Автор работы: Пользователь скрыл имя, 06 Октября 2013 в 18:57, шпаргалка
М. – любая совокупность к-л предметов, эти предметы – элементы множества. Множества – конечные(содержащие определённое число элементов)/бесконечные (беск. число элемен.).
Счётное мн. – мн., элем.которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие (перенумеровать) с мн. натуральных чисел (N) N – тоже счетн. мн. Счётным является любое бесконечное подмн. множ-ваN (fe мн. чётн. чисел – счётное)
lim(c*f(x))(при х-х0) = limc(при х-х0)*limf(x)(при х-х0)=c*limf(x)(при х-х0)
5. Предел степени с натур.показателем равен той же степени предела
LimXn=A при n→∞ и LimXn=В и для любого nпринадлN
Выполняется Xn≤Yn, то A≤B (LimXn при n→∞ ≤ LimYn при n→∞)
Док-во: пусть выполнены все услТ.,ноA>
для любого E>0 сущ-етN: для любого n>N │Yn-B│<E
применим эти неравенства в другом виде:A-E<Xn<A+E
B-E<Yn<B+E
Рассмотрим выделенные части неравенства,выбрав в качестве Е число (A-B)/2.
1)Xn>A-E=A-((A-B)/2)=(2A-A+B)/
Xn>A+B/2
2)Yn<B+E=B+(A-B)/2=(2B+A-B)/2=
Yn<A+B/2→
Xn>Yn.Получим противоречие с условием Т→A≤B
15)Т. о сжатой переменной.
Пусть LimXn=A при n→∞ и LimYn=A при n→∞ ,начиная с некоторого n принадлежит N выполняетсяXn≤Zn≤Yn →LimZn=A при n→∞.
Док-во:возьмемE>0. для {Xn} найдется такой N1:для любого n>N1 выполн │Xn-A│<E. A-E<Xn<A+E
Для {Yn} найдется такойN2:для любого n>N2 выполн │Xn-A│<E → A-E<Yn<A+E
Тогда,еслиN=max {N1;N2}.для любого n>N будут выполняться оба этих двойных неравенств
Используя подчеркнчасти,а также нер-во,данное в условии,получаем
A-E≤ Xn≤Zn≤Yn<A+E
A-E<Zn<A+E
-E<Zn-A<E
│Zn-A│<E → Lim Zn при n→∞=A
Непр. в точке:Опр. пусть ф-ция 1.определена в т.х0 и некоторой ее окрестности. Ф-цияf(x) непрерывная в т.х0, если 2. существует lim ф-ции в этой точке и он 3. равен значению ф-ции в этой точке.
Те: а)f(x) опр. в т.x0 и ее окр. б)сущ-етlimf(x) при х->х0, т е limf(x) при х->x0-0 = limf(x) при х->х0+0 в)limf(x) при х->х0=f(x0) ; ткlimx при х->х0=x0, то limf(x) при х->х0= f(x)=>f(limx при х->x0), т е д/непрер. Ф-ции можно переставить знак f и знак lim. (еще одно опред. в 24 бил.)
Непр. ф-ции на пром. Опр.1 Ф-цияf(x) непрерывная на интервале (а;b), если она непрерывна в каждой точке этого ( )
Опр 2 Ф-цияf(x) непрерывная на отрезке [a;b], если она:1непрерывна в каждой точке интервала (a;b), 2в точке х=а непрерывна справа и 3в т. b непрерывна слева (рис), те 1.непр. на (a;b), 2.limf(x) при х->а+0=а(а), 3.limf(x) при х->b-0=f(b)
Св-ванепрер. ф-ций в точке:1) Сущ-ют f(x) и g(x), они опред. в некот. окр. т.х0 и непрерывны в ней =>f(x)+g(x), f(x)*g(x) также непрерывны в т.x0, а f(x)/g(x) непр. в т.х0, если g(x) не=0
2)y=f(x) ; z=g(y), если y=f(x) – непр. в т.х0, а z=g(y) – непр. в т.у0, где y0=f(x0), то z=g(f(x)) – непр. в т. x0.
