Шпаргалка по "Математическому анализу"

Ур-ние касательной имеет вид:

Опр. Прямая, перпендикулярная касательной  в (.) касания называется нормалью к  кривой. Т.к. нормаль перпендикулярна  к кас., то k_норм.= -1/k_кас.= -1/f`(x₀)

-уравнение нормали в точке  х0.

28. Теорема о связи сущ-ния  произв. и непрерывности в точке

(т) если ф-ция дифференцируема  в (.) х, то она непрерывна  в ней.

Док-во: пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой (.) х => сущ-ет limDу/Dх(при Dх->0)=f`(x)(из определения произв.) Отсюда [ по (т) о связи ф-ции, ее предела и бмф (бил. 11): Если ф-ция имеет lim=A (при х->x<sub>0</sub>), то ее можно представить в виде суммы числа А и бмф а(х), те lim f(x)=A при х->x<sub>0</sub> , то f(x)=A+a(x) ] имеем Dу/Dх=f`(x)+a, где а->0, при Dх->0, те Dy=f`(x)*Dx+a*Dx. Переходя к пределу, при Dх->0, получаем limDy(при Dх->0)=0. А это и означает, что ф-ция y=f(x) непрерывна в т.x (согласно 2ому опред. непрерывности ф-ции в точке)

?? Док-во 2: т к ф-ция дифф. в  (.) х₀, то ее приращение мб представлено в виде Dу=A*Dx+a(Dx)*Dx [ по (т) о дифференцируемости ф-ции в точке (бил.33: Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируемой в (.) х₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную] Перейдём к lim при Dx->0:  limDy(при Dx->0)=lim(A*Dx+a(Dx)*Dx)(при Dх->0)=0

Следовательно, ф-ция непрерывна согласно 2ому опред. непрерывности.

29. Правила вычисления  произв, связна. с арифм. действиями

Пусть u=u(x) и v=v(x)  дифференц. в (.) x₀

1). Производная суммы/разночти = сумме/разности  этих производных. Док-во:

2) Производной произв. 2х = произведению  производной 1 сомножителя на  второй плюс произведение 1 сомножителя  на произв. второго: (u*v)`=u`*v+v`*u

3) Производная частного 2х ф-ций  u(x)/v(x), если v(x)не=0 является дробью: числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель: есть квадрат прежнего знаменателя. (u/v)`= (u`*v-u*v`)/v²

4) Некоторый множитель мб вынесен  за знак производной (c*f(x))`=c*f`(x), c=const

Применем 2 св-во: c*(f(x))`=c`*f(x)+c*f`(x)=c*f`(x), тк c`=0

30. Таблица производных

 

31)производная сложной  функции

Пусть y=f(U),а U=фи(x), тогда y=f(фи (x))-сложная фун-ция с промежуточным аргументом Uи независимым аргументом x.Пусть функция U(фи(x)) дифференц в т X₀ , аy= f(U) дифференц в т U₀,где U₀₌фи(x₀), тогда сложная функция y=f(фи (x)) имеет производную в т X₀ и справедлива след формула:y’(X₀)=f’(U₀) фи’(x₀)

Док-во: по опр производной y’(X₀)=lim(f(фи(x₀₊∆x))-f(фи(x₀)))/ ∆x). (*).Т к функция y=f(U) дифференц в т U₀и f’(U₀)=lim(f(U₀₊∆U)-f(U₀))/ ∆U)при ∆U→0.применим к этому равенству т о сущест-ии предела(если предел функции при X→X₀=a,то функцию можно представить как f(x)=a+α(∆X)).

