Производная второго порядка
и её механический смысл
Получим (уравнение из проделанного
в учебнике Лисичкин В.Т. Соловейчик И.Л.
«математика» с. 240):
Таким образом, ускорение прямолинейного
движения тела в данный момент равно второй
производной пути по времени, вычисленной
для данного момента. В этом и заключается
механический смысл второй производной.
Задачи, приводящие
к понятию производной.
При изучении тех или иных процессов
и явлений часто возникает задача определения
скорости этих процессов. Её решение приводит
к понятию производной, являющемуся основным
понятием дифференциального исчисления.
Метод дифференциального исчисления
был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением
этого метода связаны имена двух великих
математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.
Ньютон пришёл к открытию дифференциального
исчисления при решении задач о скорости
движения материальной точки в данный
момент времени (мгновенной скорости).
Как известно, равномерным движением называют
такое движение, при котором тело в равные
промежутки времени проходит равные по
длине отрезки пути. Путь, пройденный телом
в единицу времени, называют скоростью равномерного
движения.
Однако чаще всего на практике
мы имеем дело с неравномерным движением.
Автомобиль, едущий по дороге, замедляет
движение у переходов и ускоряет его на
тех участках, где путь свободен; самолёт
снижает скорость при приземлении и т.д.
Поэтому чаще всего нам приходится иметь
дело с тем, что за равные отрезки времени
тело проходит различные по длине отрезки
пути. Такое движение называютнеравномерным. Его
скорость нельзя охарактеризовать одним
числом.
Часто для характеристики неравномерного
движения пользуются понятием средней
скоростидвижения за время ∆t٫ которое определяется соотношением
где ∆s – путь, пройденный телом за время
∆t.
Так, при свободном падении
тела средняя скорость его движения за
первые две секунды есть
Практически такая характеристика
движения, как средняя скорость, говорит
о движении очень мало. Действительно,
при 4,9 м/с, а за 2-ю – 14,7 м/с, в то время как
средняя скорость за первые две секунды
составляет 9,8 м/с. Средняя скорость в течение
первых двух секунд не даёт никакого представления
о том, как происходило движение: когда
тело двигалось быстрее, а когда медленнее.
Если же задать средние скорости движения
для каждой секунды в отдельности, то мы
будем знать, например, что во 2-ю секунду
тело двигалось значительно быстрее, чем
в 1-ю. Однако в большинстве случаев значительно
быстрее, чем нас мало устраивает. Ведь
нетрудно понять, что в течение этой 2-й
секунды тело также движется по-разному:
в начале медленнее, в конце быстрее. А
как оно движется где-то в середине этой
2-й секунды? Иными словами, как определить
мгновенную скорость?
Пусть движение тела описывается
законом
Рассмотрим путь, пройденный телом за
время от t0 до t0 + ∆t, т.е. за время, равное
∆t. В момент t0 телом пройден путь
, в момент
– путь
. Поэтому за время ∆t тело прошло путь
и средняя скорость движения тела за этот
промежуток времени составит.
Чем меньше промежуток времени
∆t, тем точнее можно установить, с какой
скоростью движется тело в момент t0 , так
как движущееся тело не может значительно
изменить скорость за малый промежуток
времени. Поэтому средняя скорость при
стремлении ∆t к нулю приближается к действительной
скорости движения и в пределе даёт скорость
движения
в данный момент времени t0 (мгновенную
скорость).
Таким образом,
Мгновенная скорость прямолинейного
движения тела в данный момент времени
t0называется предел средней скорости
за время от t0 до t0 + ∆t, когда промежуток
времени ∆t стремится к нулю.
Итак, чтобы найти скорость
прямолинейного неравномерного движения
в данный момент, нужно найти предел отношения
приращения пути ∆
к приращению времени ∆t при условии
т.е. Лейбниц пришёл к открытию дифференциального
исчисления при решении задачи о построении
касательной к любой кривой, заданной
своим уравнением.
Решение этой задачи имеет большое
значение. Ведь скорость движущейся точки
направлена по касательной к её траектории,
поэтому определение скорости снаряда
на его траектории, скорости любой планеты
на её орбите сводится, к определению направления
касательной к кривой.
Определение касательной как
прямой, имеющей с кривой только одну общую
точку, справедливое для окружности, непригодно
для многих других кривых.
Ниже представленное определение
касательной к кривой, не только соответствует
интуитивному представлению о ней, но
и позволяет фактически находить её направление,
т.е. вычислять угловой коэффициент касательной.
Определение и геометрический
смысл дифференциала.
Главная часть приращения функции,
линейная относительно приращения функции,
линейная относительно приращения независимой
переменой, называется дифференциалом функции
и обозначается знаком d, т.е.
.
Дифференциал функции
геометрически изображается приращением
ординаты касательной, проведённой в точке M ( x ; y )
при данных значениях x и ∆x.
Вычисление дифференциала –
.
Применение дифференциала в
приближённых вычислениях –
, приближённое значение приращения функции
совпадает с её дифференциалом.
Теорема 1. Если дифференцируемая
функция
возрастает (убывает) в данном интервале,
то производная этой функции не отрицательна
(не положительна) в этом интервале.
Теорема 2. Если производная
функция
положительна (отрицательна) в не котором
интервале, то функция в этом интервале
монотонно возрастает (монотонно убывает).
Сформулируем теперь правило
нахождения интервалов монотонности функции
1. Вычисляют производную
данной функции.
