Равенства в начальной школе

Теперь можно предлагать детям  для решения три обратные задания:

Даны предметы и величина. Нужно  построить схему;

Даны схема и предметы. Надо узнать величину;

Даны схема и величина. Нужно  подобрать предметы.

При обсуждении с детьми результатов  сравнения можно предложить детям  придумать задания с “ловушками”: с длиной — взять две одинаковые по длине нитки, которым придать разную форму; площадью — взять два одинаковых прямоугольника, один из них разрезать и превратить в квадрат и т.д.

Подведем итоги наших рассуждений. Сначала ребенок осуществляет практическое действие с предметами, которое назовем предметным действием, от которого ребенок с опорой сначала на копирующий рисунок, а затем на предметную модель переходит к графической модели, а от нее после введения математических знаков и букв для обозначения величин он перейдет к описанию этих действий с помощью формулы, т.е. к буквенно-знаковой модели, а затем (значительно позже) к словесным моделям (правилам, определениям).

знаковое:

а) с помощью знаков “=” и “¹”

б) с помощью букв и знаков “=”, “>”, “<”, (формулы)

Основная задача при введении буквенного обозначения состоит в том, чтобы  помочь ребенку мысленно отделить свойство предмета от самого предмета. Выделенной в результате сравнения отношение  равенства или неравенства должно быть обобщено в формуле, т.е. в буквенно-знаковой записи.

Удобнее вводить буквенные обозначения, используя предметы, которые можно сравнить по длине, ширине, площади и объему.

Для постановки конкретно-практической задачи ставим детям два сосуда, которые должны быть одинаковыми по объему, разными по высоте и площади основания, и просите сравнить их по какому либо признаку, изобразив результат сравнения с помощью схемы. В каждой группе должны быть одинаковые пары баночек. Раздав баночки вы быстро проходите по классу и шепотом договариваетесь с группами, по какому признаку они будут сравнивать.

 При сравнении у разных групп  получаются разные схемы (если работало больше трех групп, не забудьте перед началом обсуждения выяснить с ребятами, у каких групп получились одинаковые схемы, и рассматривать схемы по данному признаку).

Возникает проблема. Как такое могло  произойти? Почему это могло произойти? Нужно дать детям возможность обсудить этот вопрос. Обязательно найдутся ребята, которые скажут, что разные группы сравнивали по разным признакам, и даже какая схема сообщает о сравнении по высоте, какая — по объему, а какая — по площади донышек. Тогда возникает вопрос: чем дополнить схему, чтобы другим людям было понятно, по каким признакам мы сравнивали эти сосуды, когда строили каждую из схем?

Возникает потребность в буквенном  обозначении признака, а не предмета.

Предлагаем детям подумать, как  на схеме показать, по какому признаку сравнили предмет. Кто-то нарисует рядом со схемой предметы, кто-то напишет словом, кто-то воспользуется первой буквой слова — названия признака. После обсуждения всех предложений вы придете к выводу, что удобнее обозначать одной буквой, а затем познакомите ребят с буквами латинского алфавита, которые используют для обозначения. Дети дополняют свои схемы буквами и записывают с вашей помощью формулу. Используя вопросы, подводим детей к необходимости введения знаков “<”, “>”.

Далее предлагаем обратные задачи:

на восстановление предметов по схеме и формуле;

на восстановление предметов и схеме по формуле;

на восстановление предметов и  формулы по схеме;

на восстановление схемы и формулы  при сравнении предметов по определенному признаку.

В традиционной школе преобладает  знаковое моделирование — вводятся знаки отношений “>”, “<”, “=”.

Первые числовые равенства, с которыми знакомятся дети, образованы при ознакомлении с действиями сложения, вычитания  в концентре “Десяток”.

Введение знака “<” можно осуществить, выполняя такое упражнение. Учитель на доске, а учащиеся в тетрадках рисуют один предмет, например квадрат (закрашивают одну клеточку). Отступив немного (три клетки) вправо, рисуют два квадрата. Ученики делают вывод, что слева квадратов меньше, чем справа. Под одним квадратом пишут цифру 1, а под двумя — цифру 2, произносят: “Число 1 меньше числа 2” и между написанными цифрами 1 и 2 ставят знак “<”. Подобным образом вводятся записи вида 1=1, 2>1.

Чтобы учащиеся не путали знаки  “<” и “>”, полезно воспользоваться мнемоническим приемом: где палочки расходятся, записывают большее число, а где сходятся — меньшее число.

 

2.3. Подбор величин по формулам  равенства и неравенства

Основная задача данного этапа работы заключается в том, чтобы помочь ребенку осмыслить способы математического описания отношений между величинами с помощью схемы и формулы, а также восстановления величин, т.е. подбора предметов — носителей величины — по схеме или формуле. Это значит, что рассматриваются задания трех основных типов:

1) Даны предметы. Сравнивая по  тому или иному признаку, дети  чертят схему, показывающую отношение между величинами, а затем описывают это отношение в знаковой форме:

А

 

 

В

 

 

А>B или В<А А=В или В=А А<B или В>А

 

Важно, чтобы дети понимали, буквами  А и В могут быть обозначены любые величины: длина (высота, ширина, толщина, глубина, периметр, и т.д.), площадь, масса, объем, количество, величина угла, а об отношении между ними можно сообщить словами: больше-меньше, выше-ниже, шире-уже, правее-левее, старше-моложе, тяжелее-легче, толще-тоньше и т.д. В математике все эти отношения описываются понятиями “больше-меньше”. Отношение “равно-неравно” может быть в быту описано словами “столько же”, “такие же”, “одинаковые”, “разные” и др., употребляя которые ребенок должен понимать, о какой величине идет речь. Так, например, когда говорят: “Купили 6 таких же стульев”, имеют в виду не их расцветку или форму, а как правило, цену, по которой приобрели эти стулья. Или в задаче сказано: “Если сшили 8 таких же платьев”, то речь идет опять же не о фасоне или расцветке ткани, а о расходе ткани на одно платье, и т.д.

2) Дана схема, описывающая отношение  между величинами, нужно подобрать соответствующие величины (т.е. предметы-носители этих величин) и записать формулу.

3) Дана формула, описывающая  отношение между величинами, нужно  построить схему и подобрать  соответствующие величины.

Отбирая материал к уроку, нельзя использовать однотипные упражнения, как это принято в традиционной школе, для закрепления и формирования навыка. В данной системе обучения, одной из задач которой является развитие и формирование способности думать, рассуждать, мыслить, нужно для уроков подбирать задания разного типа из разных блоков, что дает ребенку возможность осмысливать изменение условий, влекущее за собой изменение способа действия, и устанавливать различные связи и отношения как между величинами, включенными в задание, так и между заданиями. Это позволит в дальнейшем осознать принцип, который положен в основу придумывания заданий по типу составления “обратных” задач, когда меняются “ролями” известные и неизвестные величины.

Для выполнения каждого из данных типов заданий хорошо использовать группу из 3-4 детей: один действует с предметами, молча демонстрируя способ их сравнения, другой описывает результат сравнения с помощью схемы, третий на основании либо схемы, либо увиденного способа сравнения величин обозначает их буквами и записывает формулу (равенства или неравенства), используя знаки “=”, “>” и “<”, а четвертый выступает контролером, при этом разные группы могут работать с разными величинами.

Обсуждение итогов работы каждой группы может происходить следующим образом: каждая группа называет величину, с которой она работала. Остальные дети по схеме и формуле определяют, какие предметы могла сравнивать группа и какие ошибки при сравнении, при составлении схемы или записи формулы она могла допустить.

После такой проверки можно предложить группам, парам или отдельным детям (по выбору) придумать свои задания на сравнение или восстановление величин (с которой она работала) по схеме и формуле. Придумав задание, каждый должен выполнить свое задание так, как он хотел бы, чтобы его выполнили другие, а затем организовать “аукцион” заданий, при котором каждый выбирает понравившееся ему (из придуманных детьми) задание.

Предложенные задания можно  классифицировать и по другому основанию: большинство из перечисленных заданий позволяет детям познакомиться с основными свойствами равенства и неравенств, однако названий рассматриваемых свойств детям сообщать не нужно. Главное, что дети должны понять, что иногда непосредственного сравнения величин производить не нужно, чтобы узнать, в каком отношении они находятся, т.е. вывод можно сделать, опираясь на результаты сравнения этих величин с другими.

Так, если А=В, то В=А (свойство симметричности), т.е. А сравнили с В, то нет необходимости  вновь брать в руки предметы, чтобы  сравнивать В и А. Если же А=В, а  В=С, то нет необходимости А и  С сравнивать непосредственно, так как А наверняка будет равно С, — это свойство транзитивности равенства. Аналогично можно рассмотреть транзитивность неравенства: если А>В, а В>С, то А>С, и если А<В, а В<С, то А<С.