(f(U₀₊∆U)-f(U₀))/ ∆U)= f’(U₀)+ α(∆U)

(f(u₀₊∆u)-f(u₀))= (f’(U₀)+ α(∆U)) ∆U.ТкU=фи’(x),то (f(U₀₊∆U)-f(U₀))-этотожесамое,чтоиf(фи(x₀₊∆x))-f(фи(x₀).(**)

Подставим (**)в (*).y’(X₀)= lim((f’(u₀)+ α(∆u)) ∆u)/∆xпри ∆x→0 =lim (f’(u₀)+ α(∆u)) lim ∆u/∆x = f’(u₀)+фи’(X₀)

Замечание: если y=f(u), u=фи(t), t=z(x)

Y’=f’(u)фи’(t)z’(x)

32)производная обратной  функции

Пусть функция  y=f(x)определена,строгомонотонна и непр в окр т X₀ .функция x=f^-1(y)

Обратная к ней,тогда если  функция  y=f(x)имеет производн. В т X₀,отличную от 0,то обратная так же имеет в т Y₀ =f(x₀)имеет конечную,отличную от 0 производную (f^-1)’(Y₀), которую находят по формуле : ((f^-1)(Y₀))’=1/f’(X₀)

Док-во: поопрпроизводной (f^-1)’(Y₀)=lim (f^-1(y₀+∆y)- f^-1(y₀)) /∆yпри ∆y→0= lim  (x₀₊∆x-x₀)/ (f(x₀₊∆x)-f(x₀)) при ∆x→0=lim∆x/((f(x₀₊ ∆x)-f(x₀))/ ∆x)*∆x)=1/f’(x₀)

(переход ∆x→0 к ∆y→0 осуществляется на осн 2 опр непр функции( бм приращению аргумента соответствует бм приращение функции)

33. Определение ф-ции дифф. в точке./необх. и достаточность

Опр. y=f(x) называется дифф. в (.) х₀, если ее Dу можно представить Dу=А*Dх+а(Dх)*Dх, где А – некоторое число, независящее от Dх, а а(Dх) – ф-ция аргумента Dх являющаяся бмф при Dх->0.

(т) Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируемой в (.) х₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Док-во:

Необходимость: Если y=f(x) – дифференцируема, то она имеет конечную производную. Тк y=f(x)  диффер, то ее приращение Dy=А*Dх+а(Dх)*Dх. Разделим обе части на Dх => Dу/Dx=A+a(Dx)

y`=limDy/Dx(при Dх->0)=lim(A+a(Dx))(при Dх->0)=A

Достаточность: Пусть у ф-ции  у=f(x) сущ-ет конечная производная. Докажем, что она дифференц. y`=limDy/Dx(при Dх->0)=А ;  limDy/Dx(при Dх->0) -А=0  ;   limDy/Dx(при Dx->0) – limA(при Dх->0)=0  ;  lim(Dy/Dx – A)(при Dх->0)=0  => ф-ция  Dу/Dх – А – бмф(при Dх->0). Обозначим её через а(Dх)= Dу/Dх – А

а(Dх)*Dх=Dу-А*Dх  ;  Dу=а(Dх)*Dх+А*Dх  => у=f(x) – дифференц. ф-ция

34. Понятие дифференциала  и его геом. смысл

Пусть ф-ция y=f(x) дифференц. в (.) х₀. Тогда ее Dy можно записать в виде 2х слагаемых: Dу=А*Dх+а(Dх)*Dх, где а(Dх) – бмф при Dx->0. Рассмотрим слагаемое A*Dx – бмф одного роядка с Dх, т к lim(A*Dx)/Dx(при Dх->0)=A≠0

Рассмотрим 2 слаг. А(Dх)*Dх – явл. бмф более высокго порядка, чем Dх, т к lim a(Dx)*Dx(при Dх->0) = 0, таким образов 1 слаг. при А≠0 – главная часть приращения y=f(x)

Опред. Диффер. ф-ции y=f(x) в (.) х₀ называется главная линейная относительно Dх часть приращения ф-ции в этой точке: dy=A*Dx

Если А=0, то и в этом случае полагаем, что А*Dх – гл. часть приращения. В этом случае dy=0, учитывая, что А=f`(x<sub>0</sub>) получаем, что dy=f`(x₀)*Dx. Если f(x)=x, то dy=dx=lim((x-Dx-x)/Dx)(при Dх->0)*Dх=Dх (тк lim((x-Dx-x)/Dx)(при Dх->0) и есть f`(x)). Таким образом dx=Dx

Геом. смысл. дифф.Рассмотрим график производной ф-ции f(x). проведем касательную к графику в (.) М. Рассмотрим DАВС – прямоуг. tga=AB/AM  ;  tga=k=f`(x<sub>0</sub>)  ;  AM=Dx  ;  АВ=f`(x₀)*Dx=dy

