Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов

Министерство образования и науки РФ

Елецкий государственный  университет им И.А. Бунина

 

Физико-математический факультет

 

Кафедра математического  анализа

 и элементарной  математики

 

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ  РЯДОВ

 

Курсовая работа

студента 2 курса

САМОЙЛОВА Никиты Сергеевича

 

 

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук, доцент

Мельников Роман Анатольевич

 

 

 

Елец, 2012

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение 3

  

Глава I. Теоретическая основа применения степенных рядов для решения однородных дифференциальных уравнений. 4

§1. О степенных рядах

    1.1. Степенные ряды. 4

    1.2. Сходимость степенных рядов. 6

                  1.3. Наиболее распространенные степенные ряды…………………….9

 

       §2. Решение дифференциальных уравнений с помощью

       степенных рядов……………………………………………………………...10

       §3. Реализация метода интегрирования уравнения Эйри-Фока

       с помощью степенных рядов…………………………………………..13

 

Глава II. Практическое применение степенных рядов для    интегрирования общих дифференциальных уравнений. 16

 

Заключение 23

Список литературы 24

 

 

 

            

Введение

         Термин "дифференциальное уравнение" принадлежит Лейбницу (1676, опубликовано в 1684 г.). Начало исследований по дифференциальным уравнениям восходит ко временам Лейбница, Ньютона, в работах которых исследовались первые задачи, приводящие к таким уравнениям. Лейбниц, Ньютон, братья Я. и И. Бернулли разрабатывали методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве универсального способа использовались разложения интегралов дифференциальных уравнений в степенные ряды.

          Сейчас широкое внедрение в науку вычислительных методов, связанное с появлением вычислительных средств большой мощности, требует переоценки значения различных разделов математики и, в частности, разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящее время выросло значение методов качественного исследования решений дифференциальных уравнений, а также методов приближённого нахождения решений.

          Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в элементарных функциях или квадратурах. В этих случаях пользуются приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равна искомому решению. Указанный степенной ряд находят способом неопределенных коэффициентов или способом, основанным на применении ряда Тейлора (Маклорена).

           Цель данной работы - изучение теоретического и практического материала по данной теме и применение его к решению расчетного задания. Объектом исследования выступает процесс интегрирования дифференциальных уравнений методом степенных рядов. Предметом исследования являются формы, методы и средства интегрирования дифференциальных уравнений степенными рядами.

 

Глава I. Теоретические основы применения степенных

рядов для решения  однородных дифференциальных уравнений.

 

§1. О  степенных рядах

 1.1 Степенные ряды

    Степенные ряды  являются частным случаем функциональных рядов.

Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида .(1.1)

Здесь – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.

При степенной ряд (1.1) принимает вид

. (1.2)

Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности , ряд (1.2) – рядом по степеням х.

Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.  Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию , определенную в интервале сходимости , т. е.

.

 

(В. А. ИЛЬИН, Э. Г.  ПОЗНЯК., 1973)

 

Приведем несколько свойств  функции  .

Свойство 1. Функция является непрерывной на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости .

Свойство 2. Функция дифференцируема на интервале , и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.

,

для всех .

Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции для всех может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.

для всех .

Следует отметить, что при  почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала может измениться.

Приведенные свойства справедливы  также и для степенных рядов (1.1).

 

1.2 Сходимость степенных рядов

Определение 1.2. Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Ряд (1.1) с помощью подстановки  приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).

Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая  теорема.

 

          Теорема 1.1 (Теорема Абеля): если степенной ряд (1.2) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ; если же ряд (1.2) расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

Теорема Абеля дает ясное  представление о структуре области  сходимости степенного ряда.

Теорема 1.2:  область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:

         1) ; 2) ; 3) ; 4) ,

где R – некоторое неотрицательное действительное число или .

         Число R называется радиусом сходимости, интервал – интервалом сходимости степенного ряда (1.2).

Если  , то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось .

Если  , то интервал сходимости вырождается в точку .

Замечание: если – интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то – интервал сходимости для степенного ряда (1.1).

Из теоремы 1.2 следует, что  для практического нахождения области  сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости , т. е. при и .

Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:

формула Даламбера:

;(1.3)

формула Коши:

.(1.4)

Если в формуле Коши , то полагают , если , то полагают .

Пример 1.1. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда .

 

Решение

Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле

В нашем случае

, .

Тогда .

Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид  .

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При степенной ряд превращается в числовой ряд.

                    .

 

который расходится как гармонический  ряд.