Св-ва ф-циинепр. на отрезке: f(x) – ограничена на [a;b], если сущ-ет такое число C>0 : |f(x)|≤C д/люб.хпринадл. [a;b]
1) т.Вейерштрасса – всякая непрерывная на отрезке [a;b] ф-ция ограничена на этом отрезке
2)т.Вейерштрасса – если ф-ция непрерывна на [a;b], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений (Непр. на [a;b] наиб. знач. M в т.х1 и наим. m в т.х2 => все значения f(x) заключены m≤f(x)≤M д/люб.хпринадл. [a;b])
3) Если f(x) непр. на [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри [a;b] сущ-ет хотя бы 1 точка С, в которой значение f(x) обращается в 0
4) Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и f(a)=A, f(b)=B. Тогда для любого числа С, заключенного между А и В (A<C<B) найдется такая точка c (c∈[a;b]) такая что f(c)=С
(или непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно принимает промежуточные значения)
5) Мн-во значений f(x) непрерывна на [ ] есть отрезок
(Т)элементарные функции непрерывны во всех точках, принадлежащих области определения, в окрестностях которых они определены.
Пусть ф-цияf(x) опред. в некоторой правосторонней окрестности х0, кроме мб самой т. х0
Опред. Число А1 – правосторонний предел ф-цииf(x) при x->x0 справа (limf(x) (при х->x0+0) =A1), если д/люб. Е>0 сущ-ет б>0 : д/люб.хпринадл. (x0; x0+б) выполн. |f(x)-A1|<E
Аналогично опред. предел ф-ции слева: А2 – левосторонний lim ф-цииf(x) при х->x0cлева (limf(x)(при х->x0-0)=A2, если д/люб. Е>0 сущ-ет б>0 : д/люб.хпринадл. (x0-б; х0) выполн. |f(x)-A2|<E
Пределы ф-ции слева и справа – односторонние пределы, однако если сущ-етlim ф-цииf(x) в т.x0=A, то су-ют и оба односторонних limа (A=A1=A2) Справедливо и обратное, если сущ-ют оба односторонних предела и они равны, то сущ-етlim ф-цииf(x) в т.0=А. Если же односторонние пределы не равны, то и предел ф-ции в т.х0не сущ-ет.
Классиф.Если в т. х0 нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то в т.х0 ф-ция терпит разрыв. Т.х0 – точка разрыва ф-ции и в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности в точке, а именно: 1)ф-цияопредел. в окрестности т.х0, НО неопределенна в самой т.х0
2)ф-цияопределена в точке и ее окр., но не сущ-етlimf(x)(при х->x0)
3)ф-ция определена в т.x0 и ее окр., сущ-етlim при х->x0, НО этот предел не равен значению ф-ции в т.х0.
Все ф-ции разрыва разделяют на точки разр. I и II родов:
Определение (I род)
Точка разрыва x0 – точ. разр. I рода ф-цииy=f(x), если в этой т. сущ-ют конечные пределы ф-ции справа и слева (п.2 выполнен), при этом:
А)предел справа=пределу слева, тогда x0 – точка устранимого разрыва, в этом случае в т. х0f(x) мб: 1)неопределенна ; 2)определена в этой точке, но limf(x)(при х->х0)≠f(x0) Этот разрыв мб устранен, если условиться что в точке разрыва ф-ции задать какое-либо значение(число)
Б)предел справа≠пределу слева, тогда х0 – точка скачка. Скачок ф-ции – разность односторонних пределов: предел справа-предел слева=скачку
Определение (II рода)
Если хотя бы один из односторонних пределов не сущ-ет или бесконечен, то в т.х0 ф-ция имеет разрыв 2 рода.
