Шпаргалка по "Математическому анализу"

1. Элементы теории множеств

Множеством называется совокупность элементов определенной природы.

Например: множество чисел, геометрических фигур, векторов и т.д.

Элементы множества  обозначаются буквами a,b,c, …; x, y, z, …

Множества обозначаются заглавными буквами:

B = {b1, b2,…,bn}

Существуют  стандартные обозначения множеств:

      N - множество натуральных чисел {1,2,3}

      Z - множество целых чисел {0,+-1,+-2}

      Q - множество рациональных чисел {m/n}

      R - множество действительный чисел

Над  множествами приняты следующие операции:

1. Сложение (присоединение) È.

Сложением множеств A и B называется мн-во С, состоящее из всех элементов А и В

2. Умножение (пересечение) Ç.

Умножением множеств A и B называется мн-во С, состоящее из элементов А и В одновременно.

3. Разность \.

Разностью множеств A и B называется мн-во С, состоящее из элементов АÏВ.

4. Подмножество АÌВ.

А называется подмножеством  В если все элементы АÎВ

5. Равенство

Если АÌВ и ВÌА, то А=В

Для записи математ. выражений используется квантр всеобщности «"» и квантр существования «$»

Выпуклые  свойства и их свойства.

ОПР. Мн-во U наз. выпуклым, если с любыми своими точками содержит отрезок их соединяющий, т.е.: u₁,u₂ÎU=>u=au₁+(1-a)u₂ ÎU, 0£a£1.

1)Пересечение любого числа вып. мн-в есть мн-о выпуклое, т.е.: U=ÇU_i , U_i-выпуклые (i=1,l), тогда U – тоже выпукло. Док-во: Возьмём u_i,u₂ÎU, а мн-во U=ÇU_i=> u_i,u₂ÎU_i. Т.к. " U_i- выпукло, то вместе с точками u₁,u₂ точка u=au₁+(1-a)u₂ Î U_i,0£a£1.

Из того, что  мн-во U=ÇU_i, а точка uÎ U_i, то uÎÇU_i

2)Пусть точки  U_i принадлежат вып. мн-ву U. Тогда точка u=åa_iu_i Î U, если åa_i=1. Точка u наз. выпуклой комбинацией точек U_i. Например, любая внутр. точка круга есть вып. комбинация точек пересечения хорды с кругом, проходящей через точку.

Множество вещественных чисел

Множество вещественных чисел {x} называется ограниченным  сверху (снизу), если существует число M ( m ) такое, что   x £ M  (   x ³ m).

 Число M называется  верхней гранью числового множества  {x}. Аналогично, число  m называется  нижней гранью числового множества  {x}.

Верхних  (нижних) граней бесконечно много,  так как  любое число, большее  M (меньшее m), есть также верхняя  (нижняя) грань.

Наименьшая из верхних граней называется точной верхней  гранью или супремумом числового  множества {x}  (обозначение sup{x}).

 

4. Наибольшая  из нижних граней называется  точной нижней гранью или инфимумом  числового множества {x}  (обозначение  inf{x}).

Более точно,  эти понятия выражаются следующими  свойствами:

 Супремум  sup{x} , .

Инфимум  inf{x} , .

Теорема о существовании  супремума и инфимума числового множества.

 Если числовое  множество {x} не пусто и ограничено  сверху, то у него существует sup{x}.

Если числовое  множество {x} не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf{x}.

2. Функция

Если к каждому  значению х независимой переменной ставится в соответствии по известному закону некоторое число у,то говорят что на множестве х задана функция Y=f(X)

При этом Х назв. независимой переменной, У- зависимой  переменной

Область определения, область значения функции

Область определения функции  - множество возможных значений, которые может  принимать аргумент.

Область значений функции — множество значений, которые принимает функция в  результате ее применения

Способы задания  и основные свойства функции.

Словесный: С  помощью естественного языка Игрек равно целая часть от икс. Аналитический: С помощью аналитической формулы f (x) = x!

Графический С  помощью графика Фрагмент графика  функции .

Табличный: С  помощью таблицы значений

Свойства функции.

 

1. Чётность. Если облать  определения функции симметричня относительно

нуля и f(-x)=f(x) "xÎD(f), то функция  у=f(x) называется чётной.

Если

f(-x)= - f(x)  "xÎD(f), то функция  у=f(x) называется нечётной.

Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция  обшего вида.

