Шпаргалка по "Математическому анализу"

1. Множества

М. – любая совокупность к-л предметов, эти предметы – элементы множества. Множества – конечные(содержащие определённое число элементов)/бесконечные (беск. число элемен.). 

Счётное мн. – мн., элем.которого можно  поставить во взаимно однозначное  соответствие (перенумеровать) с мн. натуральных чисел (N) N – тоже счетн. мн. Счётным является любое бесконечное подмн. множ-ваN (fe мн. чётн. чисел – счётное)

Несчётное мн. - такое ∞ мн., которое  не является счётным.

Конечные мн. можно задать перечисляя их элементы в {}. Д/беск. мн. такой способ невозможен. Множ. можно задать указывая их св-ва, характеризующие его элем. x={x|x²=4}

Пустое мн. – не содерж. ни одного элемнт.

Подмножество – если все элем. А являются элемент.мн. B (АсВ)

Универсальное мн. – содержащее все  мыслимые объекты, оно единственно.

2. Операции над множествами.

Объединением мн-тв А и B называют мн., элементами которого являются все элементы множ. А и все элем.множ. В, одинаковые элемент.включаются в объединение только 1 раз. (АUВ)

Пересечением мн-тв А и В –  мн., элементы кот.явл. одновременно элемент. А и В (А^В)

Разность А и В – мн., элем.котор. явл. все элементы мн. А, не входящие в мн. В 

Дополнением множества А до универс. мн. – мн., состоящее из элементов, не принадлежащих А.

; ; ; ;

3. Числ. прям./промеж./ ɛ-окр./модуль

Числ. ось – прямая линия, на которой  выбраны: некоторая точка O - начало отсчёта (0);

положительное направление, указанное  стрелкой; масштаб для измерения  длин (единичный отрезок). Числовые промежутки: Интервал на числ. оси –  мн. действ.чисел Х, таких что {xпринадл. R| a<x<b} или (а; b). Полуинтервалом – мн. действ.чисел X, тч {xпринадл. R| a ≤ x<b} или {xпринадл.R | a<x≤b} [а;b) или (а; b] Промежутком на числ. оси – мн. таких действ.чисел {xпринадл. R| a≤x≤b} или [a;b]

Модуль ; ; ; ; ; ;

;

Эпсиолн (ɛ) окрестности V_ɛ(x₀)– мн. таких действ.чисел, которое удовлетворяет условию

{xпринадл.R| |x-x₀| <ɛ } или (х₀ - ɛ; х₀ + ɛ), x₀ – центр окрестности; ɛ - радиус.

4. Определение числовойпослд.  Огр и монотонная послед

Числовой пслд назовем функцию  натурального аргумента (Xn=f(n), n принадлежит N).пример: арифм и геометр прогрессии. Числпслд  обозначается {Xn} ,где n принадлежит N,n-номер члена числпслд,Xn-n-ный член числпслд,общий член. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3…n, поставлено в соответствие число x, то множество вещественных чисел, х1,х2,х3….хn, называется числовой последовательностью. Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.(Xn=f(n)).

пслд Xn нзв строго возр,если для любого n выполняется Xn(пред)<Xn+1(последующий член).пслд нзв возр,если для всех nXn≤ Xn+1.

пслд Xn нзв строго убыв,если для любого n выполняется Xn>Xn+1.пслд Xn нзв убыв,если для любого n выполняется Xn≥Xn+1

строго возр,возр,убыв,строго убыв пслд нзв монотонными пслд.

Последовательность называется ограниченной сверху(снизу) если существует число  M(m) такое, что любой элемент этой последовательности {Xn} удовлетворяет неравенству /хn/<M

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и  снизу, т.е существуеют числа m и M такие что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству: m<x<M.

5)Определение предела  числ пслд.Сх-ся пслд.Т. о сходимости  монотонной и огр пслд.

Число А нзв пределом пслд {Xn} при n→∞, если для любого E(эп) найдется такое натур число N=N(E),что при n>N(E) вып-ся нер-во│Xn-A│<E. LimXn=A(n→∞).Если для любого E>0 существует N=N(E):для любого n>N(E) .│Xn-A│<E/

В этом случае говорят,что пслд стремится  к А или сх-ся к А,имеет предел=А.Означает,что  для любого E>0 найдется N(E): все члены пслд с номерами>N(E) попадают в E окрестность т. А

Пслд, имеющая конечный предел-сх-ся; не имеющая конечного предела-расх-ся.

{Xn} не имеет предел/имеет предел:конечный-сходится; бесконечный –расходится   

Т. Вейерштрасса.Всякая монотонная огрпслдсх-ся. Рассмотрим пслд {Xn} с общим членом Xn=(1+1/n)ⁿ

Докажем,что она сх-ся.Дляэтого,по т Вейер достаточно док-ть,что  она возр и огр. Для этого будем исп-ть формулу Бинома Ньютона.

