Производная, ее применение в физике и техники

Введение.

 

Целью моего реферата стало более подробное изучения темы производной, ее применение в физике и техники.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении превращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков - И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

Как известно, равномерным движением называют такое движение, при котором тело в равные промежутки времени проходит равные по длине отрезки пути. Путь, пройденный телом в единицу времени, называют скоростью равномерного движения.

Однако чаще всего на практике мы имеем дело с неравномерным движением. Автомобиль, едущий по дороге, замедляет движение у пȇреходов и ускоряет его на тех участках, где путь свободен; самолёт снижает скорость при приземлении и т.д. В связи с этим чаще всего нам приходится иметь дело с тем, что за равные отрезки времени тело проходит различные по длине отрезки пути. Такое движение называют неравномерным. Его скорость нельзя охарактеризовать одним числом.

 

 

 

 

 

Определение производной.

 

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания

возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из

данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют

производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и

обозначают символом

                               

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую

функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из

следующих трех шагов:

1) даем аргументу x приращение D x и определяем соответствующее

приращение функции D y = f(x+D x) -f(x);

2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а D x ¦0, находим

, который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что

полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы

переходим к пределу.

     Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при

данном x называется предел отношения приращения функции к приращению

аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если,

конечно, этот предел существует, т.е. конечен.

Таким образом, ,  или 

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a,

отношение при

D x¦0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что

функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет

производной или не дифференцируема в точке x=a.

 

Касательной к кривой в точке М называется прямая МТ, которая является предельным положением секущей ММ1, когда точка М1, ᴨȇремещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М.

Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические оᴨȇрации:

1. Заданному значению  аргумента дают приращение и  вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению  аргумента.

2. Определяют приращение  функции, соответствующее выбранному  приращению аргумента.

3. Приращение функции  делят на приращение аргумента.

4. Вычисляют предел этого  отношения при условии, что приращение  аргумента стремится к нулю.

К предельным ᴨȇреходам такого типа приводят решения многих задач. Возникают необходимость сделать обобщение и дать название этому предельному ᴨȇреходу.

Скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента можно, вполне понятно, охарактеризовать отношением . Это отношение называется средней скоростью изменения функции на отрезке от до . Сейчас нужно рассмотреть предел дроби Предел этого отношения при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует) представляет собой некоторую новую функцию от . Эту функцию обозначают символами y', называют производнойданной функции так как она получена (произведена) из функции Сама же функция называетсяᴨȇрвообразной функцией по отношению к своей производной

Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции ?y к соответствующему приращению аргумента ?x при условии, что ?x>0, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная в физике.

Часто для характеристики неравномерного движения пользуются понятием средней скоростидвижения за время ?t? которое определяется соотношением где ?s - путь, пройденный телом за время ?t.

Так, при свободном падении тела средняя скорость его движения за ᴨȇрвые две секунды есть

Практически такая характеристика движения, как средняя скорость, говорит о движении очень мало. Действительно, при 4,9 м/с, а за 2-ю - 14,7 м/с, в то время как средняя скорость за ᴨȇрвые две секунды составляет 9,8 м/с. Средняя скорость в течение ᴨȇрвых двух секунд не даёт никакого представления о том, как происходило движение: когда тело двигалось быстрее, а когда медленнее. Если же задать средние скорости движения для каждой секунды в отдельности, то мы будем знать, например, что во 2-ю секунду тело двигалось значительно быстрее, чем в 1-ю. Однако в большинстве случаев значительно быстрее, чем нас мало устраивает. Ведь нетрудно понять, что в течение этой 2-й секунды тело также движется по-разному: в начале медленнее, в конце быстрее. А как оно движется где-то в середине этой 2-й секунды? Иными словами, как определить мгновенную скорость?

Пусть движение тела описывается законом Рассмотрим путь, пройденный телом за время от t0 до t0 + ?t, т.е. за время, равное ?t. В момент t0 телом пройден путь , в момент - путь . В связи с этим за время ?t тело прошло путь и средняя скорость движения тела за этот промежуток времени составит.