. Док-во: возьмём единичную окружность. Угол МОВ=х 0<x<p/2. площадь треугольника МОВ меньше, чем площадь сектора МОВ и меньше, чем площадь треугольника СОВ. |MA|=sin x=MA/OB=MA/1, |CB|=tgx=BN/OB.
S∆MOB=1/2 OB*AM. S сект=1/2 R2α
по теореме о сжатой переменной
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная констан
Число е.Значение предела вида
lim(1+1/n)n=е при x→∞ обозначается е
рассмотрим посл с общим Xn=(1+1/n)n.Эта посл монотонно возр и огр. Для док-ва разложим по биному ньютона
Выражение в каждой скобке представляет собой правильную дробь(знам>числителя).Если выражения в каждой из этих скобок заменить 0,то правая часть равенства уменьшится, и вместо равенства получим неравенство вида.
(1+1/n)n>2
При n>1 все слагаемые положительны, причем с возр номера nувелич и число слагаемых,и каждое слагаемое в отдельности, след-но пслдXn=(1+1/n)nвозр с возр номера n,начиная с наименьшего значения равного двум.→огр снизу. Если же в правой части выражения в каждой скобке заменить единицей 1,а все множители знаменателей, начиная с третьего- на двойки, то получим сумму ,большую первоначальной: (1+1/n)n<2+1/2+1/22+..+1/2n-1
поформуле суммы n членов геометр прогрессии Sn=(b1(1-qn) )/1-q
b-первый член,q-знаменатель прогрессии,поэтому имеем(рис2). Поэтому (1+1/n)n<3→огр сверху. посл с общим членом Xn=(1+1/n)nвозр с возрастанием номера n и ограничена →имеет предел, заключенный м/у числами 2 и 3 и равен е.
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел длявещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда
.Из двух этих случаев
Пусть a(x) и b(x) – бмф, т е lima(x)(при х->x0)=0 и limb(x)(при х->x0)=0:
(т) Предел ф-ции не изменится,
Пусть а~a` и b~b` при х->x0. Тогда lima/b(при x->x0) = lim (a/b * a`/a`* b`/b`)(при х->x0) = lima/a`(при х->x0)*limb`/b (при x->x0)*lima`/b`(при х->x0) = 1*1*lima`/b`(при х->x0), те lima/b(при х->x0) = lima`/b`(при х->x0)
Аналогично, если заменять только одну бмф.
Пусть функция f(x) непрерывна в точке X0 и f(X0) ≠0.Тогда сущ-ет б>0 такое,что для всех xпринадлеж. (X0-б, X0+б) функция f(x) имеет тот же знак,чтоf(X0). Док-во: пусть f(X0)>0.тогда в силу второго определения непр функции(если бм приращению аргумента соответствует бм приращение функции) для любого Е>0 сущ-ет б>0 такое, что неравенство │ f(x) -f(X0)│<Е выполняется для всех x, удовл условию │ x -х0│<б, или, что тоже самое, выполн неравенства:
f(X0)-Е<f(x)<f(X0)+Е для всех xпринадлеж. (X0-б, X0+б).Возьмем Е=f(x0).тогда из левого неравенства f(X0)-Е<f(x)<f(X0)+Е получаем:f(x)>0 для всех принадлеж. (X0-б, X0+б).
если же f(X0)<0,то рассмотрим - f(x).т.к - f(x0)>0,то по док-ому сущ-ет б-окр т. X0,где - f(x)>0,след f(x)<0.