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение в каждой скобке представляет собой правильную дробь.если выражения(знам>числителя).Если выражения в каждой из этих скобок заменить 0,то правая часть равенства  уменьшится,и вместо равенства получим  неравенство вида.

(1+1/n)ⁿ>2

При n>1 все слагаемые положительны,причем с возр номера nувелич и число слагаемых,и каждое слагаемое в отдельности→пслдXn=(1+1/n)ⁿвозр с возр номера n,начиная с наименьшего значения равного двум.→огрснизу.если же в правой части выражения в каждой скобке заменить единицей ,а все множители знаменателей ,начиная с третьего-на двойки, то получим сумму ,большую первоначальной: (1+1/n)ⁿ<2+1/2+1/2²+..+1/2^n-1

поформуле суммы n членов геометр прогрессии S_n=(b1(1-qⁿ) )/1-q

b-первый член,q-знаменатель прогрессии

 

 

 

По Т Вейерштрасса имеет предел,заключенный  м/у  числами 2 и 3.его обозначают e=2,7182

6)Теорема о единственности  предела числпслд.

Сх-сяпслд имеет  только 1 предел.Док-во от противного. пусть Xn имеет 2 разл-х предела.

LimXn=A при n→∞ и LimXn=В при n→∞.A≠B. пусть A<B.Возьмем в качестве E=(B-A)/2.Тогда по опр предела сущ-етN1: для любого n>N1 │Xn-A│<E.

сущ-етN2:для любого n>N2  │Xn-B│<E

Пусть N=max {N1;N2}.для любого n>N будут выполняться след неравенства.

1)(n>N-E<Xn-A<E) A-E<Xn<A+E

2)(-E<Xn-B<E) B-E<Xn<E+B

Эти нерав-ваозначают,что эл-т Xn находятся одновременно в окрестности чисел A и B.они по нашему предположению не пересекаются. Поэтому противоречие.

7.  бб посл. и бм посл.

Пос-ть {x_n} – бб, если д/любого «+» числа М сущ-ет такой номер n, такой что д/всех элементов посл-ти с номером n>N выполняется |x_n|>M

Посл-ть {x_n} – бм, если д/любого «+» числа ɛ, сущ-ет такой номер N, такой что д/всех членов посл-ти больше этого N выполняется |x_n|< ɛ ( + На языке эпсилон-дельта)

Установим связь между бб и бм: (Т): Если посл-ть {x_n} – ббп и все её члены отличны от нуля, то {1/x_n} – бмп и обратно, если …

Док-во: Пусть {x_n} – ббп. Возьмём ɛ>0, пусть число М=1/ɛ. По опред. ббп д/этого числа М сущ-ет такой номер N, такой что д/всех элементов с номерами n>N выполняется неравенство |x_n | >M;   1/|х_n| < 1/M;    |1/x_n| < 1/M,   те (1/x_n)< ɛ

Это означает согласно определениябмп, что послед. {1/x_n} – бмп. Обратное утвердение доказывается аналогично {x_n} – ббпó {1/х_n} – бмп.

8. Опр. фун-ции, св-ва, сложная  и обр. фун-ция

Если каждому элементу х их мн. Х по некоторому правилу соотв. единственный элемент у из мн-ва У, говорят, что на мн-ве Х задана ф-я y=f(x). Т.о. ф-ция определена, если заданы: мн. Х(обл. опр.ф-и), мн. У (обл. знач.), правило сопоставления эл-в х эл-ам у.

Переменная х наз-сянеиз-й пер-й  или аргументом. Переменная у наз-ся зав-й от х переменной или ф-й.

Способы задания:1Табличный – ф-ция задаётся таблицей ряда значений аргумента и соотв. им знач. ф-ций; 2Графический – задаётся гр. ф-ции, значение ф-ции у соответств. значениям х находятся непосредственно из графика (преи-ва: наглядность.Недостаток: неточность); 3Аналитический – задаётся в виде 1 или нескольких ф-ций (уравнений).

Св-ва: 1Монотонность: Пусть у=f(x) опред-на на мн-веD, пусть мн. D₁ cD.