Чем меньше промежуток времени ?t, тем точнее можно установить, с какой скоростью движется тело в момент t0, так как движущееся тело не может значительно изменить скорость за малый промежуток времени. В связи с этим средняя скорость при стремлении ?t к нулю приближается к действительной скорости движения и в пределе даёт скорость движения в данный момент времени t0 (мгновенную скорость).

Таким образом,

Мгновенная скорость прямолинейного движения тела в данный момент времени t0 называется предел средней скорости за время от t0 до t0 + ?t, когда промежуток времени ?t стремится к нулю.

Итак, чтобы найти скорость прямолинейного неравномерного движения в данный момент, нужно найти предел отношения приращения пути ? к приращению времени ?t при условии т.е. Лейбниц пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением.

Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к её траектории, в связи с этим определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на её орбите сводится, к определению направления касательной к кривой.

Определение касательной как прямой, имеющей с кривой только одну общую точку, справедливое для окружности, непригодно для многих других кривых.

Задача:Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2– b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние между частицами. Найти: а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы; б) выяснить устойчиво ли это положение; в) Fmax значение силы притяжения; г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).

 

 

 

 

 

 

Решение:  Для определения r0 соответствующего равновесному

 

  положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.

 

           Используя связь между потенциальной энергией поля

 

                              U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (-2a/r3+b/r2) = 0;

при этом r = r0;  2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b;

Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:

d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(- b4/8a3)<0;

равновесие устойчивое.

Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:

F = 2a/r3— b/r2;

dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0;

при r = r1 = 3a/b;

подставляя, получу Fmax = 2a/r31 — b/r31 = - b3/27a2;

U(r) = 0;       при r = a/b;       U(r)min при r = 2, a/b = r0;

F = 0;          F(r)max при r = r1 = 3a/b;

Ответ:  F(r)max при r = r1 = 3a/b;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знак производной и общее правило нахождения производной

По знаку производной можно судить о направлении изменения функции: если производная положительна, функция растет, если производная отрицательна, функция убывает. Если производная равна нулю, то функция не растет и не убывает. В случае нелинейной функции это означает, что в точке, где производная равна нулю, функция имеет минимум или максимум (математики часто говорят "экстремум" вместо "минимум или максимум"). (Рис.11.)

 

 

 

 

 

Рис.11

 

 

Правила нахождения производных.

 

Если нам известна исходная функция, мы можем отыскать по ней ее производную. В алгебре существует достаточно много правил отыскания производных, или дифференцирования.

Если с - постоянное число, и f(x), g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Правило константы	y = C     =>    y' = 0 y = (Cf)' = C (f)'
Правило суммы	y = f(x) + g(x)    =>   y' = f '(x) + g'(x)
Правило умножения	у = ( fg )' = f 'g+g'f
Правило деления
Правило сложной функции	если y = f(x), u = g (y), то функция               u= g(f(x)) - сложная функция, или суперпозиция. u'  = g(f(x))' = g'(y)*f '(x)
Обратная функция	если для функции y = f(x) существует обратнаядифференцируемая функции             x = f -1(y), то она тоже имеет производную в соответствующей точке: (f -1(y))у=у0 =

 

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список производных основных элементарных функций.

 

 

 

 

f(x)	f '(x)	f(x)	f '(x)
С	0	sin x	cos x
ха	аха-1	cos x	– sin x
ах	ахlna	tg x
ех	ех	ctg x
log a x		arcsin x
		arccos x
		arctg x
		arcctg x

 

 

 

Кроме правил для нахождения производных нужно помнить следующие правила:

1.      переменная без показателя степени – это переменная в первой степени (x = x1);

2.      переменная в нулевой степени – это единица (x0 = 1).

Например, найти производную функции: y = x2 + 3x - 10

y' = (x2 + 3x – 10)' = (x2 )'+ (3x)' – 10'=2x2-1 + 3x1-1 - 0 = 2x1 + 3x0 = 2x + 3

 

 

 

 

 

Геометрический и механический смысл производной.

 

Геометрический смысл производной

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции   в точке x равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке x, т.е. 

Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид   – текущие координаты. Но   и уравнение касательной запишется так:  . Уравнение нормали запишется в виде  .

1.5 Механический смысл  производной

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е.   Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением  , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную   и подставить в неё соответствующее значение t.