Еще одно опред. непр. ф-ции в точке: Пусть ф-ция опр. в некот. окрестности т.x0. Рассм. люб.х из этой окр. Dх=х-х0 – приращение аргумента. Пусть у=f(x), а у0=f(x0) =>Dy=y-y0=f(x)-f(x0) – приращение ф-ции (рис)
Ф-цияy=f(x) нпзываетсянепрерывной в т.x0, если бескон. малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение ф-ции. Докажем эквивалентность этих опр. Пусть у=f(x) непрерывна в т.x0 => согласно 1 опред. выполняется limf(x) при х->x0=f(x0) ; limf(x) (при х->х0) – f(x0) (он const)=0 ; заменим ф-цию на её предел: limf(x)(при х-x0) – limf(x0)(при х->x0)=0 ; lim (f(x)-f(x0))(при х-х0->0)=0 [(f(x)-f(x0)) – это Dy; х-х0 – это Dх) =>limDy(при Dх->0)=0
Св-ва ф-циинепр. на отрезке: f(x) – ограничена на [a;b], если сущ-ет такое число C>0 : |f(x)|≤C д/люб.хпринадл. [a;b]
1) т.Вейерштрасса – всякая непрерывная на отрезке [a;b] ф-ция ограничена на этом отрезке
2)т.Вейерштрасса – если ф-ция непрерывна на [a;b], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений (Непр. на [a;b] наиб. знач. M в т.х1 и наим. m в т.х2 => все значения f(x) заключены m≤f(x)≤M д/люб.хпринадл. [a;b])
3) Если f(x) непр. на [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри [a;b] сущ-ет хотя бы 1 точка С, в которой значение f(x) обращается в 0
4) Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и f(a)=A, f(b)=B. Тогда для любого числа С, заключенного между А и В (A<C<B) найдется такая точка c (c∈[a;b]) такая что f(c)=С
(или непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно принимает промежуточные значения)
5) Мн-во значений f(x) непрерывна на [ ] есть отрезок
Рассмотрим функцию y=f(x) в некотором интервале (a;b)
Рассмотрим некот т X0 и приращение ∆x.Тогда знач функции в т. имеет 2 т. Графика функции с коорд (X0; f(x0)) и (X0+∆x); f(x+∆x)).Проведем прямую(секущую для графиков функции y=f(x)) через эти точки.состур-ие секущей: (x-x0 )/(x0+∆x-x0 )=(y-f(x0)) /(f(x0+∆x)-f(x0))
y-f(x0)= ((f( x0+∆x)-f(x0))/ ∆x) *( x-x0)
y=((f(x0+∆x)-f(x0))/ ∆x) *( x-x0) + f(x0) – ур-иесекущей.углкоэф секущей=отношению приращения фун-ии к приращению аргумента,т.е
к сек=(f(x0+∆x)-f(x0))/ ∆x)= ∆f/∆x
опр.Производная функции в т x0-предел отношения приращения фун-ции к вызвавшему ему приращению аргумента ,если приращение аргумента →0 при условии,что предел сущ-ет
y’=lim ∆f/∆x при ∆x→0=lim (f(x0+∆x)-f(x0))/ ∆x).Обратим внимание на то, что lim ∆f/∆x при ∆x→0 может сущ-ть и быть конечным,тогда в данной т фун-ия имеет конечную производную. Если предел сущ-ет и бесконечен, то имеет бесконечную производную.если предел не cущ-ет, то и производная в данной т не сущ-ет
Если функция f определена в некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности точки x0 и существует конечный или бесконечный (определённого знака) предел
,
то он называется, соответственно, конечной или бесконечной правой (левой) производной функции f в точке x0 и обозначается (или ).
Правая и левая производные называются также правосторонней, соответственно – левосторонней, а и та, и другая – односторонними производными.
Из теоремы об односторонних пределах следует, что функция , определённая в некоторой окрестности точки x0, имеет производную тогда и только тогда, когда и существуют и . В этом случае .
Опр. Прямая y-y0=k(x-x0), угловой коэффициент которой равен производной функции в данной точке (k=f`(x0)) называется касательной к графику функции в данной точке с корд. (х0; f(x0))
Рассмотрим секущую, проход. через (.) с корд. (x0 ; f(x0)) и (x0+Dx ; f(x0+Dx))
При Dх®0 (секущая стремится занять положение касательной => касательная есть предельное положение секущей) => Геометрический смысл f`(x) состоит в том, что она = tg угла наклона касательной в (.) касания [f`(x0)=k=tga]