Дифференц. ф-ции y=f(x) в (.) х₀ равен приращению ординат касательной к графику ф-циив этой точке, тогда x₀ получит Dх

35)Применение дифференциала  для приближенных вычислений

Приращение дифферен функции  можно записать ∆y=A∆x+α(∆x) ∆x, тк 1 слагаемое-гл часть этого приращения,то  отбрасывая бм α(∆x) ∆x более высокого  порядка,чем ∆x,получаем приближ равенство: ∆yприближенноравно  A∆x,  ∆yприближенноравно  f’(x₀)∆x.∆y приближенно равно dy.подставим в последнее равенство выражения для ∆y и dy.

 

(f(x₀₊∆x)-f(x₀)) приближенно равно f’(x₀)∆x

(f(x₀₊∆x)) приближенно равно f(x₀) f’(x₀)∆x-формула для вычисл  значения функции

Пример:

 

 

 

 

36)производные и дифференциалы  высших порядков.

Понятие произв n-ногопорядка.

Произв f’(x) функции y=f(x) сама явл некоторой функцией аргумента x,след по отношению к ней снова можно о сущ-ии и нахождении производной.Назовем f’(x) функции y=f(x) производной первого порядка. Произв от производной некоторой функции наз-ся производной 2 порядка или второй производной.f’’(x)= (f’(x))’. Производная третьего порядка-произв производной 2 порядка.f’’’(x)= (f’’(x))’. Произв n-огопорядка f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’

Механич смысл второй производной:если S=f(t)-закон движения точки t,то f’’(t₀)-мгновенное ускорение в момент времени t₀

Дифференц высших порядков.Dy=f’(x₀)dx-дифференц 1-го порядка.Пусть функция f’(x) в свою очередь дифференц в некоторой точке x. Тогда дифференц второго порядка как дифференц от дифференц первого порядка,т.е.  d²y=d(dy)=d(f’(x)dx))=(f’(x)dx))’(dx)= ))=f’’(x)dxdx=f’’(x)dx²

Формула для дифференц 2 порядка  имеет вид: d²y=f’’(x)dx²

 

D⁽ⁿ⁾y=f⁽ⁿ⁾(dx)ⁿ

37)Т Ферма : пусть y=f(x), определена на интервале (a;b), в точке х0Î(a;b) функция принимает наибольшее или наименьшее значение, тогда если в точке х0 существует производная, то она равна нулю. Док-во: пусть для определённости функция в точке х0 принимает наибольшее значение, тогда для любого хÎ(a;b), х¹х0, f(x)£f(x0). Таким образом приращение функции равно: Dy=f (x)-f(x0), где х=х0+Dх или Dy=f(х0+Dх)-f(x0). Dy£0, тогда . Рассмотрим Dх>0: т.еx>x_0.найдем f ’(x0)£0 (при пределе стрем-ся ∆x→x₀ +0 ); рассмотрим Dx<0,т.е x<x_0,

f ’(x0)³0 (при пределе стремящимся ∆x→x₀ +0 );

Т.к функция y=f(x) дифференц в т x₀ по усл, то она непр в т X₀ (по Т),а значит

 

Замечание: теорема не верна, если рассматривать функцию на отрезке, а не на интервале. Т к например функция y=xна [0;1] принимает наиб знач в точке 1,наим-в 0.но ни а одной их этих т производная 0 равна не будет,т е y’(1)=1; y’(0)=1;y’=1

38)Теорема Роля

если функция y=f(x) определена на отрезке [a;b], причём выполнено: 1) функция не прерывна на отрезке, 2) функция дифференцируема в интервале (a;b), 3)значения функций на концах отрезка равны. Док-во: так как функция непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса функция принимает на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m, т.е. есть такие x1 и x2, принадлежащие интервалу (a;b), для которых f(x1)=M, f(x2)=m, и m£f(x)£M. Тогда возможны два случая: 1) M=m, 2)M>m. В случае 1 функция является постоянной,тк f(x)=constв любой точке этого интервала, f ’(x)=0. в случае 2 т.к. f(a)=f(b), то хотя бы одно из значений либо наибольшее, либо наименьшее не принимается на концах отрезка. Тогда есть точка С, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее и наименьшее значения, а т.к. по условию функция дифференцируема в этой точке, то по теореме ферма f ’(C)=0.

