого уравнения , второе и третье равносильны, из них . Положив, что , получим . Значит, собственным вектором, соответствующим собственному значению – i можно взять .

Соответствующие линейные формы на H: .

 

Теорема 2:

1. Если , то - , но при .
2. Предположим, что , . Если и при целых k, , но то

     .

3. , где – наименьшее (наибольшее) число в последовательности , определенной в пункте 2.

4. Форма Киллинга задает на  линейном пространстве  , вещественную положительно определенную метрику. Более того, .

 

Теорема3:

Для каждого можно выбрать вектор такой, что для всех имеем

 для 

где константы  удовлетворяют соотношению

.

 Для любого такого  выбора

  ,

 где числа p и q определяются последовательностью из теоремы 2 пункт 2

 

Теорема 4:

1. Если   , то .

2. Если  , , то  - неотрицательное число.

3. П-система является  линейно независимым множеством  и служит базисом для пространства . Произвольный корень   можно представить в виде

  ,

 где  - неотрицательные числа. 

            4.Если положительный корень не является простым, то .

 

Доказательство:

    1.Пусть  . Тогда по теореме 2 пункт 1  и . Значит, поскольку либо , либо , то либо , либо не является простым корнем. Таким образом, имеем противоречие.

      2.Согласно теореме 2 пункт 2,

,

где   - целые и . Ввиду пункта 1 p=0 .Поэтому

.

      3.Пусть – положительный корень. Если корень – простой, то . Если же не является простым, то , где и  положительны. Если же или , или оба они не являются простыми, то эта процедура повторяется. Наконец получаем выражение с . Если отрицательно, то применяем наше разложение к вектору  и получаем                с .

Множество положительных  векторов  из , подчиняющихся условиям

            

является линейно независимым  множеством. Действительно, допустим, что векторы линейно зависимы, и пусть - минимальная линейно зависимая подсистема. Тогда мы имели бы

, где  .

            Пусть – сумма всех слагаемых в с положительными коэффициентами, а -  - сумма всех членов с отрицательными коэффициентами. Тогда запишется как , откуда получаем. Но , а ввиду неположительно. Таким образом, имеем противоречие. В силу этого простые корни, которые положительны и удовлетворяют условию , линейно независимы. Они образуют базис пространства  вследствие

 

и теоремы 2 пункт 4.

           4. Если к системе П добавим положительный корень , то получим линейно зависимую систему. Поэтому по крайней мере одно из скалярных произведений типа

положительно, т.е. . По теореме 2 пункт 2 это неравенство предполагает для некоторого простого корня , что и, следовательно, . Неравенство невозможно, поскольку в противном случае простой корень представлялся бы в виде суммы двух положительных корней.

 

Теорема 5:

   - система всех корней заданной полупростой алгебры Ли L может быть построена по ее – системе простых корней.

 

Доказательство:

Согласно теореме 2 пункт1 можно ограничится задачей построения только положительных корней. Пусть  – положительный корень из , а – его разложение на простые корни, как и в . Назовем корень корнем порядка s, если . Ясно, что все простые корни порядка один.     Предположим теперь, что мы уже построили все корни порядка меньше чем s. По теореме 4 пункт 4 корни порядка s имеют вид , где – корень порядка s-1 и . Воспользуемся формулой

                                

(теорема 2 пункт 2), если вектор  . Векторы , , согласно теореме 4 пункт 3, положительны и являются корнями порядка меньше чем s. Поэтому по индукции можно определить, принадлежат они множеству или нет, и найти наимеьшее значение . С помощью формулы находим число q. Если q>0, то последовательность , j=1,2,….,q, содержит корень . В противном случае вектор не является корнем.

Последняя теорема и теорема 3 показывают, что фактически задача классификации  всех простых комплексных алгебр Ли сводится к задаче классификации всех П-систем простых корней. В соответствии с теоремой 4 последнюю задачу можно свести к более простой комбинаторной задаче классификации всех конечных систем Г векторов из , удовлетворяющих следующим условиям:

1. Г – линейно независимая система векторов,
2. если ,то - неотрицательное целое число.

Ясно, что всякая П(L)- система для простых корней является Г – системой.

        Задачу классификации П – систем для простых алгебр Ли можно упростить при помощи введения аппарата схем Дынкина. Прежде всего, заметим, что, согласно теореме 4 пункту 2, при

, величина

является неотрицательным  целым числом; таким образом, принимает одно из значений 0,1,2 или 3; следовательно, соответствующими углами являются и соответственно.

              П – систему (или Г) векторов ( ) можно изобразить графически как связный линейный комплекс (или граф). Вершины находятся во взаимно однозначном соответствии с векторами П – системы. Две различные вершины комплекса связаны одинарной, двойной или тройной линией, когда два соответствующих вектора образуют угол или соответственно. Если все векторы имеют одинаковую длину, обозначаем вершины светлыми кружками ; если векторы имеют две различные длины, темными кружками , а остальные – светлыми кружками.

Пример 2:

Пусть L=О(4). Строим схему Дынкина для этой алгебры ли. Согласно

простые корни  имеют одинаковую длину. Кроме того, в силу

простые корни   и  будут связаны одинарной линией; любая другая пара , простых корней образует угол  , и поэтому они не связаны. Следовательно, схема Дынкина для О(4) (~ ) имеет вид

 

Следующая фундаментальная теорема дает описание схем Дынкина и П – систем простых корней для всех простых комплексных алгебр Ли.

Теорема 6:

Четыре последовательности схем и 5 отдельных схем:

образующих множество  всех схем, которые могут быть ассоциированы с П- системами.

       

       

      

и также 5 отдельных систем.

Пример 3:

Для алгебры Ли О(4) П- система будет иметь вид

- ортогональные базисные векторы соответствующего евклидова пространства и имеют одинаковую, хоть и произвольную длину.

С каждой схемой связывается некоторая простая комплексная алгебра Ли.

 

Следствие:

Четыре бесконечные последовательности алгебр Ли и пять исключительных алгебр Ли - составляют неизоморфные простые комплексные алгебры Ли.

Последовательность  не содержит алгебры , поскольку она не является простой ( ~ - прямая сумма двух идеалов).