Шпаргалка по "Математическому анализу"

это записывают при .

При вычислении пределов функций в точке и  на бесконечности удобно пользоваться следующей теоремой:

Если  , и - некоторые функции, определенные в

окрестности точки (на числовой полуоси) и при

   , то

                       .   (16)               

Формула (16) показывает, что в произведении можно заменять функцию – сомножитель на эквивалентную ей – более простую для вычисления предела.

 

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пусть , если .  Тогда справедливы следующие эквивалентности:

; (17)    

  ; (18)  

  ; (19)      

  ; (20)              

  ; (21)              

                            (22)  

                                     (23)             

     (24)  

 

 

7.Непрерывность  функции в точке. Свойства функций,  непрерывных  в  точке. Точки  разрыва функции. 

Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

 

 

Тот же факт можно записать иначе:  _.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство                        .

Функция f(x)называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной. 

f(x) = f(x₀) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х®х₀.

Свойства  непрерывных функций. 

1) Сумма, разность  и произведение непрерывных в  точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀. 

2) Частное двух  непрерывных функций  – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀. 

3) Суперпозиция  непрерывных функций – есть  непрерывная функция.Если u = f(x),  v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции  разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  
Говорят,что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

Существуют левосторонний  предел   и правосторонний предел  ;

Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие  два случая:Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов  называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. 

8.Непрерывность  функции на отрезке. Свойства  функций, непрерывных на отрезке:  ограниченность, существование наибольшего  и наименьшего значений, существование  промежуточных значений.

Функцию y=f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Свойства: 1Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a,b] выполняется условие –M £ f(x) £ M. 2. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.3. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.4. Если функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак.5. Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0. 6. Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.7. Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна

8.Непрерывность  функции на отрезке

Непрерывность функции в интервале и на отрезке

функция y=f(x) называется непрерывной в интервале от a до b (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a;b) и в точке х=а непрерывна справа, а в точке х=b непрерывна слева.

Свойства  функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и  наименьшего значений, существование  промежуточных значений.

Функция f(x) называется ограниченной на отрезке [a;b], если существует такое c=const, c>0, что модуль функции |f(x)|£c для всех xÎ[a;b], в противном случае функция называется неограниченной на отрезке.

Теорема: всякая непрерывная на отрезке [a;b] функция ограничена на отрезке [a;b]

Теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема: если функция  непрерывна на [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка с, значение функции в которой равно 0.

 

9.Числовые  ряды. Сходимость ряда. Необходимый  признак сходимости ряда. Эталонные  ряды. Пусть задана бесконечная последовательность чисел  . Выражение      называется числовым рядом. Числа   называются членами этого ряда.

Если существует конечный предел  , то его называют суммой ряда    и говорят, что ряд   сходится.

Если   не существует (например  , при  ), то говорят, что ряд расходится и суммы не имеет. Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.

Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Эталонные ряды, т.е. разложения элементарных функций, можно использовать для получения  рядов тех же функций, но сложного аргумента.

10. Ряды с положительными членами

Определение 1. Числовой ряд  называется положительным, если все  его элементы не отрицательны.

Признаки  сравнения

Пусть даны два  положительных ряда и . Тогда:

1) если  при всех n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда ;

2) если существует конечный , то ряды и сходятся и расходятся одновременно;

3)если  при всех n, то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда , а из расходимости ряда вытекает расходимость ряда .

11. Ряды с положительными членами

Определение 1. Числовой ряд  называется положительным, если все  его элементы не отрицательны

Признаки  Даламбера и Коши

Признак Даламбера.

Пусть для положительного ряда существует предел . Тогда:

а) если l < 1, ряд сходится;

б) если l > 1, ряд расходится.

Доказательство:

1) Пусть l<1.

Рассмотрим число q, удовлетворяющее соотношению l < q < 1.  (1)

Из определения  предела и соотношения (1) следует, что для всех значений n, начиная с некоторого номера N, т. е. для , будет иметь место неравенство   (1').