а) для люб.х₁, х₂принадл. D₁ выполняется условие таких что x₁<x₂ и f(x₁)<f(x₂), то ф-ция строго возрастающая на D₁ (Большему значению аргумента соотв. большее знач. ф-ции)

б) д/люб.х₁, х₂принадл. D₁ ;  х₁<x₂  ;   f(x₁) ≤ f(x₂) , то ф-ция возрастающая на D₁

в) д/люб.х₁, x₂принадл. D₁  ;x₁<x₂   ;   f(x₁) >f(x₂),  то ф-ция строго убывающая … (Юольшему значению аргумента соотв. меньшее знач. ф-ции)

г) д/люб. x₁, x₂   //-//  ;f(x₁) ≥ f(x₂) убывающая на D₁

2Чётность: ф-ция у=f(x), определённая на мн. D – чётная, если д/люб. xпринадл. D –xпринадл.D  иf(x)=f(-x)   ;     ф-ция нечётная, если  д/люб. xпринадл. D –xпринадл.D и f(-x)= -f(x)

3Ограниченность: ф-цияограниченная, если существует такое «+» число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x .

Сложная ф-ция. y=f(u) на D  ;u=φ(x) опр. на D, причем u(x) принадл. D => на Dопред. ф-цияy=f(φ(x)) – сложная ф-ция(суперпозиция ф-ции от ф-ции); u=φ(x) – промежуточный аргумент сложной ф-ции.

Обратная ф-ция. y=f(x) с обл. опред. D и множ знач.E. Если каждому у принадл. Е соотв. единств. xпринадл. E, то определена ф-ция х=φ(у) – обратная д/y=f(x) => они взаимообратны.

x (xпринадл. D)=φ(у)=f^-1(у), чтобы найти обр. ф-цию => решить относительно х ур-ние у=f(x). Из опр. об.ф-ции => ф-цияy=f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда ф-цияf(x) задаёт взаимно однозначное соотв. между мн-вами D и E => любая строгомонотонная ф-ция имеет обратную (если ф-ция ↑ то и обр. ↑, если ↓ то и обр. ↓)

9. Определение lim ф-ции на языке ɛ-δ

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности х₀, кроме может быть самой точки х₀.

Определение 1(конечный предел в конечной точке):

Число А – предел ф-цииf(x) в точке х=х₀ [ limf(x) при х->x₀, если д/любого ɛ >0 : люб.х ≠х₀ удовлетворяющих |х-х₀|< δ выполняется |f(x)|-A< ɛ ]

Определение 2 (конечный предел на бесконечности)

 

Определение 3 (бесконечный предел, в конечной точке)

Предел ф-ции в f(x)= ∞ в т.х₀ (при х->x₀), если д/люб. ɛ>0 сущ-ет δ>0 : люб. х ≠х₀ удовл. |x-x₀|< δ выполняется |f(x)|> ɛ

Определение 4 (бесконечный предел на бесконечности)

10. бмф и ее св-ва

Ф-циябм, при х→x₀, если limf(x)=0 д/люб. Е>0 сущ-ет такое «+» число δ : д/всех х, удовл. |x-x₀|< δ выполн. |f(x)|<Е

Св-ва:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бмф есть бмф. Док-во: Пусть а(x) и b(x) – бмф (при х->x₀)

a(x)+b(x)-бмф?

Выберем произв. ɛ>0 (cоотв. ɛ/2>0). По опред. бмф найдётся такое число δ₁ такое, что д/всех х, удовлетворяющих 0<|x-x₀|< δ₁ выполняется неравенство |a(x)|< ɛ/2 (1). И limb(x) при х->х₀ => д/люб. ɛ/2>0 есть δ₂>0 такое, что д/люб. х 0<|x-x₀|< δ₂ из чего следует |b(x)|< ɛ/2  (2). Пусть δ –наименьшее из δ₁ и δ₂.Тогда д/всех x, удовлетворяющих 0<|x-x₀|< δ выполняются равенства (1) и (2) следовательно |a(x)+b(x)| ≤ |a(x)| + |b(x)|< ɛ/2+ɛ/2= ɛ, тогда |a(x)+b(x)|< ɛ, что означает: lim(a(x)+b(x) при х->x₀  равен нулю => (a(x)+b(x)) есть бмф при х->x₀

2 Произв. ограниченной ф-ции на бмф есть бмф. Док-во: Пусть f(x) ограничена при x->x₀. Тогда сущ-ет такое М>0, что |f(x)|<M (1) для всех х из δ₁ окрестности точки х₀. Пусть a(x) – бмф, при х->x₀ => д/люб. E>0 и следов.E/M>0 найдётся такое б₂>0, что при всех х, удовлетворяющих 0<|x-x₀|<б, выполняется |a(x)|<E/M (2). Пусть теперь б – наименьшее из б1 и б2. Тогда д/всех х, удовл. 0<|x-x₀|<б выполняется (1) и (2). Значит, |f(x)|*|a(x)|<E/M*M=E, что говорят: f(x)*a(x) при х->x₀ есть бмф.