2. Монотонность.  функция у=f(x) – возрастающая , если для

любого х1 и х2 из области  определения функции (х1

<х2) выполняется неравенство  f(x1)<f(x2)

Функция у=f(x) – убывающая, если для любого х1 и х2

из области определения  функции (х1>х2) выполняется

неравенство f(x1)>f(x2).

Возрастающие  или убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной  на некотором

промежутке , если существует М>0, MÎR|"xÎданному промежутку

|f(x)|£M.

Функция  у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mÎR

|"xÎданному  промежутку m£f(x). Функция  у=f(x) называется 

ограниченной  сверху, если существует mÎR |"xÎданному промежутку

m³f(x).

4. Периодичность.  Функция  у=f(x) называется периодической  с

периодом Т  не равным нулю, если выволняется условие f(x+ - T)=f(x).

Основные  элементарные функции.

 

1. Степенная. y=xa, a=const, aÎR. D(f)=(0;+¥). Если aÎNÞD(f)=R.

     2. Показательная. y=ax

, a>0,a не равно  1. D(f)=R/ E(f)=(0;+¥). Если a>1, следовательно,

функция возрастает. Если аÎ(0;1), функция убывает.

3. Логарифмическая. y=logax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+¥),

E(f)=R. Если a>1, следовательно,  функция возрастает. Если аÎ(0;1),

функция убывает.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрические.

 

 

3. Виды преобразований графиков функций

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц

y = f(x - b) 

-вправо, если b > 0;

-влево, если b < 0.

y = f(x + b) 

-влево, если b > 0;

-вправо, если b < 0

Параллельный перенос  графика вдоль оси ординат  на | m | единиц

y = f(x) + m 

-вверх, если m > 0,

-вниз, если m < 0.

Отражение графика

y = f( - x) Симметричное отражение графика относительно оси ординат.

y = - f(x) Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

Сжатие и растяжение графика

y = f(kx) 

-При k > 1 —  сжатие графика к оси ординат в k раз,

-при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси  ординат в k раз.

y = kf(x) 

-При k > 1 —  растяжение графика от оси  абсцисс в k раз,

-при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси  абсцисс в k раз.

Преобразования  графика с модулем

y = | f(x) | 

-При f(x) > 0 —  график остаётся без изменений,

-при f(x) < 0 —  график симметрично отражается  относительно оси абсцисс.

y = f( | x | ) 

-При x0  —  график остаётся без изменений,

-при x < 0 —  график симметрично отражается  относительно оси ординат.

 

 

 

Суперпозиция  функций

 

Обратная  функция, ее график и свойства

 

4. Числовые последовательности

Если  каждому  числу n натурального ряда чисел 1,2,3..n ставится соответствие некоторое вещественное число Xn,то множество вещ.чисел X1,X2,X3..Xn назыв.числовой последовательностью или просто последовательностью.

ЧислаXn назыв.элементами или членами последовательности {Xn}

предел числовой последовательности

Определение 1. Конечное число а называется пределом числовой последовательности x1; x2; ... ; хn; ... (или  просто {хn}), если для любого  > 0 (сколь угодно малого) существует число N = N() такое, что |хn - а| N.

Обозначение:  = а.

Определение 2. Числовая последовательность имеет бесконечный  предел, если для любого  > 0 (сколь  угодно большого) существует число N = N() такое, что | хn  при всех n > N.

Обозначение: =

Определение 3. Последовательность {хn} называется бесконечно малой, если  = 0.

Определение 4. Последовательность {хn} называется бесконечно большой, если  =

Теорема 1. Пусть  существуют конечные пределы последовательностей {хn} и {yn}.

1) Если существует  порядковый номер N, начиная с  которого (n > N) выполняется условие  хn < yn , то  N) выполняется условие хn = С, С - const, то  = С.

Замечание. Операция [а] означает выделение целой части  числа а, не превышающей самого числа  а. Например, [5, 43] = 5; [-5, 43] = -6; [4] = 4 и т. д.

Существование предела монотонной и ограниченной последовательности

Признаки  существования предела последовательности

*Если числовая  последовательность  монотонна и ограничена, то она имеет предел.

*Если в некоторой  окрестности точки x0 (или при  достаточно больших значениях  x) функция f(x) заключена между  двумя функциями j(x) и y(x), имеющими одинаковый предел A при (или ), то функция f(x) имеет тот же пр.

 

 

5. Предел функции в точке и на бесконечности.

Введем понятие  предела функции когда независимая пе-

 

ременная х  приближается к т. а.