Действительно, так как величина  стремится к пределу l, то разность между величиной и числом l может   быть   сделана   (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положительного числа, в частности, меньше, чем  q-l,  т. е. .

Из последнего неравенства и следует неравенство (1'). Записывая неравенство (1') для  различных значений n, начиная с номера N, получим:

   (2)

Рассмотрим теперь два ряда:

  (3)

               (3')                              

                                                                

Ряд (3') есть геометрическая   прогрессия с   положительным  знаменателем q < 1. Следовательно, этот ряд сходится.  Члены ряда (3), начиная с ,   меньше   членов ряда (3'). На основании   признака сравнения заключаем, что ряд (3) сходится.

 

2) Пусть l>1. Тогда из равенства (где l > 1) следует,   что, начиная с некоторого номера N, т. е. для , будет иметь место неравенство

или для всех . Но это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N + 1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Следовательно, ряд расходится.

 

 

5. Признак Коши.

Пусть для положительного ряда существует предел . Тогда:

а) если l<1, ряд сходится;

б) если l>1, ряд расходится.

Доказательство:

По определению предела  для любого существует начиная с которого выполняются неравенства

1) l < 1

Выберем , чтобы , тогда начиная с N, будет выполняться неравенство:

- сходится

- сходится

геометрическая прогрессия

2) l > 1

Выберем , чтобы , тогда начиная с N, будут выполняться неравенства:

  Нарушен необходимый признак  сходимости ряда, и он расходится.

12. Ряды с членами произвольного знака.

Абсолютная  и условная  сходимость. Признак  Лейбница.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество  положительных и бесконечное  множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным  случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

 Для знакочередующихся  рядом действует достаточный  признак сходимости Лейбница.

 Пусть {an} является числовой  последовательностью, такой, что

1. an+1 < an для всех n;

 

2.

 Тогда знакочередующиеся  ряды  и сходятся.

Абсолютная и условная сходимость

 Ряд  называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

 Если ряд  сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

 Ряд  называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

13. Степенные  ряды. Область сходимости степенного  ряда

Степенным рядом называется выражение: (1)

Те значения х при которых ряд (1) сходится называются областью сходимости степенного ряда.

 

14.Ряды Маклорена  и Тейлора. 

Если функция  имеет производные любого порядка в окрестности точки , то получим бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора: 

При получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:

Разложение  функций в ряды Маклорена и Тейлора.

 

15. Понятие  функции, дифференцируемой в точке.

 

Дифференциальным  уравнением называется уравнение , которое связывает независимый аргумент х, неизвестную функцию у и ее производные .

Геометрический и физический смысл производной функции

прямая y-y0=k(x-x0), угловой коэффициент которой равен производной функции в данной точке (k=f’(x0)) называется касательной к графику функции в данной точке.

При Dх®0, значение х0+Dх®х0, т.е. секущая стремиться занять положение касательной, так будем говорить, что касательная есть предельное положение секущей.

Геометрический  смысл производной состоит в  том, что она равна tg угла наклона касательной.

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания называется нормалью. -уравнение нормали в точке х0.

 

Производная сложной и обратной функции.

Производная сложной  ф-ции = произведению производной ф-ции  по промежуточному аргументу и производной  самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y^/=f^/(U)*U^/,или y_x^/=f ^/ (u)F^/(x)    y=f(u), u=F(x)

 

Например:

 

Пусть y=f(x)-монотонно возрастает или убывает.

Д – область  определения

Е – область  значения

   Каждому   у  принадлежащему Д найдется свое значение  х принадлежащее Д.

   Пусть y=f(x) и x=g(y) – взаимно обратные функции и монотонно возрастают или убывают. Если эти функции непрерывны в некотором промежутке и в точке х существует конечная производная, то в функции x=g(y) так же существует производная от  у.

 

Правила дифференцирования, таблица производных.

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Дифференциал функции и его геометрический смысл

Геометрический  смысл дифференциала

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом  ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx