Шпаргалка по "Математическому анализу"

*Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину Dx

*Св-ва: 
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.

Дифференцирование функций, заданных параметрически

17. Применение дифференциала к приближенным вычислениям функций

Как уже известно, приращение ∆у функции у = ƒ(х) в точке  х можно представить в виде ∆у = ƒ'(х)*∆х+α*∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у = dy+α*∆х. Отбрасывая бесконечно малую α*∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство [∆у≈dy] [24.3]. Причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х. Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции. Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике. Пример. Найти приближенное значение приращения функции у = х³-2х+1 при х = 2 и ∆х = 0,001. Решение. Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy = (х³-2х+1)'*∆х = (3х²-2)*∆х. dy|_{x=2; ∆x=0.001} = (3*4-2)*0.001 = 10*0.001 = 0.01. Итак, ∆у≈0,01. Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:

∆у=((х+∆х)³-2(х+∆х)+1)-(х³-2х+1)=х³+3х²*∆х+3х*(∆х)²+(∆х)³-2х-2*∆х+1-х³+2х-1=∆х(3х²+3х*∆х+(∆х)²-2); ∆y|_{x=2; ∆x=0.001} = 0.001(3*4+3*2*0.001+0.001²-2) = 0.010006. Абсолютная погрешность приближения равна |∆у-dy| = |0,010006-0,011=0,000006. Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ'(х)∆х или [ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ'(х)*∆х] [24.4]. Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.

 

Производные и дифференциалы высших порядков

Опр-ие: производной n-го порядка (n³2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.

Найдя 1-ю производную  можно определить 2-ю производную  по тем же формулам, по которым определяли первую.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dⁿy)По определению dⁿy= d(d^n-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dⁿy=f⁽ⁿ⁾(х)dxⁿ, в предположении, что n-ая производная f⁽ⁿ⁾(х) сущ-ет, поэтому понятно, что n-e. Производную обозначают так

 

18.Точки экстремума  функции.

Опред: точка x0 называется точкой max (min) если существ. такая окрестность данной точки, что в x0 фун. принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка max или min данной функции.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.

Теорема Ролля.

 Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b)  и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка e, a < e < b, в которой производная функция f(x) равная нулю,

 f¢(e) = 0.

Геометрический смысл  теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Теорема Коши.

Если  функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

.

Т.е. отношение  приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e.

Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень  удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей  для каждой функции, а затем разделить  их друг на друга.

Теорема Лагранжа.

Если  функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e

a < e < b, такая, что .

Это означает, что  если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Рассмотренная выше теорема Ролля является частным  случаем теоремы Лагранжа.

Теорема Ферма.

Если f(x) дифф. в точке x0 и принимает в хтой точке наибольш. или наименьш. значение для некоторой окресности точки x0, то f’(x)=0.

Доказательство:

пусть f(x0) – наибольшая.

2.Теорема  Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b)  f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

19. Правило Лопиталя

Пусть выполнены  следующие условия:

1. Функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в выколотой окрестности точки a.

2. (1)

 

3. g(x) и f(x) не равны нулю в этой выколотой окрестности.

 

Если при этом существует (2)

 

 

То существует и (3)

Причем, они равны между  собой.(4)

Доказательство: Доопределим функции f(x) и g(x) в точке x=a, положив f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отрезок между числами a и x, где точка из упомянутой в условии выколотой окрестности. Для определенности будем считать, что x<a. Обе функции на отрезке [x,a] неперывны, а в интервале (x,a) дифференцируемы, т.е. удовлетворяют условиям теоремы Коши. Следовательно, Существует такая точка сÎ(x,a), что выполняется равенство(5)

Так как f(a)=g(a)=0. При х®а будет с®а, потому x<c<a.

По условию теоремы существует (2). Здесь х можно заменить любой другой буквой, в частности с. Переходя к пределу в равенстве (5) при х®а, получим

Или, что то же самое (4).

Применение  производной функции к вычислению пределов.

 

20. Условия  монотонности функций.

Функция  y=f(x) имеет в точке х1 максимум (минимум), если если значение функции f(x1) больше (меньше), чем ее значение во всех точках некоторого интервала.

   МАХ и  МИН называются экстремумами.

   1-ое достаточное  условие: точка х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

   2-ое достаточное  условие: пусть при х=х1 

Пусть вторая производная  непрерывна в некоторой окрестности точки х1. Тогда , если  , то при х=х1 функция имеет максимум, если      

, то минимум.

- если с “+”  на “-”, то х₀- т. max

- если с “-”  на “+”, то х₀- т. min

  Необходимое  условие экстремума. Если  ф-ия f(x) имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю.

Экстремумы  функции, необходимые и достаточные  условия точек экстремума.

Точка х0 называется точкой локального максимума функции, если для всякого х из дельта окрестности (xÎ(x0-d;x0+d)) выполняется f(x)<f(x0), и точкой локального минимума, если f(x)>f(x0).

Теорема (необходимое  условие локального экстремума): Если функция имеет в точке х0 локальный  экстремум и дифференцируема  в этой точке, то её производная равна  нулю. Док-во: т.к. в точке х0 функция  имеет локальный экстремум, то есть такой интервал, на котором значение функции в точке х0 будет наибольшим/наименьшим среди всех других значений функции на этом интервале, что означает по теореме Ферма производная в этой точке равна нулю. Обратное не верно.

Достаточное условие  экстремума: если непрерывная функция f(x) дифференцируема в дельта окрестности (x0-d;x0+d) и при переходе через неё слева направо производная меняет знак с + на -, то х0- точка максимума(если с – на + то минимума).Док-во (с + на -): Рассмотрим (x0-d;x0) для х из этого интервала на отрезке [x;x0]. Применим формулу Лагранжа. f(x0)-f(x)=f ’(c)>0*(x0-x)>0, cÎ(x;x0) => f(x0)>f(x). Рассмотрим (x0;x0+d): тогда на [x0;x], по формуле Лагранжа f(x)-f(x0)=f ’(c)<0*(x-x0)>0, f(x0)>f(x). Вывод: для любой точки из (x0-d;x0+d) выполняется условие что f(x0)>f(x) => х0-точка максимума.

21. Наибольшее  и наименьшее значения функции  дифференцируемой на отрезке.

Выпуклость  графика функции. Точки перегиба. График дифференцируемой функции у = ƒ(х) называется выпуклым вниз на интервале (а;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции у = ƒ(х) называется выпуклым вверх на интервале (а;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале. Точка графика непрерывной функции у = ƒ(х), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба. На рисунке 154 кривая у = ƒ(х) выпукла вверх в интервале (а;с), выпукла вниз в интервале (с;b), точка М(с;ƒ(с)) — точка перегиба.

Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью  следующей теоремы. Теорема 25.11. Если функция у = ƒ(х) во всех точках интервала (а;b) имеет отрицательную вторую производную, т. е. ƒ"(х)<0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же ƒ"(х)>0  для любого xє(а;b) — график выпуклый вниз. Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная ƒ"(х) при переходе через точку х₀, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х₀ есть точка перегиба.

21. Асимптоты графика функции. Полное

исследование  функции и построение ее графика.

23. Первообразная и неопределенный интеграл.

Свойства  неопределенного интеграла.

 

Интегрирование рациональных функций

Интеграл от многочлена – легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей.

Типы дробей:

1) , 2) ,3) ,4)

1)

2)

3)

 

4)

 

- рекуррентная формула

 

Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln,arctg, степенная.

 

24Интегрирование  некоторых видов иррациональностей

; ; n1,n2… N, m1,m2… Z

, где s-общий знаменатель дробей m1/n1, m2/n2 …

, тогда

Вид интеграла	Тригоном. подстановка	Иррацион. подстановка

 

m,n,p Q; a,b R

1) p Z, тогда , где s-общий знаменатель дроби

2)

3) , где s- знаменатель дроби

Во всех остальных  случаях интеграл не выражается, т. е. является не берущимся.

 

 

Интегрирование  тригонометрических функций

tg(x/2)=t – универсальная тригоном. подстановка.

; ; ;

Специальная тригоном. подстановка:

1. R(-sinx,cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда cosx = t;
2. R(sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда sinx = t;
3. R(-sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда tgx = t;

Интегралы вида:

1. m,n Z, m,n >= 0;

1. Одно из чисел m, n – нечетное, тогда sinx=t,cosx=t;

2. Оба нечетные или четные -

2. m,n Q

это дифференц. Бином

- для гиперболических функций  аналогично

Универсальная подстановка – th(x/2) = t, и так далее…

Таблица интегралов

25. Методы замены и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Метод подстановки

Методом подстановки (заменой переменной) называется метод, при котором введение новой переменной позволяет свести исходный интеграл к табличному.

Теорема: Пусть  функция x=j(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т, и пусть Х-множество значений этой функции. На множестве Х определена функция y=f(x), тогда если на Х функция f(x) имеет первообразную, то на Т справедлива формула:

 

50 Метод  интегрирования по частям

Теорема: Пусть  функции U(x) и V(x) определены и дифференцируемы, на множестве Х и пусть функция U’(x)*V(x) имеет первообразную на этом промежутке, тогда на Х функция U(x)*V’(x) так же имеет первообразную и справедлива формула: . Док-во: [U(x)V(x)]’=U’(x)V(x)+U(x)V’(x) => U(x)V’(x)=-U’(x)V(x)+[U(x)V(x)]’, интегрируя обе части получаем:

26. Определенный  интеграл, его свойства.

Пусть y=f(x), определена на отрезке [a;b]:

Разобьём этот отрезок  на n произвольных частей точками a=x0<x1<x2<…<x_i-1<x_i<…<xn=b, причём отрезки не обязательно равные. На каждом отрезке выберем произвольную точку xiÎ[ x_i-1;x_i], найдём жначение функции f в точке xi. Обозначим Dxi растояние между точками xi и xi-1. найдём соответствующее произведение: f(xi)Dxi. Составим сумму этих произведений:

Сумма такого сида называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Обозначим в качестве .

Определние: если существует конечный предел интегральной суммы при l®0, то этот предел называется определёенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначается: .

Теорема Коши: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то определённый интеграл существует.

Геометрический  смысл: площадь криволинейной трапеции, ограниченной с верху функцией y=f(x), с низу осью Ох, и по бокам прямыми х=а, х=b.

 

Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция y=f(x) непрерывна на [a;b]  и F(x) – какая либо первообразная функции на [a;b], т.е. F’(x)=f(x), то имеет место формула:

Док-во: рассмотрим разность F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=[F(x n)-F(x n-1)]+[F(x n-1)-F(x n-2)]+…+[F(x2)-F(x1)]+[F(x1)-F(x0)]. Разложим каждую скобку по формуле Лагранжа: F’(xn)(xn-x n-1)+ F’(x n-1)(x n-1- x n-2)+…+ F’(x2)(x2-x1)+ F’(x1)(x1-x0)=f(xn)Dxn+ f(xn-1)Dxn-1+…+ f(x2)Dx2+ f(x1)Dx1= - интегральная сумма.

По теореме  Коши т.к. функция непрерывна, то определённый интеграл существует. Так  .

27. Методы замены и интегрирования по частям в определенном интеграле.

Интегрирование  по частям в определенном