При степенной ряд превращается в числовой ряд

.

 

Это – знакочередующийся  ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и  . Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.

Таким образом, промежуток – область сходимости данного степенного ряда.

 

1.3 Наиболее распространенные степенные ряды

Здесь представлены наиболее распространенные степенные ряды:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2. Решение дифференциальных уравнений с помощью

степенных рядов

 

         С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

        Рассмотрим  линейное дифференциальное уравнение  вида:

                   

                y⁽ⁿ⁾+p₁(x)y^(n-1)+p₂(x)y^(n-2)+…+p_n(x)y=f(x)

 

         Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.

Это решение можно представить  степенным рядом:

______________________________________________________________

(Л. Э. ЭЛЬСГОЛЬЦ. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М., "Наука", 1969)

                              y=c₀+c₁x+c₂x²+c₃x³+…          

 

       Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c_i.

       Эта  задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)

       Затем  приравниваем коэффициенты при  одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты c_i.           

 Отметим, что этот  метод применим и к нелинейным  дифференциальным уравнениям.

       Пример. Найти решение уравнения y^"-xy=0 c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

 

      Решение  уравнения будем искать в виде 

                                    

                                              

 

 

     Подставляем  полученные выражения в исходное  уравнение:

 

 

 

 

     Отсюда получаем:                                      

                                    

………………

Получаем, подставив начальные  условия в выражения для искомой  функции и ее первой производной:

Окончательно получим:     

 

Итого:   

 

 

 

         Существует и другой метод  решения дифференциальных уравнений  с помощью рядов. Он носит  название метод последовательного дифференцирования.     

 

 Рассмотрим тот же  пример. Решение дифференциального  уравнения будем искать в виде  разложения неизвестной функции  в ряд Маклорена.

 

 

 

  Если заданные начальные  условия  y(0)=1,  y’(0)=0  подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что    

Далее запишем дифференциальное уравнение в виде   и будем последовательно дифференцировать его по х.

 

 

 

   После подстановки полученных значений получаем: 

                                         

 

 

§3. Реализация метода интегрирования уравнения Эйри-Фока

с помощью  степенных рядов

Линейное уравнение с  постоянными коэффициентами представляет собой некоторый класс уравнений, для которых фундаментальная  система решений может быть выписана эффективным образом.

Как же строится фундаментальная  система решений в общем случае уравнения с переменными коэффициентами? Дадим представление о способе  построения фундаментальной системы  решений, использующем теорию степенных  рядов и применимом, когда коэффициенты уравнения являются аналитическими функциями, то есть представимы в  виде степенных рядов. Идея метода такова. Решение ищется в простейшем случае в виде ряда, затем этот ряд представляется в уравнение, в котором коэффициенты записываются также в виде степенного ряда. Приравнивая в полученном степенном ряда

____________________________________________________________________________________________________________________

(А. Н. ТИХОНОВ, А. В.  ВАСИЛЬЕВА, А. Г. СВЕШНИКОВ., 1985, стр. 105-108)

Коэффициенты при каждой степени x нулю. Получим уравнение для определения .

  Отметим, что, строя  решение в виде степенного  ряда, мы во многих случаях  получаем так называемые специальные  функции, широко используемые  как в теоретических, так и  в прикладных вопросах.

  Рассмотрим уравнение

y^"+xy=0,  (1)

 

называемое уравнением Эйри. Оно встречается в различных приложениях, например в квантовой механике. Это простейшее уравнение второго порядка с переменным коэффициентом, однако оно не поддается решению элементарными методами.  

   Будем искать решение  уравнения (1) в виде так называемого  формального

Ряда

y=  (2)

 

Заранее ничего не известно о сходимости этого ряда, и поэтому  все операции, которые мы сейчас будем проделывать с этим рядом, будут носить формальный характер; на эти операции надо смотреть как  на алгоритм определения коэффициентов  ряда a_k. Когда же коэффициенты будут определены, перейдем к этапу обоснования того, что ряд (2) в самом деле сходится и определяемая им функция y(x) действительно является решением уравнения (1).

    Итак, дифференцируем  формально ряд (2) и подставляем  в (1).

Получим

 

 

 

 

Приравниваем теперь коэффициенты при одинаковых степенях x.

Имеем

 

 

           …………………………………………………………                  (3)     

Из (3) видно, что

1. Коэффициенты вида a_3q выражаются через a₀:

                 ,

 

2. Коэффициенты вида a_3q+1 выражаются через а₁: