Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов

 

 

Причем само а₁ остается неопределенным, и, наконец,

3. Коэффициенты вида выражается через :

 

 

 

так как a₂=0.

Пологая, напротив, a₀=1, a₁=0, получим ряд

 

 

 

 

Глава II. Практическое применение степенных рядов для    интегрирования общих дифференциальных уравнений

 

Метод степенных рядов

Если коэффициенты р₀(х), p_i(x), Р₂(х) дифференциального уравнения

 

Р₀(х)у" + p_i(x)y’+ р₂(х)у = 0                    (1)

 

в окрестности точки х = х₀ являются аналитическими функциями, т. е. разлагающимися в ряд по степеням х — х₀, и р₀(х₀)≠0, то решения этого уравнения в некоторой окрестности указанной точки также аналитичны. Если же точка х = х₀ является s- кратным нулем функции р₀, s - 1-кратным (или выше) нулем функции p₁ (если s > 1) и s — 2-кратным (или выше) нулем функции р₂ (если s > 2), то существует по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения (1) в виде суммы обобщенного степенного ряда

 

у(х) = (x-x₀)^r

 

где r — некоторое число.

Если функция f является аналитической в окрестности точки (х₀, у₀), то решение задачи

y' = f(x, y), у(х₀) = y

 

также является аналитической  функцией в окрестности точки х =x₀.  Аналогично, если функция  f = f(x,y,y', ... , y⁽ⁿ⁾) является аналитической в окрестности точки (x₀, y₀, y'₀, … ,y₀^(n-1)) то существует решение задачи

 

y⁽ⁿ⁾= f, y(x₀) = y₀, у'(х₀) = у'₀, ... , у^(n-1)(х₀) = у₀^(n-1)

 

в виде ряда по степеням (х—х₀). Для отыскания коэффициентов ряда часто используется формула Тейлора.

______________________________________________________________

(А. К. БОЯРЧУК,  Г. П. ГОЛОВАЧ., 2001, стр. 256-265)

В каждой из задач 1-3 найти  в виде степенного ряда решение, удовлетворяющее  данным начальным условиям. Вычислить  несколько первых коэффициентов  ряда.

Задача 1.

 

у' = y²-x; у(0) = 1.

 Функция f(x, у) = у²- х является аналитической по совокупности переменных х, у в окрестности точки (0, 1), поэтому существует аналитическое решение этой задачи

 

 

Подставив его в данное уравнение, получаем тождество по х:

 

a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + ... = (а₀ +a₁x+a₂x² + a₃x³ + ...)² — х.

 

Приравнивая коэффициенты при  одинаковых степенях х, будем иметь систему уравнений относительно чисел а_i (i = 0, 1, 2, ...):

 

a₁ = а₀², 2а₂=2a₀a₁-1,   3a₃=a₁²=2a₀a₂, 4a₄=2a₁a₃, ….

 

Так как у(0) = 1, то a₀ = 1. А тогда из уравнений полученной системы последовательно находим:

 

 

Таким образом, приближенное решение имеет вид:

 

 

 

Задача 2.

у' = у + хе^y;  у(0) = 0.

Функцию f(x, y) = у+ хе^y разложим в степенной ряд в окрестности точки (0, 0) по степеням x, у :

 

 

 

Далее, принимая во внимание начальное условие, ищем решение  в виде ряда

 

у(х) = a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+….

 

Подставив его в уравнение

 

 

и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений:

 

a₁=0, 2a₂=1, 3a₃=a₂, 4a₃=a₃+a₂, … ,

 

откуда находим

 

Следовательно,

 

 

 

Задача 3.

у" = ху' – у²; у(0) = 1, у'(0) = 2.

 Как и в предыдущих  задачах, приближенное решение  у(х) можно было бы получить в виде частичной суммы степенного ряда, находя коэффициенты его из некоторой системы рекуррентных уравнений. Однако в данном случае мы поступим по-другому. Именно, зная, что искомый степенной ряд является рядом Тейлора, путем последовательного дифференцирования правой части данного уравнения по х вычисляем нужного порядка производные в точке х = 0. Таким образом, учитывая начальные условия, имеем:

                                                                        (0)=-1,

 

         

 

                     (0)=-8, …

 

Следовательно, по формуле  Тейлора,

 

 

В следующей задаче мы будем  находить те решения данных уравнений, которые выражаются степенными (или  обобщенными степенными) рядами.

Задача 4.

 

xу" + 2у' + ху = 0.

 

Поскольку функция р₀ = р₀(х) = x имеет в точке x= 0 нуль

1-го порядка, функция p₂ = р₂(х) = x нулей не имеет, а функция р₂ = p₂(х) = x имеет в этой точке нуль 1-го порядка, то, согласно методу степенных рядов, существует по крайней мере одно нетривиальное решение данного уравнения в виде суммы обобщенного степенного ряда

 

 

Подставив ряд в данное уравнение и приравняв коэффициенты при x⁰, x, ..., получим:

 

 

 

Ясно, что нетривиальное  решение возможно только при условии a₀²+a₁²≠0 . Пусть a₀ = 1, a₁ = 0. Тогда из первого уравнения следует, что r(r + 1) = 0. Взяв r = 0, из третьего уравнения последовательно находим:

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

Далее, положив r=-1 (a₀=1, a₁=0), получаем:

 

 

 

Поэтому второе частное решение имеет вид:

 

 

Пусть а₀ = 0, a₁ = 1. Тогда из второго уравнения следует, что (r + 1)(r + 2) = 0. Полагая, например, r = - 1, из третьего уравнения последовательно находим:

 

 

Таким образом,

 

 

Если же положим r=-2, то аналогично будем иметь

 

 

 

Итак, если x≠0, то два линейно независимых частных решения представляются в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

       Значение степенных рядов на практике очень велико. С их помощью можно находить приближенные значения функций, значения которых очень трудно или невозможно посчитать. Так как решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в элементарных функциях или квадратурах. В этих случаях пользуются приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равна искомому решению. Указанный степенной ряд находят способом неопределенных коэффициентов.

       В ходе работы мы  изучили теоретическую основу данного вопроса и на практике смогли показать примеры решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 
1. БОЯРЧУК А.К. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах Т. 5 / Г. П. ГОЛОВАЧ. - М.: Эдиториал УРСС , 2001.-384 с.                                        2. ИЛЬИН В. А. Основы математического анализа ч.I / Э. Г. ПОЗНЯК. - М.: Наука, 1971. - 599 с. 
3. ТИХОНОВ А. Н. Дифференциальные уравнения / А. В. ВАСИЛЬЕВА,      А. Г. СВЕШНИКОВ. - М.: Наука, 1985. - 231 с. 
4. ЭЛЬСГОЛЬЦ Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / М.: Наука, 1969. - 424 с.