3. Произв. 2х бмф есть бмф (ткбмф – ограничена, то это вытекает из 2)

4 Произв. бмф на  число есть число (следств. из 2ого)

5 Если a(x) бмф, то 1/а(х) ббф и наоборот.

6 Если ф-ция у=f(x) имеет lim=A, то её можно представить в виде limf(x)=A при х->х₀óf(x)=A+a(x), где а(х) бмф

7 Если f(x) мб представлено как f(x)=A+a(x), то f(x) имеет предел=А. Те f(x)=A+a(x) =>limf(x) при х->x₀ равен А (Теорема и док-во 11 билет)

11. (Т) о связи ф-ции  и её предела

Если ф-ция имеет lim=A (при х->x₀), то ее можно представить в виде суммы числа А и бмфа(х), те limf(x)=A при х->x₀ , то f(x)=A+a(x) (напр. lim(x+5)=7 при х->2, тогда f(x)=7+x-2

Док-во: Пусть сущ-етlimf(x)=A при х->х₀ => Для люб. Е найдётся б>0 такое что д/всех х будет выполняться 0<|x-x₀|<б следовательно |f(x)-A|=E или |f(x)-A-0|=E, что значит:  f(x)-A имеет нулевой предел, т е является бмф, которая мб обозначена через а(х): f(x)-A=a(x), откуда f(x)=A+a(x)

И обравтно, если f(x) мб представлено как f(x)=A+a(x), то f(x) имеет предел=А. Те f(x)=A+a(x) =>limf(x) при х->x₀ равен А

12. Ббф. Связь бмф и  ббф

Опр. 1) Ф-циябб, при х->х₀, если limf(x)= ∞ при х->x₀, те д/любого Е>0, сущ-ет б>0, такое что д/всех х≠х₀ удовл. |x-x₀|<б выполняется |f(x)|>Е (те ббф при х->x₀ имеет бесконечный lim)

Опр. 2) Ф-цияf(x) бб, при х->∞, если limf(x)= ∞ при х->∞, те д/люб. E>0 сущ-ет б>0 : д/всех х |x|>б выполняется |f(x)|>E

Связь: 1. Если a(x) бмф, то 1/a(x) ббф

2 Если b(x) ббф, то 1/b(x) бмф

Док-во: Пусть а(х) – бмф при  х->x₀, те lima(x)(при х->x₀)=0. Тогда д/люб. Е>0 сущ-ет б>0 д\люб. х : 0<|x-x₀|<б выолн. |a(x)|<E, т е |1/а(х)|>1/E, те |1/a(x)|>M, где М=1/Е. А это означает, что ф-ция 1/а(х) – ббф. Аналогично доказывается обратное.

13. Св-ваlimсвяз. с арифмоперац.

Аналогичны теоремам и св-вам  пределов последовательностей.

1. (Т) lim суммы/разности 2х ф-ций = сумме/разности их пределов.

Док-во: Пусть limf(x)=A, limb(x)=B. Тогда по (т) о связи ф-ции с ее пределом (билет 11: Если ф-ция имеет lim=A (при х->x₀), то ее можно представить в виде суммы числа А и бмфа(х), те limf(x)=A при х->x₀ , то f(x)=A+a(x)) =>f(x)=A+a(x) и g(x)=B+b(x). Cледовательно, f(x)+g(x)=A+B+(a(x)+b(x)). Здесь a(x)+b(x) – бмф как сумма бмф. По (т) (из 11 бил) можно записать так lim(f(x)+g(x))(при х->x₀)=А+В, те lim(f(x)+g(x))(при х->x₀)=limf(x)(при х->x₀) + limg(x)(при х->x₀)

2. Ф-ция может иметь  только 1 предел

Пусть limf(x)(при х->x₀)=A и limf(x)(при х->x₀)=В (по теореме 1.) имеем: 0=lim(f(x)-f(x))(при х->x₀)=limf(x)(при х->x₀)- limf(x)(при х->x₀)=A-B. Отсюда А-В=0 =>A=B

3. Предел произв. 2х ф-ций  = произв. их пределов

Док-во аналогично предыдущему. limf(x)=A, limb(x)=B, то f(x)=A+a(x) и g(x)=B+b(x), где а(х) и b(x) – бмф =>f(x)*g(x)=(A+a(x))*(B+b(x)), те f(x)*g(x)=A*B+ (A*b(x) + B*a(x) + a(x)*b(x)). Выражение в скобках есть бмф. Поэтому limf(x)*g(x)(при х->x₀) = A*B, те lim(f(x)*g(x))(при х->x₀)=limf(x)(при х->x₀)*limg(x)(при х->x₀)

4 Постоянный множительмб вынесен за знак предела