2. Находят точки, в которых
равна нулю или не существует. Эти точки
называютсякритическими для функции
3. Найденными точками область
определения функции
разбивается на интервалы, на каждом из
которых производная
сохраняет свой знак. Эти интервалы являются
интервалами монотонности.
4. Исследуют знак
на каждом из найденных интервалов. Если
на рассматриваемом интервале
, то на этом интервале
возрастает; если же
, то на таком интервале
убывает.
В зависимости от условий задачи
правило нахождения интервалов монотонности
может упрощаться.
Точка
называется точкой максимума (минимума)
функции
, если имеет место неравенство
соответственно
для любого x из не которой окрестности
точки
.
Если
– точка максимума (минимума) функции
, то говорят, что
(минимум) в точке
. Максимум и минимум функции объединяют
название экстремум функции, а точки максимума
и минимума называют точками экстремума
(экстремальными точками).
Теорема 3. (необходимый признак
экстремума). Если
является точкой экстремума функции
и производная в этой точке существует,
то она равна нулю:
.
Теорема 4. (достаточный признак
экстремума). Если производная
при переходе x через aменяет знак, то a является
точкой экстремума функции
.
Основные моменты исследования
производной:
1. Находят производную
.
2. Находят все критические
точки из области определения
функции.
3. Устанавливают знаки
производной функции при переходе
через критические точки и
выписывают точки экстремума.
4. Вычисляют значения
функции
в каждой экстремальной точке.
Правила дифференцирования.
(C)’= 0 С=const |
|
|
|
(cos x)'=-sin x |
|
(sin x)'=cos x |
|
(tg x)'=
|
(ах)'=аx ln a |
(ctg x)'=-
|
(ех)'=ex |
|
|
Производная степенно-показательной
функции
, где
.
.
Логарифмическое
дифференцирование. Пусть дана функция
. При этом предполагается,
что функция
не обращается в нуль в точке
. Покажем один из способов
нахождения производной функции
, если
очень
сложная функция и по обычным
правилам дифференцирования найти производную
затруднительно.
Так как по первоначальному
предположению
не равна нулю в точке, где ищется
ее производная, то найдем новую функцию
и вычислим ее производную
(1)
Отношение
называется логарифмической
производной функции
. Из формулы (1) получаем
. Или
Формула (2) дает простой способ
нахождения производной функции
.
Производные высших порядков.
Ясно, что производная
функции y =f (x) есть также
функция от x:
Если функция f ' (x) дифференцируема,
то её производная обозначается
символом y'' =f '' (x) и называется второй производной
функции f(x)
или производной функции
f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением
можем написать
Очень удобно пользоваться
также обозначением
, указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована
по x
два раза.
Производная второй производной,
т.е. функции y''=f '' (x) , называется
третьей производной
функции y=f(x) или производной функции
f(x) третьего
порядка и обозначается символами
.
Вообще n-я производная
или производная n-го порядка
функции
y=f(x) обозначается символами
Дифференцируя производную
первого порядка, можно получить производную
второго
порядка, а, дифференцируя полученную
функцию, получаем производную третьего
порядка и т.д. Тогда возникает
вопрос: сколько производных высших порядков
можно получить в случае произвольной
функции.
Например:
1)
;
;
; ...;
;
.
Разные функции ведут себя по-разному
при многократном дифференцировании.
Одни
имеют конечное количество
производных высших порядков, другие –
переходят
сами в себя, а третьи, хотя и
дифференцируемы бесконечное количество
раз, но
порождают новые функции, отличные
от исходной.
Однако все сформулированные
теоремы о производных первых порядков
выполняются
для производных высших порядков.
Правила дифференцирования
функций. Производная в физике и технике.
Действия нахождения производных
функций называются дифференцированием
функций и выполняются по следующим правилам:
- Производная суммы определенной
конечного числа функций равен
сумме производных слагаемых.
- Производная разности
двух функций равна разности
производных уменьшаемого и вычитаемого.
- Производная произведения
двух функций равна сумме произведений
первой функции на производную
второй функции и второй функции
на производную первой функции.
Обратите внимание! Множитель
является константой (постоянной величиной),
можно выносить за символ производной.
Производная произведения константы
и функции равна произведению константы
на производную функции.
Производная произведения трех
функций равна сумме трех слагаемых, каждый
из которых является произведением двух
из данных функций на производную третьей
функции.
- Производная частного
двух функций равна дроби, знаменатель
которой равен квадрату делителя,
а числитель - разницы между произведением
делителя на производную делимого
и произведения, разделенного на
производную делителя.
Запомните! Производной дроби,
в числителе которой некоторая функция,
а в знаменателе константа, является дробь,
в числителе которой производная числителя,
а в знаменателе та же константа.
Производной дроби, в числителе
которой константа, а в знаменателе некоторая
функция, является дробь, в числителе которой
противоположная константа, умноженная
на производную знаменателя заданного
дроби, а в знаменателе - квадрат знаменателя
заданного дроби.
- Производная сложной
функции равна производной внешней
функции, умноженной на производную
внутренней функции, т.е. производная
сложной функции равна произведению
производных функций, ее составляют.
Например, если задана функция
у = sin2x, то внутренней функцией является
тригонометрическая функция синус х, а
внешней-степенная функция квадрат синуса
х, поэтому производной заданной функции
будет произведение степененевои функции
и тригонометрической функции, а именно
2 sin x cos x.
Производные функций находят
свое применение в физике и технике.
Запомните! Скорость движения
тела является производной расстояния
как функции времени.
Ускорение движения тела есть
производная скорости или вторая производная
расстояния как функций времени.