Тот факт, что буквой может быть обозначена любая величина, дает возможность  приступить к использованию дошкольного опыта ребенка, а именно: после составления одной из формулы А>В или А<В предлагать детям подбирать вместо букв подходящие числа. Здесь слово “подходящие” относится как к самому отношению (больше или меньше), так и к дошкольному опыту ребенка, что дает возможность каждому ребенку продемонстрировать свою дошкольную подготовку и при этом быть успешным при любом объеме дошкольных умений.

Переход от букв к подходящим числам дает возможность и для обратных действий, при которых дети восстанавливают буквенные формулы с помощью числовых. Этот обратный переход можно задать следующим образом: “Дети в другом классе вместо букв в формуле подобрали подходящие числа. Вот что они записали: 7<8. Как вы думаете, какая была формула?” Дайте возможность обсудить это в группах.

В дополнение к указанным заданиям необходимо предложить выполнить задание с “ловушкой”:

- поставить двое весов: на  одни весы положить одинаковые  по массе предметы и на другие  тоже. Записать либо М₁=М₂ и М₃=М₄, либо А=В и С=Д.

Возникает вопрос: можно ли, не взвешивая  самих предметов, сравнить массы  А и Д (а следовательно, и В  и Д, А и С, В и С)? Если ребенок понимает свойство транзитивности, то он должен утверждать, что такого сравнения без взвешивания сделать нельзя, массы А и Д могут оказаться как одинаковыми, так и разными.

Если ребенок обращает внимание только на знаки равенства, а связи  между сравниваемыми величинами не видит, то его вывод будет неверным, т.е. он будет утверждать: А=Д. Тогда  и возникает вопрос: как не ошибиться? Для этого следует сделать две записи и сравнить их.

 I II

 А=В, а В=Д А=В, а С=Д

 Сравнить

 А и Д   А и Д

Первая позволяет без непосредственного  сравнивания сделать вывод А=Д, а вторая нет: может оказаться  А>Д, А<Д, А=Д, все будет зависеть именно от отношения между А и С.

Схема даст возможность обосновать свою точку зрения, а затем вновь  вернуться к равенствам, по которым  можно определить, во-первых, сколько  величин участвует в сравнении  и, во вторых, как связаны эти величины между собой. Могут появиться следующие записи и схемы.

Важно помнить, что обсуждение данного  материала следует начинать не до того, как дети собираются чертить  схемы, а после того, как схемы  к формулам готовы.

Традиционно же все делается наоборот: сначала дети говорят, обсуждают, как выполнять задание, а потом его делают, а в этой системе обучения нужно сначала сделать (осуществить практическое действие), а затем обсуждать, как это сделали и как научить других делать то, что умеешь делать сам. Повторю, это коренное и принципиальное отличие подхода к обучению в системе РО.

Итогом работы над данной темой  является составление справочника  ошибок, в который как раз включаются все возможные ошибки, которые  были или могут быть у детей. Фиксируя их в справочнике любым удобным для детей способом, необходимо каждый раз возвращаться к вопросам о происхождении этих ошибок, а также к способам их обнаружения и исправления, что является необходимым этапом дальнейшего предупреждения этих ошибок.

 

2.4. Переход от неравенства к  равенству и наоборот

Основная задача в том, чтобы  дети смогли найти три способа  уравнивания:

1) путем увеличения одной (меньшей)  величины до ее равенства с  другой (большей), т.е. с помощью сложения:

             А                                                                      А

        В                        После уравнивания             В           С

 

                   А>В                                                     А = В + С

2) путем уменьшения одной (большей)  до ее равенства с другой  меньшей, т.е. с помощью вычитания:

              А               А

        В                        После уравнивания           В     В        С

   

                   А>В                                                     А – С = В

 

 3) путем уменьшения одной и  увеличения другой на одну и ту же величину:

      А               А

                 В                       После уравнивания                С   С         К

 

                           А>В           В         К

     А – К = В + К

Третий способ предполагает свободное владение первыми двумя.

Итак, два первых способа уравнивания  величин являются основными.

Постановку задачи, требующей уравнивания  величин, начнем со сказочного сюжета о Незнайке.

Прочитайте ту часть сказки, в  которой рассказывается о том, как Винтик и Шпунтик изобрели автомобиль, который работал на газированной воде с сиропом.

Результатом обсуждения возможных  причин остановки машины станет постановка задачи, требующей уравнивания величин.

Нужно в бак налить столько сиропа, сколько его не хватает, чтобы бак стал полным.