 

О: Число b называется пределом функции при

 

если для любого числа  > 0 существует такое число зависящее только от ,что из неравенства следует неравенство

 

 

Символическая запись определения:

Дадим геометрическое истолкование предела функции в  точке. Имеем

 т.е. если х содержится  в окрестности т. а, то график функции находится в полосе между у= b - и у = b + (рис. 7.1). Отметим, что если функция имеет предел при то он единственен. Действительно, в силу определения функции при наличии двух пределов и b2 x->a при график функции не мог бы находиться сразу внутри двух полос:

если 

Аналогично определению  предела последовательности вводится и предел функции при

 Пределы монотонных последовательностей

Предел монотонной функции

 

         Функция f(x) называется

 

монотонно возрастающей, если из x1>x2 следует f(x1)³ f(x2);

 

строго монотонно  возрастающей, если из x1>x2 следует f(x1)> f(x2).

 

Оба эти случая объединяют символом f(x).

 

         Функция f(x) называется

 

монотонно убывающей, если из x1>x2 следует f(x1)£ f(x2);

 

строго монотонно  возрастающей, если из x1>x2 следует f(x1)< f(x2).

 

Оба эти случая объединяют символом f(x)¯.

 

         Теорема.

 

         Если f(x) при x<a и ограничена сверху то существует конечный

 

         Если f(x) при x<a но сверху не  ограничена, то 

 

         Аналогичные формулировки имеют  место и для монотонно убывающей  функции.

         1.11 Признак Больцано-Коши существования  предела функции.

 

         Теорема. Для того, чтобы при  x стремящимся к a существовал  конечный  , необходимо и достаточно, чтобы

 

.

 

         Эта  теорема является одной из  важнейших теорем теории пределов.

Замечательные пределы 

*1-й замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB  через Х.

Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

*2-й замечательный предел.

Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

Если x→∞, то n→∞, тогда

По признаку о существовании  пределов:

 

6.Бесконечно малые и бесконечно большие функции (величины), их свойства.

Определение 8 (бесконечно малая  функция).  Функция называется бесконечно малой в точке a или при x® a, если

limx ® af(x) = 0

Пример 10.

f(x) = 1/x, x ® Ґ 

f(x) = x2, x ® 0

f(x) = 1-cos x, x ® 0

Заметим, что  если функция f(x) имеет предел в точке a, равный A, то функция a (x) = f(x)-A является бесконечно малой в точке a. То есть, если функция f(x) имеет предел A в  точке a, то f(x) = A+a, где limx® aa (x) = 0.

Отметим некоторые свойства бесконечно малых функций.

Теорема 4 (свойства бесконечно малых функций).

 Алгебраическая сумма  конечного числа бесконечно малых  функций есть бесконечно малая  функция. 

 Произведение бесконечно  малой функции на ограниченную  функцию есть бесконечно малая. 

 Произведение конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой.

Определение 9 (бесконечно большая функция).  Функция называется бесконечно большой при x® a или в  точке a, если для любого положительного числа e найдется такое положительное d(e), что для всех x№ a и удовлетворяющих условию |x-a|<d будет выполнено неравенство |f(x)|>e .

Аналогично можно дать определение бесконечно большой  при x® Ґ. Приведем его в символической  записи:

limx® Ґf(x) = Ґ Ы " e>0 $ d(e)>0 " x:|x|>d |f(x)|>e.

Предложение 1. a(x) бесконечно малая функция при x® a Ы 1/a(x) — бесконечно большая при x ® a

Пример 11.  y = x2 – бесконечно малая функция при x ® 0 , а y = 1/x2 –  бесконечно большая при x ® 0.

Сравнение бесконечно малых функций

Две б.м. функций сравниваються  между собой с помощью их отношения(сумма, разность и произведение).

Рассмотрим правило сравнения  б.м. функций:

*Пусть при х®х0 функции a(х) и b(х) являються б.м., т.е. Lima(х){при х®х0}=0 и Limb(х){при х®х0}=0, тогда Правила:1)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=0, то a(х) – б.м. более высокого порядка, чем b(х). 2)Если Lima(x)/b(х){при х®х0}=А¹0, то a(х) иb(х) – б.м. одного порядка. 3)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=1, то a(х) и b(х) – эквивалентные б.м.. Иногда нужно оценивать как высок порядок б.м. более высокого порядка, поэтому 4)Если Lima(х)/ (х){при х®х0}=А¹0, то a(х) – б.м. n-го порядка относительно b(х)

Замечания: Для сравнения  б.м. функций, при х®∞, х®+\-∞, х®х0+\-. Существует аналогичное правило.

Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение в вычислениях пределов.

Две функции  и называются эквивалентными бесконечно малыми, при , если

,