Применение экономико-математического моделирования в логистических системах

      - механизм  обслуживания.

      Входной  поток требований. Для описания  входного потока требуется задать  вероятностный закон, определяющий  последовательность моментов поступления  требований на обслуживание и  указать количество таких требований  в каждом очередном поступлении.  При этом, как правило, оперируют  понятием "вероятностное распределение  моментов поступления требований". Здесь могут поступать как  единичные, так и групповые  требования (требования поступают  группами в систему). В последнем  случае обычно речь идет о  системе обслуживания с параллельно-групповым  обслуживанием. 

      Дисциплина  очереди - это важный компонент  системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии  с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

      - первым  пришел - первый обслуживаешься;

      - пришел  последним - обслуживаешься первым;

      - случайный  отбор заявок;

      - отбор  заявок по критерию приоритетности;

      - ограничение  времени ожидания момента наступления  обслуживания (имеет место очередь  с ограниченным временем ожидания  обслуживания, что ассоциируется  с понятием "допустимая длина  очереди").

      Механизм  обслуживания определяется характеристиками  самой процедуры обслуживания  и структурой обслуживающей системы.  К характеристикам процедуры  обслуживания относятся: продолжительность  процедуры обслуживания и количество  требований, удовлетворяемых в результате  выполнения каждой такой процедуры.  Для аналитического описания  характеристик процедуры обслуживания  оперируют понятием "вероятностное  распределение времени обслуживания  требований".

      Следует  отметить, что время обслуживания  заявки зависит от характера  самой заявки или требований  клиента и от состояния и  возможностей обслуживающей системы.  В ряде случаев приходится  также учитывать вероятность  выхода обслуживающего прибора  по истечений некоторого ограниченного интервала времени.

      Структура  обслуживающей системы определяется  количеством и взаимным расположением  каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего,  следует подчеркнуть, что система  обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

      Система  обслуживания может состоять  из нескольких разнотипных каналов  обслуживания, через которые должно  пройти каждое обслуживаемое  требование, т. е. в обслуживающей  системе процедуры обслуживания  требований реализуются последовательно.  Механизм обслуживания определяет  характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

      Предметом  теории массового обслуживания  является установление зависимости  между факторами, определяющими  функциональные возможности системы  массового обслуживания, и эффективностью  ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

      Случайный  характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и  длительности обслуживания приводит  к тому, что в системе массового  обслуживания происходит случайный  процесс.

      Независимо  от характера процесса, протекающего  в системе массового обслуживания, различают два основных вида  систем массового обслуживания:

      - системы  с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает  отказ и сразу же покидает  очередь; 

      - системы  с ожиданием (очередью), в которых  заявка, поступившая в момент, когда  все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из  каналов. Системы массового обслуживания  с ожиданием делятся на системы  с ограниченным ожиданием и  системы с неограниченным ожиданием. 

      В системах  с ограниченным ожиданием может  ограничиваться:

      - длина  очереди; 

      - время  пребывания в очереди. 

      В системах  с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживание  неограниченно долго, т.е. пока  не подойдет очередь. 

      Все системы  массового обслуживания различают  по числу каналов обслуживания:

      - одноканальные  системы; 

      - многоканальные  системы. 

      Главной  целью систем массового обслуживания  в логистики является оценка  возможного развития функционирования  процессов. В торговле одним  из основных показателей, характеризующих  процесс обслуживания покупателей,  является уровень качества торгового  обслуживания. Данный показатель  является интегральным, включающим  ряд частных показателей, таких  как культура обслуживания покупателей,  скорость торгового обслуживания, стабильность товарного ассортимента, спектр услуг, предоставляемых  покупателям и т. д. 

     

 

   Представим многоканальное СМО с очередью.

          λ               λ              λ             λ              λ                  λ

                                          …    …

         µ               2µ            3µ            n*µ        n*µ            n+1*µ

- в СМО нет ни одной заявки;

- в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные  свободны);

- в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные  свободны);

- в СМО находится n заявок (n каналов заняты, заявка поступившая в данный момент становится в очередь);

- в СМО находится n заявок (все каналы заняты, одна заявка в очереди) и т.д.

Система массового обслуживания называется системой с очередью, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.

Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это  промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.

Для практики наибольший интерес  представляют именно системы смешанного типа.

Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение  накладывается на время ожидания заявки в очереди; считается, что  оно ограничено сверху каким-то сроком, который может быть как строго определенным, так и случайным. При  этом ограничивается только срок ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца, независимо от того, сколько времени продолжалось ожидание (например, клиент в парикмахерской, сев в кресло, обычно уже не уходит до конца обслуживания). В других задачах естественнее наложить ограничение  не на время ожидания в очереди, а  на общее время пребывания заявки в системе (например, воздушная цель может пробыть в зоне стрельбы лишь ограниченное время и покидает ее независимо от того, кончился обстрел  или нет). Наконец, можно рассмотреть  и такую смешанную систему (она  ближе всего к типу торговых предприятий, торгующих предметами не первой необходимости), когда заявка становится в очередь  только в том случае, если длина  очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число заявок в очереди.

Определим некоторые вероятностные  характеристики функционирования многоканальной СМО с очередью.

1. Нагрузка (трафик) системы 

2. Нагрузка, приходящаяся  на один канал 

3. Вероятность того, что  канал свободен 

4. Вероятность состояний 

5. Вероятность занятости  канала 

6. Абсолютная пропускная  способность 

7. Среднее число заявок  под обслуживанием 

8. Среднее число заявок  в очереди 

9. Среднее время пребывания  заявки в очереди 

По всем приведенным формулам можно построить модели систем массового  обслуживания в различных отраслях экономики.

1.3 Задача линейного программирования в логистике (симпекс - метод)

 

В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов  математической теории оптимального принятия решений. Для решения задач линейного  программирования разработано сложное  программное обеспечение, дающее возможность  эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Владение аппаратом  линейного программирования необходимо каждому специалисту в области  прикладной математики.

Линейное программирование – это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные  которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного  программирования относятся к задачам  на условный экстремум функции. По типу решаемых задач методы разделяются  на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

Особенностью задач линейного  программирования является то, что  экстремума целевая функция достигает  на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального  исчисления связаны с нахождением  экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.

Линейное программирование представляет собой наиболее часто  используемый метод оптимизации. К  числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

1. рационального использования сырья и материалов;
2. задачи оптимального раскроя;
3. оптимизации производственной программы предприятий;
4. оптимального размещения и концентрации производства;
5. составления оптимального плана перевозок, работы транспорта (транспортные задачи);
6. управления производственными запасами;
7. и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Задачи линейного программирования решаются несколькими методами:

1. графический метод;
2. симплексный метод;
3. двойственность в ЛП;
4. двойственный симплексный метод.

Рассмотрим применение ЗЛП  в логистике на примере симплекс – метода.

     MS Excel содержит модуль «Поиск решения» позволяющий осуществлять поиск оптимальных решений, в том числе решение задач линейного, целочисленного, нелинейного программирования. Постановка задачи осуществляется посредством задания ячеек для переменных и записи формул с использованием этих ячеек для целевой функции и системы ограничений.

   Поскольку данная задача может решаться и на MAX и на MIN, то мы ставим перед собой цель, к которой нам необходимо придти в зависимости от условия задачи. Далее нам необходимо составить целевую функцию, описать ограничения, и вставить все в таблицу в MS Excel, там уже с помощью оговоренного ранее модуля «Поиск решения» решить задачу.

 

 

 

2. Построение модели

1. Применение задачи СМО в логистических системах

 

Имеется склад  с шестью терминалами для погрузки машин  материалом.

Интенсивность потока машин  для погрузки составляет 4 грузовика в час, среднее время обслуживания одной машины – 1 час 20 минут. Все потоки событий простейшие.

Найти финальную вероятность  и характеристики эффективности  для СМО с очередью (финальная  вероятность с точностью до р₇)

 

Составим схему гибели и размножения многоканальной СМО  с очередью:

 

          λ          λ            λ          λ            λ           λ          λ

 

           µ          2µ          3µ         4µ           5µ       6µ           7µ

Из условий, приведенных  выше, мы имеем:

n=6 – число каналов обслуживания;

λ=4 грузовика в час - интенсивность потока;

µ= =0,75 – интенсивность потока обслуживания;

Т_об = минуты – среднее время обслуживания;

1. ρ= – нагрузка системы.
2. ψ= – нормальная работа.
3. р₀ = ^-1 = 0,005 или 0,5 % вероятность того, что канал свободен.
4. р_{1 = того, что один канал занят}