39)Теорема Лагранжа: Пусть на отрезке [a;b] определена функция y=f(x), она непрерывна на этом отрезке и дифференцируема в интервале (a;b), тогда есть такая точка С, принадлежащая (a;b), для которой справедливо:. Док-во: рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)- , она удовлетворяет всем трём условиям теоремы Роля: 1) функция непрерывна, как разность двух функций y1=f(x), y2=f(a)+, 2) F(x) дифференцируема на (a;b),тк сущ-ет производная f’(x) . 3) F(a)=f(a)-f(a)- =0;F(b)=f(b)-f(a)- = f(b)-f(a)- f(b)+f(a)= 0, F(a)=F(b). Тогда по теореме Ролля существует такая точка Спринадл(a;b), что F ’(C)=0. F’(C)=f ’(C)-=0,.формула Лагранжа или формула конечных приращений

40)Правило Лопиталя

Теорема устанавливает связь правила  для раскрытия неопр вида [0/0].Пусть  функции f(x) g(x) определены и дифференцируемы в окрестностях некоторой точки х0, за исключением может быть самой точки х0. Известно, что и , g’(x)¹0. тогда если существует предел , то существует и и они равны между собой.

Док-во: применим к функциям f(x) и g(x) теорему Коши(Пусть функции f(x) g(x) непрерывны на отрезке [a;b], и g’(x)¹0, тогда существует такая точка С, принадлежащая интервалу (a;b), для которой справедлива формула: .) на отрезке [x0;x], тогда найдётся такая точка СÎ(a;b) для которой выполняется , тогда . Переходим к пределу при х®х0: .Замечание: теорема так же верна в случае когда рассматривается неопределённость типа [¥/¥].

Оглавление

1. Множества 1

2. Операции над множествами. 1

3. Числ. прям./промеж./ ɛ-окр./модуль 1

4. Определение числовойпослд.  Огр и монотонная послед 1

5)Определение предела  числ пслд.Сх-ся пслд.Т. о сходимости  монотонной и огр пслд. 2

6)Теорема о единственности  предела числпслд. 3

7.  бб посл. и бм  посл. 3

8. Опр. фун-ции, св-ва, сложная и обр. фун-ция 3

9. Определение lim ф-ции на языке ɛ-δ 4

10. бмф и ее св-ва 4

11. (Т) о связи  ф-ции и её предела 4

12. Ббф. Связь бмф  и ббф 5

13. Св-ваlimсвяз. с арифмоперац. 5

14)Т. о предельном  переходе в неравенстве 5

15)Т. о сжатой  переменной 5

16. Непр. ф-ции в точке  и на пром./св-ванепр. ф-ций/ (т)  о непр. элем.ф-ций 6

17. Одност. limы/непр. ф-ции справа и сл./класс.разрывов 6

18) Первый замечательный  предел. 7

19)Число e. Натуральный логарифм.Второй предел 7

20. Замечательный предел 8

21. Замечательный предел 8

22 Класс.бмф; (т) о  замене бмф на эквивалентные  бмф 9

23)Теорема  о сохранении  знака непрерывной функции 9

24 Приращ. ф-ции/признак  непр. в (.) 9

25. (т) о ф-ции непр. на замкн. промежутке 9

26)Определение производной  функции. Правосторонняя и левосторонняя  производные. 10

27. Геометрический  смысл f`(x) 11

28. Теорема о связи  сущ-ния произв. и непрерывности  в точке 11

29. Правила вычисления  произв, связна. с арифм. действиями 11

30. Таблица производных 12

31)производная сложной  функции 12

32)производная обратной  функции 13

33. Определение ф-ции  дифф. в точке./необх. и достаточность 13

34. Понятие дифференциала  и его геом. смысл 14

35)Применение дифференциала  для приближенных вычислений 14

36)производные и  дифференциалы высших порядков. 14

37)Т Ферма 15

38)Теорема Роля 15

39)Теорема Лагранжа: 15

40)Правило Лопиталя 16